1.矩形的判定:
（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形；
（2）對(duì)角線相等的平行四邊形；
（3）有三個(gè)角為直角的四邊形．
2.題型分析
矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對(duì)角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標(biāo)系中的矩形滿足以下3個(gè)等式：
（AC為對(duì)角線時(shí)）
因此在矩形存在性問題最多可以有3個(gè)未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．
確定了有3個(gè)未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則可以有3個(gè)．
（1）2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；
（2）1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)．
思路1：先直角，再矩形
在構(gòu)成矩形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點(diǎn)，可先確定其中3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，再確定第4個(gè)點(diǎn)．對(duì)“2定+1半動(dòng)+1全動(dòng)”尤其適用．
【例題】已知A（1，1）、B（4，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在平面中，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．
解：點(diǎn) C 滿足以 A、B、C 為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓”可得滿足條件的 點(diǎn) C 有
在點(diǎn) C 的基礎(chǔ)上，借助點(diǎn)的平移思路，可迅速得到點(diǎn) D 的坐標(biāo)．
思路2：先平行，再矩形
當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，A、B、C、D滿足以下3個(gè)等式，則為矩形：
其中第1、2個(gè)式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點(diǎn)坐標(biāo)后，代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程即可．
無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對(duì)于我們列方程來解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．
【典例1】（2022?魚峰區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A（0，﹣2），B（4，0）兩點(diǎn)，直線BC：y＝﹣2x+8交y軸于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形ABCM為矩形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式1-1】（2022?隨州）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，且OA＝OC，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）直接寫出拋物線的解析式；
（2）如圖2，連接AC，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方時(shí)，求四邊形PABC面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P，M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式1-2】（遼陽）如圖，直線y＝x﹣3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，與直線y＝x﹣3交于點(diǎn)E（8，5），且與x軸交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P在拋物線上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
1．（2022?漢川市模擬）拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于另一點(diǎn)A，B兩點(diǎn)．與y軸交于C，D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求A，B，C，D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)以A，D，M，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
2．（2022?巨野縣模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸分別交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝﹣x+n經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥y軸，分別交x軸，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求直線BC及拋物線的表達(dá)式；
（2）在拋物線上取點(diǎn)M，在坐標(biāo)系內(nèi)取點(diǎn)N，問是否存在以C、B、M、N為頂點(diǎn)且以CB為邊的矩形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）的直線AB與y軸交于點(diǎn)B（0，4）．經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線y＝﹣x2+bx+c交直線AB于點(diǎn)A，C，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；
（2）M是線段AB上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)MN∥y軸且MN＝2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
4．已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線解析式；
（2）如圖①，若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，求線段PD長的最大值；
（3）如圖②，若點(diǎn)N是拋物線上另一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)，且以BC為邊的矩形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
5．如圖，拋物線y＝ax2+2x+c的對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，DM交直線BC于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以A，C，N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）已知點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
專項(xiàng)31 二次函數(shù)與矩形存在性問題
1.矩形的判定:
（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形；
（2）對(duì)角線相等的平行四邊形；
（3）有三個(gè)角為直角的四邊形．
2.題型分析
矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對(duì)角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標(biāo)系中的矩形滿足以下3個(gè)等式：
（AC為對(duì)角線時(shí)）
