溫馨提示：本試卷包括第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.祝同學們考試順利!
第Ⅰ卷（選擇題 共45分）
注意事項：
1.答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考號涂寫在答題卡上.
2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答在試卷上的無效.
3.本卷共9小題，每小題5分，共45分.
參考公式：
?球的表面積公式，其中R表示球的半徑.
?如果事件A、B互斥，則.
?如果事件A、B相互獨立，則.
一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.已知集合，，集合，則集合C的子集個數(shù)為（ ）
A.1B.2C.3D.4
2.函數(shù)的圖象大致是（ ）
A.B.C.D.
3.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，若，，成等差數(shù)列，則（ ）
A.B.C.D.
4.已知a，，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.既不充分也不必要條件D.充要條件
5.某市為了減少水資源浪費，計劃對居民生活用水實施階梯水價制度，為確定一個比較合理的標準，從該市隨機調(diào)查了100位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，則以下四個說法正確的個數(shù)為（ ）
①估計居民月均用水量低于的概率為0.25；
②估計居民月均用水量的中位數(shù)約為；
③該市有40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于的人數(shù)為6萬；
④根據(jù)這100位居民的用水量，采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣的方法，抽取了容量為20人的樣本，則在用水量區(qū)間中應抽取4人.
（第5題）
A.1B.2C.3D.4
6.設，，，則有（ ）
A.B.C.D.
7.已知函數(shù)，是的導數(shù)，則以下結(jié)論中正確的是（ ）
A.函數(shù)是奇函數(shù)
B.函數(shù)與的值域相同
C.函數(shù)的圖象關于直線對稱
D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
8.若三棱臺的上、下底面均是正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且其各頂點都在表面積為的球O的表面上，，則三棱臺的高為（ ）
A.B.8C.6或8D.或6
9.設雙曲線的左、右焦點分別為點，，過坐標原點的直線與C交于A，B兩點，，的面積為，且，若雙曲線C的實軸長為4，則雙曲線C的方程為（ ）
A.B.C.D.
第Ⅱ卷（非選擇題 共105分）
注意事項：
1.用黑色鋼筆或簽字筆直接答在答題卡上，答在本試卷上的無效.
2.本卷共11題，共105分.
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分）
10.i為虛數(shù)單位，復數(shù)，則______.
11.在的二項展開式中，的系數(shù)為______（請用數(shù)字作答）.
12.為深入學習貫徹黨的二十大精神，推動全市黨員干部群眾用好“學習強國”學習平臺，某單位組織“學習強國”知識競賽，競賽共有10道題目，隨機抽取3道讓參賽者回答，規(guī)定參賽者至少要答對其中2道才能通過初試.已知某參賽黨員甲只能答對其中的6道，那么黨員甲抽到能答對題目數(shù)X的數(shù)學期望為______；黨員甲能通過初試的概率為______.
13.圓與拋物線的準線相交于A，B兩點.若，則拋物線的焦點坐標為______.
14.青花瓷，常簡稱青花，代表了我國古代勞動人民智慧的結(jié)晶，是中國瓷器的主流品種之一.圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為2，若點M在正六邊形的邊上運動，動點A，B在圓O上運動且關于圓心O對稱.
（i）請用、表示______；
（ii）請寫出的取值范圍______.
圖一 圖二
第（14）題
15.若函數(shù)（其中）在區(qū)間上恰有4個零點，則a的取值范圍為______.
三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
16.（本小題滿分14分）
在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別a，b，c，其中，，且.
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值.
17.（本小題滿分15分）
如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，，點E，F(xiàn)分別是棱，的中點，點M是線段上一點.
第（17）題
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求平面與平面的夾角的余弦值；
（IⅢ）若直線與平面所成的角的正弦值為，求此時的長度.
18.（本小題滿分15分）
在平面直角坐標系中，橢圓的左焦點為點F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設不過原點O且斜率為的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，線段的中點為T，直線與橢圓C交于兩點M，N，證明：.
