2024衡陽(yáng)高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式解得集合，再求并集即可.
【詳解】，又，
則.
故選：D.
2. 已知復(fù)數(shù)，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義，利用除法運(yùn)算法則計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】由可得，
所以，
故選：B
3. 已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，虛軸的上、下端點(diǎn)分別為，若，則的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量運(yùn)算，求得等量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為關(guān)系，即可求得離心率.
【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：
，即，也即，
故，解得，則，也即的離心率為.
故選：A.
4. 已知是等比數(shù)列，且，則（）
A B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算，結(jié)合已知條件，即可求得公比和.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，又，解得.
故選：C.
5. 已知，則（）
A. B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系，結(jié)合角的取值范圍，可求角的正切值.
【詳解】由，
所以或.
又，所以.
所以.
故選：A
6. 已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，，則（）

A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)圖像即可求得函數(shù)的解析式，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由圖像可知，，由可得，
且，所以，解得，所以，
由可得，，
所以，即，
即，且，當(dāng)時(shí)，，
所以，則.
故選：C
7. 某種用保溫材料制成的管道在單位長(zhǎng)度上的熱損失單位：滿足，其中分別為管道的內(nèi)外半徑（單位：），分別為管道內(nèi)外表面的溫度（單位：），為保溫材料的導(dǎo)熱系數(shù)（單位：），某工廠準(zhǔn)備用這種管道傳輸?shù)母邷卣羝?，根?jù)安全操作規(guī)定，管道外表面溫度應(yīng)控制為，已知管道內(nèi)半徑為，當(dāng)管道壁的厚度為時(shí)，，則當(dāng)管道壁的厚度為時(shí)，約為（）
參考數(shù)據(jù)：.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意將已知數(shù)據(jù)代入求得的值，再代入即可得解.
【詳解】由題意可得，，，，，
代入得，得出；
則當(dāng)管道壁的厚度為時(shí)，，
則
.
故選：B，
8. 已知三棱錐中，，三棱錐的體積為，其外接球的體積為，則線段長(zhǎng)度的最大值為（）
A. 7B. 8C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】依題意可知為直角三角形且其外接圓的半徑為，根據(jù)題意可求得點(diǎn)到平面的距離為，由求得半徑求出過(guò)的截面圓半徑，即可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)榍虻捏w積為，所以球的半徑滿足，可得；
又，因此，即，此時(shí)；
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，可得，
因?yàn)樵谇虻慕孛鎴A上，設(shè)截面圓所在的平面為，當(dāng)與平面平行時(shí)，有最大值；
設(shè)球心到平面的距離為，而的外心即為的中點(diǎn)，外接圓的半徑為，
則，故球心到平面的距離為，
可知截面圓半徑為；
設(shè)在平面上的射影為，則的軌跡為圓，如下圖所示：
設(shè)該圓圓心為，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)且點(diǎn)在中間時(shí)，最長(zhǎng)，
此時(shí)，故線段長(zhǎng)度的最大值為.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于求出點(diǎn)到平面距離之后，確定出當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)且點(diǎn)在中間時(shí)，最長(zhǎng)，利用勾股定理計(jì)算可得其最大值.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 在正四棱柱中，是棱的中點(diǎn)，則（）
A. 直線與所成的角為B. 直線與所成的角為
C. 平面平面D. 直線與平面所成角的正弦值為
【答案】AC
【解析】
【分析】畫出正四棱柱，根據(jù)異面直線所成角的定義可判斷A正確，B錯(cuò)誤，利用面面垂直的判定定理可得C正確，利用線面角定義可知D錯(cuò)誤.
【詳解】如下圖所示：
對(duì)于A，因?yàn)?，所以為直線與所成的角或其補(bǔ)角，
易知，即為等邊三角形，所以，即A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以為直線與所成的角或其補(bǔ)角，
若，則，即滿足，而不滿足上式，即B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，易知，滿足，所以，
又，可得平面，
又平面，所以平面平面，即C正確；
對(duì)于D，連接交于點(diǎn)，由正方形性質(zhì)可得，
由直棱柱性質(zhì)可知平面，又平面，所以；
又，可得平面，
所以為直線與平面所成的角，
因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤；
故選：AC
10. 已知圓是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線分別與圓相切于點(diǎn)，則（）
A. 圓上恰有一個(gè)點(diǎn)到的距離為B. 直線恒過(guò)點(diǎn)
C. 的最小值是D. 四邊形面積的最小值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出圓上點(diǎn)到直線距離的最值可判斷A錯(cuò)誤；求出直線的方程可得其恒過(guò)點(diǎn)，利用弦長(zhǎng)公式可求得的最小值是，可得BC正確；進(jìn)而求得四邊形面積的最小值為，即D正確.
