注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。
2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。
3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。
4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。
5．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺。不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。
鞍山市普通高中2023—2024學(xué)年度高三第二次質(zhì)量監(jiān)測
數(shù)學(xué)
考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．1D．4
2．已知直線，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，那么點(diǎn)到直線的距離的最大值為（ ）
A．B．C．D．
3．已知非零向量，滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
4．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，若，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．在某次美術(shù)專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)的概率分別是0.6，0.8和0.5，且三人的測試結(jié)果相互獨(dú)立，則測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級(jí)的前提條件下，乙沒有達(dá)優(yōu)秀等級(jí)的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，則（ ）
A．B．C．5D．8
7．校數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)對(duì)“學(xué)生性別和選學(xué)生物學(xué)是否有關(guān)”作了嘗試性調(diào)查．其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同．男生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占女生人數(shù)．若有的把握認(rèn)為選學(xué)生物學(xué)和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生不可能有（ ）人．
A．20B．30C．35D．40
附表：
其中，．
8．已知，均為銳角，，則取得最大值時(shí)，的值為（ ）
A．B．C．1D．2
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．已知在上是單調(diào)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是
B．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是
C．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是
D．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是
10．如圖，正方體的棱長為2，，，，分別是棱，，，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形有可能為正六邊形
B．三棱錐的體積為定值
C．當(dāng)時(shí)，平面
D．當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球的表面積為
11．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為點(diǎn)到點(diǎn)的“折線距離”．點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在拋物線上．下列結(jié)論中正確的結(jié)論為（ ）
A．的最小值為2B．的最大值為
C．的最小值為D．的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知圓錐的底面半徑為2，母線與底面所成的角為，則該圓錐的表面積為______．
13．的極大值為______．
14．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，，軸于點(diǎn)，且．當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)恰好在雙曲線上，則雙曲線的離心率為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（本小題滿分12分）
鞍山市普通高中某次高三質(zhì)量監(jiān)測考試后，將化學(xué)成績按賦分規(guī)則轉(zhuǎn)換為等級(jí)分?jǐn)?shù)（賦分后學(xué)生的分?jǐn)?shù)全部介于30至100之間）．某校為做好本次考試的評(píng)價(jià)工作，從本校學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的化學(xué)等級(jí)分?jǐn)?shù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，將分?jǐn)?shù)按照，，，，，，分成7組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)這50名學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；
（2）在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在，，的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
16．（本小題滿分15分）
如圖1，在平面五邊形中，，且，，，，將沿折起，使點(diǎn)到的位置，且，得到如圖2所示的四棱錐．
（1）求證；平面；
（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
17．（本小題滿分15分）
已知函數(shù)，．
（1）若曲線在處的切線與軸垂直，求實(shí)數(shù)的值；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．
18．（本小題滿分17分）
焦點(diǎn)在軸上的橢圓的左頂點(diǎn)為，，，為橢圓上不同三點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，直線和直線的斜率之積為．
（1）求的值；
（2）若的面積為1，求和的值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)的中點(diǎn)為，求的最大值．
19．（本小題滿分17分）
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且．
（1）證明：為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求除以16的余數(shù)．0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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