19.（本小題滿分15分）
若數(shù)列滿足，其中，，則稱數(shù)列為M數(shù)列.
（Ⅰ）已知數(shù)列為M數(shù)列，當，時，
（i）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出數(shù)列的通項公式；
（ii），求.
（Ⅱ）若是M數(shù)列，且，證明：存在正整數(shù)n，使得.
20.（本小題滿分16分）
已知函數(shù)，，（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設在處的切線方程為，求證：當時，；
（Ⅲ）若，存在，使得，且，求證：當時，.
和平區(qū)2023-2024學年度第二學期高三年級第一次質(zhì)量調(diào)查
數(shù)學學科試卷參考答案及評分標準
一、選擇題（分分）
二、填空題（分分）
10..11..12.；.
13..14.；.
15..
三、解答題（共75分）
16.（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）因為，由正弦定理，所以，……1分
所以，解得，所以.……4分
（Ⅱ）由余弦定理，……6分
，所以.……8分
（Ⅲ），.……12分
所以.……14分
17.（本小題滿分15分）
解：（Ⅰ）證明：因為四棱雉的底面是正方形，平面，所以以點D為坐標原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，……1分
則有，，，，，，.
因為，，設平面的法向量為，
則，令，則，……3分
又因為，則，即，……4分
由平面，所以平面得證.
（Ⅱ）設平面與平面的夾角為，
平面的法向量，平面的法向量，……5分
所以，，
則平面與平面的夾角的余弦值為.……8分
（Ⅲ）設長度為，，
設直線與平面所成角為，已知，，……10分
，……13分
求得，則此時長度為1.……15分
18.（本小題滿分15分）
解：（Ⅰ）依題意，，解得所以橢圓C的方程為.……4分
（Ⅱ）設直線l的方程為，設點，，
，聯(lián)立方程組，整理得.……6分
，即，即且.……7分
由韋達定理得，所以中點，
所以直線方程為，設點N在第二象限，……10分
，聯(lián)立方程組，求得，，……11分
所以，……13分
……14分
……15分
所以.
19.（本小題滿分15分）
解：（I）（i）證明：由，可得，……2分
所以，數(shù)列是首項為公差為1的等差數(shù)列，
所以，，……4分
又因為，所以.……5分
（ii），，……6分
，
設，，
，
，……8分
所以，，，……9分
所以，.……10分
（Ⅱ）若是M數(shù)列，有，故，且，
即……12分
，……14分
則
，由隨n的增大而增大，
法（一） 若是M數(shù)列，則且，
且時，，
故對任意的，總存在正整數(shù)n使，
即總存在正整數(shù)n，使得.
法（二） 若，可得，因為，
故對任意的，總存在正整數(shù)n使，
即總存在正整數(shù)n，使得.……15分
20.（本小題滿分16分）
解：（Ⅰ）因為，令，即，，……1分
所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.……3分
（Ⅱ）因為，所以，而，……4分
所以在點處的切線方程為：，……5分
當時，令，，
法（一）：令，
，則時，，所以在上單調(diào)遞增，，即，所以在上單調(diào)遞增，，
所以.
法（二） 易證，
所以，，
所以，
所以在時恒成立，
即時，得證.……8分
（Ⅲ）證明：由題意可知……9分
因為時，，
令，，所以在時單調(diào)遞減，
所以，所以在為減函數(shù).
則由（Ⅰ）有在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，……10分
所以，，
設，
設與交點橫坐標為，則，有，……11分
因為，
可得，……12分
所以，又，
所以，……13分
令，則，，
法（一）： 易證，
所以，，，
所以在單調(diào)遞增.
法（二） 令，則，
當時，可得恒成立，在上單調(diào)遞增，
，即恒成立，
所以在上單調(diào)遞增.
在時，，……15分
所以，……16分
所以.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
D
B
A
B
D
B
D
C
C

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