因此在矩形存在性問題最多可以有3個(gè)未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．
確定了有3個(gè)未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則可以有3個(gè)．
（1）2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；
（2）1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)．
思路1：先直角，再矩形
在構(gòu)成矩形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點(diǎn)，可先確定其中3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，再確定第4個(gè)點(diǎn)．對(duì)“2定+1半動(dòng)+1全動(dòng)”尤其適用．
【例題】已知A（1，1）、B（4，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在平面中，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．
解：點(diǎn) C 滿足以 A、B、C 為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓”可得滿足條件的 點(diǎn) C 有
在點(diǎn) C 的基礎(chǔ)上，借助點(diǎn)的平移思路，可迅速得到點(diǎn) D 的坐標(biāo)．
思路2：先平行，再矩形
當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，A、B、C、D滿足以下3個(gè)等式，則為矩形：
其中第1、2個(gè)式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點(diǎn)坐標(biāo)后，代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程即可．
無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對(duì)于我們列方程來解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．
【典例1】（2022?魚峰區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A（0，﹣2），B（4，0）兩點(diǎn)，直線BC：y＝﹣2x+8交y軸于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形ABCM為矩形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2； （2）點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣4，6）
【解答】解：（1）把A（0，﹣2），B（4，0）代入拋物線y＝x2+bx+c，
得，
解得：，
∴該拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；
（2）存在．過點(diǎn)C作AB的平行線，過點(diǎn)A作BC的平行線，兩條直線相較于M，則M即為所求．
在y＝﹣2x+8中，令x＝0，則y＝8，
∴C（0，8），
∵A（0，﹣2），B（4，0），
∴AB2＝42+22＝20，BC2＝42+82＝80，AC2＝102＝100，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°，
∵CM∥AB，AM∥BC，
∴四邊形ABCM是矩形，
設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+m，
則，
解得：，
∴直線AB的解析式為y＝x﹣2，
∵CM∥AB，
∴直線CM的解析式為y＝x+8，
∵AM∥BC，
∴直線BC的解析式為y＝﹣2x﹣2，
聯(lián)立方程組，
解得：，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣4，6）．
【變式1-1】（2022?隨州）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，且OA＝OC，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）直接寫出拋物線的解析式；
（2）如圖2，連接AC，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方時(shí)，求四邊形PABC面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P，M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）當(dāng)m＝﹣時(shí)，S的值最大，最大值為，此時(shí)P（﹣，）；（3）P（﹣1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
【解答】解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，拋物線交x軸于點(diǎn)A，B（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴OA＝OC＝3，
∴C（0，3），
∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），
把（0，3）代入拋物線的解析式，得a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如圖（2）中，連接OP．設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+3），
S＝S△PAO+S△POC+S△OBC，
＝×3×（﹣m2﹣2m+3）××3×（﹣m）+×1×3
＝（﹣m2﹣3m+4）
＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，S的值最大，最大值為，此時(shí)P（﹣，）；
（3）存在，理由如下：
如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)N在y軸上時(shí)，四邊形PMCN是矩形，此時(shí)P（﹣1，4），N（0，4）；
如圖3﹣2中，當(dāng)四邊形PMCN是矩形時(shí)，設(shè)M（﹣1，n），P（t，﹣t2﹣2t+3），則N（t+1，0），
由題意，，
解得，消去n得，3t2+5t﹣10＝0，
解得t＝，
∴P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P（﹣1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．
【變式1-2】（遼陽）如圖，直線y＝x﹣3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，與直線y＝x﹣3交于點(diǎn)E（8，5），且與x軸交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P在拋物線上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1） y＝x2﹣x﹣3 （2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（2，8）或（﹣16，29）．
【解答】解：（1）直線y＝x﹣3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，
則A（3，0）B（0，﹣3），
把B、E點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)方程，解得：
拋物線的解析式y(tǒng)＝x2﹣x﹣3…①，
則：C（6，0）；
（2）存在．
①當(dāng)BC為矩形對(duì)角線時(shí)，矩形BP′CQ′所在的位置如圖所示，
設(shè)：P′（m，n），
n＝m2﹣m﹣3…③，
P′C所在直線的k1＝，
P′B所在的直線k2＝，則：k1?k2＝﹣1…④，
③、④聯(lián)立得：＝0，
解得：m＝0或6，
這兩個(gè)點(diǎn)分別和點(diǎn)B、C重合，
與題意不符，故：這種情況不存在，舍去．
②當(dāng)BC為矩形一邊時(shí)，
情況一：矩形BCQP所在的位置如圖所示，
直線BC所在的方程為：y＝x﹣3，
則：直線BP的k為﹣2，所在的方程為y＝﹣2x﹣3…⑤，
聯(lián)立①⑤解得點(diǎn)P（﹣4，5），
則Q（2，8），