【詳解】易知圓心，半徑，如下圖所示：
對(duì)于A，圓心到直線的距離為，
可得圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值為,圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為，
所以圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到的距離為，即A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，設(shè)，可得；
易知，由，
整理可得，
同理可得，即可知兩點(diǎn)在直線上，
所以直線的方程為，即，
令，解得，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，即B正確；
對(duì)于C，由直線恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與圓心的連線垂直于時(shí)，的值最小，
點(diǎn)與圓心之間的距離為，所以，故C正確；
對(duì)于D，四邊形的面積為，
根據(jù)切線長(zhǎng)公式可知，當(dāng)最小值，最小，
，所以，故四邊形的面積為，即D正確；
故選：BCD
11. 已知函數(shù)的定義域均為是奇函數(shù)，且，，則（）
A. B. 為奇函數(shù)
C. 為偶函數(shù)D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用是奇函數(shù)，，，逐項(xiàng)判斷選項(xiàng).
【詳解】由是奇函數(shù)，則，即，令，則，故A正確；
由，，令，則，故不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
由，令，則，
故，所以，
而，則，
故，
所以是偶函數(shù)，故C正確；
由，得，則，故，得到，
由，可得，推出，又，所以，故，即，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
【點(diǎn)睛】本題主要考查抽象函數(shù)及其性質(zhì)，利用替換求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于較難題.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，則，
所以切點(diǎn)為，且，
則，
由直線的點(diǎn)斜式可得，化簡(jiǎn)可得，
所以切線方程為.
故答案：
13. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二級(jí)結(jié)論，先求得，再求即可.
【詳解】作拋物線的準(zhǔn)線，記準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，
過(guò)作軸的垂線，垂足分別為，如下所示：
設(shè)，
在△中，由拋物線定義可得：，
則，解得；
△中，由拋物線定義可得：，
則，解得；
由題可知：，，解得；則.
故答案為：.
14. 已知有兩個(gè)盒子，其中盒裝有3個(gè)黑球和3個(gè)白球，盒裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．甲從盒、乙從盒各隨機(jī)取出一個(gè)球，若2個(gè)球同色，則甲勝，并將取出的2個(gè)球全部放入盒中，若2個(gè)球異色，則乙勝，并將取出的2個(gè)球全部放入盒中．按上述方法重復(fù)操作兩次后，盒中恰有7個(gè)球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】確定出兩次取球后盒中恰有7個(gè)球必須滿足兩次取球均為乙獲勝，再分別計(jì)算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得結(jié)果.
【詳解】若兩次取球后，盒中恰有7個(gè)球，則兩次取球均為乙獲勝；
若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率為，
第一次取球后盒中有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，盒裝有4個(gè)黑球和2個(gè)白球，
第二次取到異色球?yàn)槿〉揭粋€(gè)白球一個(gè)黑球，其概率為；
此時(shí)盒中恰有7個(gè)球概率為；
若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率為，
第一次取球后盒中有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，盒裝有3個(gè)黑球和3個(gè)白球，
第二次取到異色球?yàn)槿〉揭粋€(gè)白球一個(gè)黑球，其概率為；
此時(shí)盒中恰有7個(gè)球的概率為；
所以盒中恰有7個(gè)球的概率為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的突破口在于先分清楚兩次取球后，盒中恰有7個(gè)球必須滿足兩次取球均為乙獲勝；再分別討論并計(jì)算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得結(jié)果.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．
（1）求的解析式；
（2）求在區(qū)間上的最值．
【答案】（1）
（2）的最小值為，最大值為.
【解析】
【分析】（1）利用極值定義可求得，可得解析式；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，比較端點(diǎn)處的值可得結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
依題意可得，
又當(dāng)時(shí)，取得極值，所以，即；
解得；
所以；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，
令，可得或，
當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表所示：
因此，在區(qū)間上，的最小值為，最大值為.
