天津市南開區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期一模試題 數(shù)學(xué) Word版含答案

這是一份天津市南開區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期一模試題 數(shù)學(xué) Word版含答案，共9頁。
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分，考試時間120分鐘。第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至9頁。
祝各位考生考試順利！
第Ⅰ卷
注意事項：
1、答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂在答題卡上
2、每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號；
3、本卷共9小題，每小題5分，共45分。
參考公式：
球的體積公式，其中R表示球的半徑.
如果事件A，B互斥，那么.
對于事件A，B，，那么.
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（1）已知全集，集合，則（ ）
（A）（B）（C）（D）
（2）若，則“a，b，c成等比數(shù)列”是“”的（ ）
（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件
（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件
（3）若，則的最小值是（ ）
（A）2（B）a（C）（D）3
（4）函數(shù)的圖象可能為（ ）
（A）（B）
（C）（D）
（5）已知，，則（ ）
（A）a＜b＜c（B）c＜b＜a（C）b＜a＜c（D）b＜c＜a
（6）已知隨機變量，且，則（ ）
（A）（B）（C）（D）
（7）關(guān)于函數(shù)，則下列結(jié)論中：
①為該函數(shù)的一個周期；
②該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
③將該函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的圖象：
④該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
所有正確結(jié)論的序號是（ ）
（A）①②（B）③④（C）①②④（D）①③④
（8）在長方體中，，其外接球體積為，則其外接球被平面截得圖形面積為（ ）
（A）（B）（C）（D）
（9）已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線C：的左、右焦點分別是，離心率為，點P是C的右支上異于項點的一點，過作的平分線的垂線，垂足是M，，則點P到C的兩條漸近線距離之積為（ ）
（A）（B）（C）2（D）4
第Ⅱ卷
注意事項：
1、用黑色墨水的鋼筆或簽字筆答題
2、本卷共11小題，共105分。
二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分。
（10）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為______
（11）若的展開式中的系數(shù)為160，則實數(shù)a的值為______
（12）直線被圓截得的弦長的最小值為______
（13）已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球，若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從該盒子中任取一個球，則在第一次抽到2號球的條件下，第二次抽到1號球的概率為______，第二次抽到3號球的概率為______
（14）平面四邊形ABCD中，，E為BC的中點，用和表示______；若，則的最小值為______
（15）已知函數(shù)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為______
三、解答題：本大題共5題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（16）（本小題滿分14分）
已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
（Ⅰ）求a的值：
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）的值
（17）（本小題滿分15分）
如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD，，點E是棱PC上靠近P端的三等分點，點P是棱PA上一點.
（1）證明：平面BDE
（II）求點F到平面BDE的距離；
（1II）求平面BDE與平面PBC夾角的余弦值.
（18）（本小題滿分15分）
已知橢圓C：的一個焦點與拋物線的焦點F重合，拋物線的準線被C截得的線段長為.
（I）求橢圓C的方程；
（II）過點F作直線l交C于A，B兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使為定值？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
（19）（本小題滿分15分）
在正項等比數(shù)列中，.
（Ⅰ）求的通項公式：
（Ⅱ）已知函數(shù)，數(shù)列滿足：.
（i）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式
（ii）設(shè)，證明：
（20）（本小題滿分16分）
已知，a為函數(shù)的極值點，直線l過點，
（Ⅰ）求的解析式及單調(diào)區(qū)間：
（Ⅱ）證明：直線l與曲線交于另一點C：
（Ⅲ）若，求n.
（參考數(shù)據(jù)：）
2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期高三年級質(zhì)量監(jiān)測（一）參考答案
數(shù)學(xué)學(xué)科
一、選擇題：（本題共9小題，每題5分，共45分）
二、填空題：（本題共6小題，每題5分，共30分）
（10）（11）2；（12）；
（13）（第一個空3分，第二個空2分）；
（14）（第一個空3分，第二個空2分）；（15）－1或
三、解答題：（其他正確解法請比照給分）
（16）解：（Ⅰ）由及余弦定理得，
因為，所以.
（Ⅱ）由及得
由正弦定理得（Ⅰ），因為，所以或.
若，則，與題設(shè)矛盾，因此.
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，因為，所以
所以
所以
另解：因為
所以
（17）解：因為平面PAD，所以.因為，所以.
故以點D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.
（Ⅰ），設(shè)平面BDE的一個法向量為，
則，即，令，則.又，可得，
因為平面BDE，所以平面BDE.
（Ⅱ）因為平面BDE，所以點F到平面BDE的距離等于點A到平面BDE的距離. ，
則點A到平面BDE的距離為
（Ⅲ），設(shè)平面BDE的一個法向量為，
則，即，令，則.
設(shè)平面BDE與平面PBC的夾角為α，則
故平面BDE與平面PBC的夾角的余弦值為.
（18）解：（Ⅰ）拋物線的焦點，準線方程為，由題意得，
解得，所以橢圓C的方程為.
（Ⅱ）假設(shè)存在符合條件的點，設(shè)，
則，，
①當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為，
由，得，則，
所以，
因此，若對于任意的t值，上式為定值，
則，解得，此時，為定值.
②當(dāng)直線l的斜率為0時，
綜合①②知，符合條件的點M存在，其坐標(biāo)為.
（19）解：（Ⅰ）因為正項等比數(shù)列中，，所以.
又因為，所以，進而公比，所以.
（Ⅱ）（i）因為，所以，
即，所以數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列.
所以，即.
（ii）.當(dāng)時，左式，右式，左式＝右式.
當(dāng)時，
則
所以，即
綜上：當(dāng)時，
（20）解：（Ⅰ），依題意有，
解得，所以.
當(dāng)與時，；當(dāng)時，；
所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
（Ⅱ）直線AB的方程為，即.
由，得，①，顯然和為方程的①解.
設(shè)，則，令得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
因為，，
所以有且僅有2個零點，其中，
即直線AB與曲線交于另一點C，且C的橫坐標(biāo)為.
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，即，
設(shè)，則，所以，代入可得.
設(shè)，則，令得.
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
因為，，，所以存在唯一的，使得.
此時
因此，，所以.
題號
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
答案
C
B
D
A
A
D
C
B
B