情況二：矩形BCP″Q″所在的位置如圖所示，
此時(shí)，P″在拋物線上，其坐標(biāo)為：（﹣10，32），Q″坐標(biāo)為（﹣16，29）．
故：存在矩形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（2，8）或（﹣16，29）．
1．（2022?漢川市模擬）拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于另一點(diǎn)A，B兩點(diǎn)．與y軸交于C，D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求A，B，C，D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)以A，D，M，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【答案】（1） A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），D（1，4）；
（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，+2）或（0，﹣+2）或（﹣2，）或（2，）．
【解答】解：（1）令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0，則y＝3，
∴C（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點(diǎn)D（1，4）；
（2）設(shè)M（0，m），Q（x，y），
①當(dāng)AD、MQ為矩形的對(duì)角線時(shí)，
，
∴x＝0，y＝4﹣m，
∵AD＝MQ，
∴2＝|y﹣m|，
∴y＝+2或y＝﹣+2，
∴Q（0，+2）或Q（0，﹣+2）；
②當(dāng)AM、DQ為矩形的對(duì)角線時(shí)，
，
∴x＝﹣2，y＝m﹣4，
∵AM＝DQ，
∴1+m2＝9+（y﹣4）2，
∴y＝，
∴Q（﹣2，）；
③當(dāng)AQ、DM為矩形的對(duì)角線時(shí)，
，
∴x＝2，y＝4+m，
∵AQ＝DM，
∴9+y2＝1+（4﹣m）2，
∴y＝，
∴Q（2，）；
綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，+2）或（0，﹣+2）或（﹣2，）或（2，）．
2．（2022?巨野縣模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸分別交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝﹣x+n經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥y軸，分別交x軸，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求直線BC及拋物線的表達(dá)式；
（2）在拋物線上取點(diǎn)M，在坐標(biāo)系內(nèi)取點(diǎn)N，問是否存在以C、B、M、N為頂點(diǎn)且以CB為邊的矩形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3．
（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）或（﹣2，﹣5）．
【解答】解：（1）令x＝0，則y＝3．
∴C（0，3）．
∵直線y＝﹣x+n經(jīng)過C點(diǎn)，
∴n＝3．
∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3．
令y＝0，則x＝3．
∴B（3，0）．
∵拋物線y＝ax2+bx+3與x軸分別交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，
∴．
解得：．
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3．
（2）存在．
∵C，D，M均在拋物線上，以C、B、M、N為頂點(diǎn)且以CB為邊的矩形，
∴過點(diǎn)B且垂直于直線BC的直線與拋物線的交點(diǎn)或過點(diǎn)C且垂直于直線BC的直線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)M．
∵直線BC的解析式為y＝﹣x+3，
∴設(shè)過點(diǎn)C且垂直于直線BC的直線為y＝x+3．
∴．
解得：（舍去）或．
∴M（1，4）．
∵直線BC的解析式為y＝﹣x+3，
∴設(shè)過點(diǎn)B且垂直于直線BC的直線為y＝x﹣3．
∴．
解得：（舍去）或．
∴M（﹣2，﹣5）．
綜上，存在以C、B、M、N為頂點(diǎn)且以CB為邊的矩形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）或（﹣2，﹣5）．
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）的直線AB與y軸交于點(diǎn)B（0，4）．經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線y＝﹣x2+bx+c交直線AB于點(diǎn)A，C，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；
（2）M是線段AB上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)MN∥y軸且MN＝2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c過點(diǎn)A（4，0）和O（0，0），
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x；
（2）∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）和B（0，4），
∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+4，
∵M(jìn)N∥y軸，
設(shè)M（t，﹣t+4），N（t，﹣t2+4t），其中0≤t≤4，
當(dāng)M在N點(diǎn)的上方時(shí)，
MN＝﹣t+4﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣5t+4＝2，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴M1（，），
當(dāng)M在N點(diǎn)下方時(shí)，
MN＝﹣t2+4t﹣（﹣t+4）＝﹣t2+5t﹣4＝2，
解得：t1＝2，t2＝3，
∴M2（2，2），M3（3，1），
綜上，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)有三個(gè)（，）或（2，2）或（3，1）；
（3）存在，
①如圖2，若AC是矩形的邊，
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)R，且R（2，2），
過點(diǎn)C，A分別作直線AB的垂線交拋物線于點(diǎn)P1，P2，
∵C（1，3），D（2，4），
∴CD＝＝，
同理得：CR＝，RD＝2，
∴CD2+CR2＝DR2，
∴∠RCD＝90°，
∴點(diǎn)P1與點(diǎn)D重合，
當(dāng)CP1∥AQ1，CP1＝AQ1時(shí)，四邊形ACP1Q1是矩形，
∵C（1，3）向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到P1（2，4），
∴A（4，0）向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到Q1（5，1），
此時(shí)直線P1C的解析式為：y＝x+2，
∵直線P2A與P1C平行且過點(diǎn)A（4，0），
∴直線P2A的解析式為：y＝x﹣4，
∵點(diǎn)P2是直線y＝x﹣4與拋物線y＝﹣x2+4x的交點(diǎn)，
∴﹣x2+4x＝x﹣4，
解得：x1＝﹣1，x2＝4（舍），
∴P2（﹣1，﹣5），
當(dāng)AC∥P2Q2時(shí)，四邊形ACQ2P2是矩形，
∵A（4，0）向左平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到C（1，3），
∴P2（﹣1，﹣5）向左平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到Q2（﹣4，﹣2）；
②如圖3，若AC是矩形的對(duì)角線，
設(shè)P3（m，﹣m2+4m）
當(dāng)∠AP3C＝90°時(shí)，過點(diǎn)P3作P3H⊥x軸于H，過點(diǎn)C作CK⊥P3H于K，