16. 某報(bào)社組織“鄉(xiāng)村振興”主題征文比賽，一共收到500篇作品，由評(píng)委會(huì)給每篇作品打分，下面是從所有作品中隨機(jī)抽取的9篇作品的得分：82，70，58，79，61，82，79，61，58．
（1）計(jì)算樣本平均數(shù)和樣本方差；
（2）若這次征文比賽作品的得分服從正態(tài)分布，其中和的估計(jì)值分別為樣本平均數(shù)和樣本方差，該報(bào)社計(jì)劃給得分在前50名的作品作者評(píng)獎(jiǎng)，則評(píng)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分？
參考數(shù)據(jù)：．
【答案】（1）樣本平均數(shù)為，樣本方差為.
（2）分
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由平均數(shù)與方差的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由條件結(jié)合正態(tài)分布的概率計(jì)算公式可得，，從而得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可得，，
s2=1982?702+70?702+58?702+79?702+61?702+82?702+79?702+61?702+58?702=100，
所以樣本平均數(shù)為，樣本方差為.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)榈梅址恼龖B(tài)分布，且，，則，
所以，又，即，
所以，
又，即，
所以，
所以前50名的作品作者評(píng)獎(jiǎng)總共50篇，獲獎(jiǎng)率為，
因?yàn)椋瑒t，
所以，
即分?jǐn)?shù)線約為分.
17. 如圖（1）所示，在平面四邊形中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，為邊的中點(diǎn)，將沿折成直二面角，得到如圖（2）所示的四棱錐．
（1）若為棱的中點(diǎn)，證明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線面平行的判定定理可證明平面平面，即可得出結(jié)論；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求得二面角的余弦值，計(jì)算可得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以平面；
由圖（1）中是邊長(zhǎng)為2等邊三角形，所以，
由，，可得是等邊三角形，，所以；
又因?yàn)槠矫?，所以平面?br>因?yàn)?，所以平面平面?br>因?yàn)槠矫?，所以平?
【小問(wèn)2詳解】
由題可知兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，
即；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，
即；
所以，
因此二面角的正弦值為.
18. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8．
（1）求的方程；
（2）若直線與交于兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線的距離為定值1，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由的周長(zhǎng)結(jié)合橢圓的定義得出，再由的關(guān)系求出，進(jìn)而得出橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由原點(diǎn)到直線的距離為定值1，得，再聯(lián)立方程組，由弦長(zhǎng)公式求最值.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為8，
所以，解得，
焦距為，，所以，
所以橢圓E的方程為．
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，為或，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，同理，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線的方程為，
因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為定值1，所以，則，
設(shè)，
聯(lián)立橢圓于直線方程，
消元得，
所以，
由，得,
,
令，
則，
由，所以當(dāng)時(shí)，，
所以的最大值
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
19. 莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用．所有大于1的正整數(shù)都可以被唯一表示為有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積形式：（為的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)，為質(zhì)數(shù)，），例如：，對(duì)應(yīng)．現(xiàn)對(duì)任意，定義莫比烏斯函數(shù)
（1）求；
（2）若正整數(shù)互質(zhì)，證明：；
（3）若且，記的所有真因數(shù)（除了1和以外的因數(shù)）依次為，證明：．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析；
【解析】
【分析】（1）分別寫出的所有質(zhì)因數(shù)，根據(jù)其個(gè)數(shù)即可計(jì)算出結(jié)果；
（2）對(duì)的取值是否為1進(jìn)行分類討論，對(duì)的取值進(jìn)行分別計(jì)算即可求得結(jié)論；
（3）利用定義由組合數(shù)定義以及二項(xiàng)式定理可得出證明.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋字?br>所以；
又，因?yàn)?的指數(shù)，所以；
【小問(wèn)2詳解】
①若或，因?yàn)?，所以?br>②若，且存在質(zhì)數(shù)，使得或的質(zhì)因數(shù)分解中包含，則的質(zhì)因數(shù)分解中一定也包含，
所以，
③若，且不存在②中的，可設(shè)，
其中均為質(zhì)數(shù)，則，
因?yàn)榛ベ|(zhì)，所以互不相等，
所以，
綜上可知
【小問(wèn)3詳解】
由于，所以可設(shè)，為偶數(shù)，
的所有因數(shù)，除了1之外都是中的若干個(gè)數(shù)的乘積，從個(gè)質(zhì)數(shù)中任選個(gè)數(shù)的乘積一共有種結(jié)果，
所以
，
所以．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于充分理解莫比烏斯函數(shù)的定義，并根據(jù)計(jì)算規(guī)則得出其規(guī)律，再由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得出結(jié)果.單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多