本試卷共4頁，19題．滿分150分．考試用時120分鐘．
考試時間：2024年3月27日下午15：00—17：00
注意事項：
1．答題前，先將自已的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置．
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設(shè)復數(shù)，則（ ）
A．0B．2C．D．
2．已知集合，，若定義集合運算：，則集合的所有元素之和為（ ）
A．6B．3C．2D．0
3．畫條直線，將圓的內(nèi)部區(qū)域最多分割成（ ）
A．部分B．部分
C．部分D．部分
4．某運動愛好者最近一周的運動時長數(shù)據(jù)如下表：
則（ ）
A．運動時長的第30百分位數(shù)是30B．運動時長的平均數(shù)為60
C．運動時長的極差為120D．運動時長的眾數(shù)為60
5．已知數(shù)列中，，，，則下列說法不正確的是（ ）
A．B．
C．是等比數(shù)列D．
6．若，則（ ）
A．88B．87C．86D．85
7．已知函數(shù)，，若有兩個零點，則（ ）
A．B．C．D．
8．以表示數(shù)集中的報小值，已知不全為0的實數(shù)x，y，二元函數(shù)，則的最大值為（ ）
A．0B．C．1D．2
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知函數(shù)為函數(shù)的一個極值點，則（ ）
A．B．
C．D．
10．已知拋物線，過的焦點的直線與交于A，B兩點，設(shè)的中點為，分別過A，B兩點作拋物線的切線，相交于點，則（ ）
A．點必在拋物線的準線上
B．
C．面積的最小值為
D．過作直線的平行線交軸于點，則
11．已知函數(shù)，則（ ）
A．當時，方程無解
B．當時，存在實數(shù)使得函數(shù)有兩個零點
C．若恒成立，則
D．若方程有3個不等的實數(shù)解，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知數(shù)列中，，，，則的前項和__________．
13．已知直線與橢圓交于A，B兩點，與橢圓交于C，D兩點，若，則實數(shù)__________．
14．所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫作擬柱體．在這兩個平行平面內(nèi)的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫作擬柱體的高．現(xiàn)有一擬柱體，上下底面均為正六邊形，且下底面邊長為4，上底面各頂點在下底面的射影點為下底面各邊的中點，高為2，則該擬柱體的體積為__________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解笞應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且．
（1）判斷的形狀；
（2）若在邊上，且，，以和為邊，，向外作兩個正方形，求這兩個正方形面積和的最小值．
16．（15分）
如圖，已知三棱錐中，平面底面，平面，且，．
（1）求三棱錐的體積；
（2）已知，求平面與平面所成二面角的正弦值．
17．（15分）
已知函數(shù)．
（1）證明：函數(shù)有三個不同零點的必要條件是；
（2）由代數(shù)基本定理，次復系數(shù)多項式方程在復數(shù)域內(nèi)有且只有個根（重根按重數(shù)計算）．
若，證明：方程至多有3個實數(shù)根．
18．（17分）
在平面直角坐標系內(nèi)，以原點為圓心，a，b（，，a，b為定值）為半徑分別作同心圓，，設(shè)為圓上任一點（不在軸上），作直線，過點作圓的切線與軸交于點，過圓與軸的交點作圓的切線與直線交于點，過點，分別作軸，軸的垂線交于點．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設(shè)，點，，過點的直線與軌跡交于A，B兩點（兩點均在y軸左側(cè)）．
（i）若，的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標為，求的值；
（ii）若點是曲線上（軸左側(cè)）的點，過點作直線與曲線在處的切線平行，交于點，證明：的長為定值．
19．（17分）
設(shè)的所有可能取值為，稱（）為二維離散隨機變量的聯(lián)合分布列，用表格表示為：
仿照條件概率的定義，有如下離散隨機變量的條件分布列：定義，對于固定的，若，則稱為給定條件下的條件分布列．
離散隨機變量的條件分布的數(shù)學期望（若存在）定義如下：．
（1）設(shè)二維離散隨機變量的聯(lián)合分布列為
求給定條件下的條件分布列；
（2）設(shè)為二維離散隨機變量，且存在，證明：；
（3）某人被困在有三個門的迷宮里，第一個門通向離開迷宮的道，沿此道走30分鐘可走出迷宮；第二個門通一條迷道，沿此迷道走50分鐘又回到原處；第三個門通一條迷道，沿此迷道走70分鐘也回到原處．假定此人總是等可能地在三個門中選擇一個，試求他平均要用多少時間才能走出迷宮．
星期
一
二
三
四
五
六
日
時長（分鐘）