∴∠P3KC＝∠AHP3＝90°，∠P3CK＝∠AP3H，
∴△P3CK∽△AP3H，
∴＝，
∴＝，
∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合，
∴m≠1或m≠4，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m＝，
∴如圖4，滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，即P3（，），P4（，），
當(dāng)P3C∥AQ3，P3C＝AQ3時(shí)，四邊形AP3CQ3是矩形，
∵P3（，）向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到C（1，3），
∴A（4，0）向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到Q3（，），
當(dāng)P4C∥AQ4，P4C＝AQ4時(shí)，四邊形AP4CQ4是矩形，
∵P4（，）向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到C（1，3），
∴A（4，0）向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到Q4（，）；
綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，1）或（﹣4，﹣2）或（，）或（，）．
4．已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線解析式；
（2）如圖①，若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，求線段PD長的最大值；
（3）如圖②，若點(diǎn)N是拋物線上另一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)，且以BC為邊的矩形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)y＝a（x+1）（x﹣3），
將點(diǎn)C（0，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），
∴﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）過點(diǎn)P作PE⊥x軸交于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵PD⊥BC，
∴∠DFP＝45°，
∴DF＝DP＝PF，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），則F（t，﹣t+3），
∴PF＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴DP＝（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，
∴當(dāng)t＝時(shí)，DP的長的最大值為；
（3）存在以點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)，且以BC為邊的矩形，理由如下：
設(shè)N（n，﹣n2+2n+3），
當(dāng)M、N在直線BC的上方時(shí)，過點(diǎn)N作NG⊥y軸交于點(diǎn)G，過點(diǎn)M作MH⊥x軸交于點(diǎn)H，
∵∠NCB＝90°，
∴∠GCN+∠OCB＝90°，
∵∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠GCN＝∠OBC，
∴△GCN∽△OBN，
∴CG＝GN，即n＝﹣n2+2n，
∴解得n＝1，
∴N（1，4），
∴CN＝，
∴BM＝，
∵∠HBM＝90°﹣∠OBC＝45°，
∴BH＝HM＝1，
∴M（4，1）；
當(dāng)MN在直線BC下方時(shí)，過點(diǎn)B作PQ⊥x軸，過點(diǎn)C作CP⊥PQ交于P點(diǎn)，過點(diǎn)N作NQ⊥PQ交于Q點(diǎn)，過點(diǎn)M作MR⊥PC交于點(diǎn)R，
同理可得△BCP∽△NBQ，
∴NQ＝BQ，即3﹣n＝n2﹣2n﹣3，
解得n＝3（舍）或n＝﹣2，
∴N（﹣2，﹣5），
∴BN＝5，
∴CM＝5，
∵∠RCM＝45°，
∴CR＝RM＝5，
∴M（﹣5，﹣2）；
綜上所述：M點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1）或（﹣5，﹣2）．
5．如圖，拋物線y＝ax2+2x+c的對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，DM交直線BC于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以A，C，N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）已知點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）拋物線y＝ax2+2x+c的對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），
∴A（﹣1，0），
∴，解得，
∴拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+3，
將點(diǎn)B（3，0）代入得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3；
設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），則點(diǎn)N（t，﹣t+3），
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴AC2＝12+32＝10，
AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，
CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，
①當(dāng)AC＝AN時(shí)，AC2＝AN2，
∴10＝2t2﹣4t+10，
解得t1＝2，t2＝0（不合題意，舍去），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，1）；
②當(dāng)AC＝CN時(shí)，AC2＝CN2，
∴10＝2t2，
解得t1＝，t2＝﹣（不合題意，舍去），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，3﹣）；
③當(dāng)AN＝CN時(shí)，AN2＝CN2，
∴2t2﹣4t+10＝2t2，
解得t＝，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）；
綜上，存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，1）或（，3﹣）或（，）；
（3）設(shè)E（1，a），F(xiàn)（m，n），
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝3，
①以BC為對(duì)角線時(shí)，BC2＝CE2+BE2，
∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，
解得：a＝，或a＝，
∴E（1，）或（1，），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3，
∴m＝2，n＝或n＝，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，）或（2，）；
②以BC為邊時(shí)，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，
∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2，
解得：a＝4或a＝﹣2，
∴E（1，4）或（1，﹣2），
∵B（3，0），C（0，3），
∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，
∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）或（﹣2，1），
綜上所述：存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）．

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