60
150
30
60
10
90
120
Y
X
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
1
Y
X
1
2
3
4
1
0.1
0.3
0.2
0.6
2
0．05
0.2
0.15
0.4
0.15
0.5
0.35
1
2024屆高三三月聯(lián)合測評
數(shù)學試卷參考答案與評分細則
1．B【解析】因為，所以，選B．
2．A【解析】因為，所以集合的所有元素之和為6，選A．
3．B【解析】設(shè)畫條直線，將圓最多分割成部分，有，，所以，選B．
4．D【解析】數(shù)據(jù)排序為：10，30，60，60，90，120，150．由，得第30百分位數(shù)為60，A錯；平均數(shù)為，B錯；極差為140，C錯；眾數(shù)為60，D對．選D．
5．D【解析】由，，得，所以，，故，，ABC正確，選D．
6．A【解析】易知，當時，，
所以，
而，所以，選A．
7．C【解析】由，得或，所以或，由，所以，，A、B錯誤．，C正確，，D錯誤，選C．
8．C【解析】易知．當時，；當時，，所以，選C．
9．AC【解析】由，，有，，，A正確，B錯誤；是函數(shù)圖象的對稱軸，C正確；是函數(shù)的對稱中心，D錯誤，選AC．
10．ABC【解析】設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立有，設(shè)，，有，，，的斜率分別為，，有，，解得，所以A正確；，，經(jīng)計算，，B正確；
對C，，易知當時取最小值，C正確；
對D，由于軸，所以四邊形為平行四邊形，所以，而，D錯誤，選ABC．
11．BCD【解析】對A，，，，令，，易知，，，，所以，方程有解，A錯誤；
對B，有兩個零點0，所以當時，有兩個零點，正確；
對C，若恒成立，即恒成立，即恒成立，令，則，令，則，所以在是增函數(shù)，又，，因此，，使得①，
所以當時，，即，則在上是減函數(shù)，
當時，，即，則在上式增函數(shù)，
則②，
由①得，又設(shè)，易知在是增函數(shù)，所以③，將③代入②得，因此，正確．
對D，或，即或兩個方程有3個解，令，，可知在上遞減，在上遞增，且當時，從而，從而，正確．選BCD．
12．，所以，，所以，所以．填：
13．將直線方程分別與兩個橢圓方程聯(lián)立，有，，設(shè)，，，，有，，所以線段與的中點重合，故，所以．填：1．
14．過上底頂點向下底作垂線，可得該擬柱體的體積為中間正六棱柱的體積與外側(cè)6個四棱雉的體積之和，上底面邊長為，正六棱柱的體積，四棱錐的體積為，從而擬柱體的體積為．填：．
15．（1）由及正弦定理可得，．
整理有．
從而，或．而，所以是直角三角形．
（2）由（1）知，，設(shè)，，在中，由正弦定理，，．
同理在中，．
所以兩個正方形面積和．
當且僅當，即時等號成立，所以兩個正方形面積和的最小值為．
16．（1）取中點為，連結(jié)，由，平面，所以．
．
又平面底面，所以平面．
所以．所以底面．
從而的體積為．
（2）由（1）以為原點，過點作平行線為軸，，分別為x，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
有，，，．
，，．
設(shè)為平面的法向量，，，有．
平面的法向量．
有．
所以平面與平面所成二面角的正弦值為．
17．解：（1），其判別式．
若函數(shù)有三個不同零點，則必有極大值點與極小值點．
故，從而其必要條件為．
（3）令．
．
．
．
由，可知．
所以在定義域上單調(diào)遞增，則其僅有唯一零點，不妨記為，可知在上，在上，故先減后增．
所以至多有兩個不同的零點，不妨設(shè)為，，從而在上遞增，，遞減，遞增．
從而至多有三個不同零點．
所以方程至多有3個實數(shù)根．
18．（1）設(shè)，則．
過的切線方程為，所以
由和，得．
設(shè)，則即
由，得為所求的方程．
（2）設(shè)內(nèi)切圓圓心為，點G，H，J分別為圓與，，的切點．
（i）由（1）可知，軌跡是以為焦點的雙曲線，由雙曲線定義可知，，，．
由，有，r為內(nèi)切圓的半徑．
從而，
有．
又，所以切點與重合，設(shè)，
有，．
聯(lián)立有，所以．
（ii）設(shè)，過點作的角平分線，交軸于點，設(shè)，，，由角平分線定理，，有，解得．
從而．
設(shè)切線為，與雙曲線方程聯(lián)立，解得，所以切線即為，從而．
延長至，使得，連結(jié)，有，設(shè)過原點的與處切線平行的直線與交于點，由于為中點，所以為中點，又，所以．
從而．所以．
19．（1）因為，所以用第一行各元素分別除以0．6，可得給定條件下的條件分布列：
（2）二維離散隨機變量的概率為，有由，
．
于是，．
由，有．
（3）由（2）知，對于二維離散隨機變量，．
設(shè)他需要小時離開迷宮，記表示第一次所選的門，事件表示選第個門，
由題設(shè)有．
因為選第一個門后30分鐘可離開迷宮，所以．
又因為選第二個門后50分鐘回到原處，所以．
又因為選第三個門后70分鐘也回到原處，所以．
所以．
解得，即他平均要150分鐘才能離開迷宮．1
2
3

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