一、單選題
1．已知全集U與集合A，B的關(guān)系如圖，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A．B．C．D．
2．復(fù)數(shù)z滿足，（i為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．C．D．
3．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（ ）
A．B．C．D．
4．德國(guó)天文學(xué)家約翰尼斯·開普勒根據(jù)丹麥天文學(xué)家第谷·布拉赫等人的觀測(cè)資料和星表，通過本人的觀測(cè)和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運(yùn)動(dòng)第三定律——繞以太陽為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的所有行星，其橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a與公轉(zhuǎn)周期T有如下關(guān)系：，其中M為太陽質(zhì)量，G為引力常量．已知火星的公轉(zhuǎn)周期約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)約為水星的（ ）
A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍
5．關(guān)于函數(shù)（，，），有下列四個(gè)說法：
①的最大值為3
②的圖像可由的圖像平移得到
③的圖像上相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離為
④的圖像關(guān)于直線對(duì)稱
若有且僅有一個(gè)說法是錯(cuò)誤的，則（ ）
A．B．C．D．
6．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓與軸切于點(diǎn)，直線交圓于兩點(diǎn)，其中在第二象限，則（ ）
A．B．C．D．
7．在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn)．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在該正方體的表面上，且，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
8．用表示x，y中的最小數(shù)．已知函數(shù)，則的最大值為( )
A．B．C．D．ln2
二、多選題
9．已知，且，，則( )
A．B．
C．D．
10．有n（，）個(gè)編號(hào)分別為1，2，3，…，n的盒子，1號(hào)盒子中有2個(gè)白球和1個(gè)黑球，其余盒子中均有1個(gè)白球和1個(gè)黑球．現(xiàn)從1號(hào)盒子任取一球放入2號(hào)盒子；再從2號(hào)盒子任取一球放入3號(hào)盒子；…；以此類推，記“從號(hào)盒子取出的球是白球”為事件（，2，3，…，n），則（ ）
A．B．
C．D．
11．已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，過F的直線交E于點(diǎn)，，E在B處的切線為，過A作與平行的直線，交E于另一點(diǎn)，記與y軸的交點(diǎn)為D，則（ ）
A．B．
C．D．面積的最小值為16
三、填空題
12．展開式的常數(shù)項(xiàng)為 .
13．設(shè)雙曲線C：(，)的一個(gè)焦點(diǎn)為F，過F作一條漸近線的垂線，垂足為E．若線段EF的中點(diǎn)在C上，則C的離心率為 ．
14．已知，且，，則 ．
四、解答題
15．在中，．
(1)求B的大小；
(2)延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M，使得．若，求的大?。?br>16．如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上．

(1)若，證明：平面；
(2)若二面角的正弦值為，求BQ的長(zhǎng)．
17．已知某種機(jī)器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．
(1)求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；
(2)從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時(shí)n的值．
附：若，取，．
18．已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，直線l：與x軸交于點(diǎn)M，且，
(1)求C的方程；
(2)B為l上的動(dòng)點(diǎn)，過B作C的兩條切線，分別交y軸于點(diǎn)P，Q，
①證明：直線BP，BF，BQ的斜率成等差數(shù)列；
②⊙N經(jīng)過B，P，Q三點(diǎn)，是否存在點(diǎn)B，使得，？若存在，求；若不存在，請(qǐng)說明理由.
19．已知，函數(shù)，．
(1)若，證明：；
(2)若，求a的取值范圍；
(3)設(shè)集合，對(duì)于正整數(shù)m，集合，記中元素的個(gè)數(shù)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
參考答案：
1．A
【分析】
利用韋恩圖表示的集合運(yùn)算，直接寫出結(jié)果即可.
【詳解】
觀察韋恩圖知，陰影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合為.
故選：A
2．C
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再求模長(zhǎng)即可求解.
【詳解】
由已知得：，
所以，.
故選：C．
3．A
【分析】
把等比數(shù)列各項(xiàng)用基本量和表示，根據(jù)已知條件列方程即可求解.
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由，得：，
即：，
所以，，
又，所以，，
所以，.
故選：A.
4．B
【分析】
根據(jù)已知的公式，由周期的倍數(shù)關(guān)系求出長(zhǎng)半軸長(zhǎng)的倍數(shù)關(guān)系即可.
【詳解】
設(shè)火星的公轉(zhuǎn)周期為，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，火星的公轉(zhuǎn)周期為，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，
則，，且
得： ，
所以，，即：.
故選：B．
5．D
【分析】
根據(jù)題意，由條件可得②和③相互矛盾，然后分別驗(yàn)證①②④成立時(shí)與①③④成立時(shí)的結(jié)論，即可得到結(jié)果.
【詳解】
說法②可得，說法③可得，則，則，②和③相互矛盾；
當(dāng)①②④成立時(shí)，由題意，，，．
因?yàn)?，故，，即，?br>說法①③④成立時(shí)，由題意，，，，
，故不合題意．
故選：D．
6．D
【分析】
先根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式求出線段的長(zhǎng)度，再求出直線的傾斜角，即可求得與的的夾角，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】
由題意，圓心，
到直線距離為，
所以，
直線的斜率為，則其傾斜角為，
則與的的夾角為，
所以.
故選：D．

7．B
【分析】根據(jù)條件得到點(diǎn)軌跡為以為直徑的球，進(jìn)而得出點(diǎn)的軌跡是六個(gè)半徑為a的圓，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，故P點(diǎn)軌跡為以為直徑的球，
如圖，易知中點(diǎn)即為正方體中心，球心在每個(gè)面上的射影為面的中心，
設(shè)在底面上的射影為，又正方體的棱長(zhǎng)為，所以，
易知，，又動(dòng)點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，
所以點(diǎn)的軌跡是六個(gè)半徑為a的圓，軌跡長(zhǎng)度為，
故選：B．
8．C
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，作出其圖象，根據(jù)圖象平移作出的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到答案．
【詳解】∵，∴，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;
由題意令，即，解得；
作出圖象：

則的最大值為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)處函數(shù)值，為．
故選：C．
9．ACD
【分析】
用對(duì)數(shù)表示x，y，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的計(jì)算、基本不等式等即可逐項(xiàng)計(jì)算得到答案．
【詳解】
∵，∴，同理，
∵在時(shí)遞增，故，故A正確；
∵，∴B錯(cuò)誤；
∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，故，∴C正確；
∴，即，∴D正確．
故選：ACD．
10．BC
【分析】
根據(jù)題意，由概率的公式即可判斷AC，由條件概率的公式即可判斷B，由與的關(guān)系，即可得到，從而判斷D
【詳解】
對(duì)A，，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)B，，故，所以B正確；
對(duì)C，，所以C正確；
對(duì)D，由題意：，所以，
，，所以，
所以，
則，所以D錯(cuò)誤．
故選：BC．
11．ACD
【分析】
A選項(xiàng)，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之積，從而求出；B選項(xiàng)，求導(dǎo)，得到切線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到；C選項(xiàng)，求出，，結(jié)合焦半徑公式求出，C正確；D選項(xiàng)，作出輔助線，結(jié)合B選項(xiàng)，得到，表達(dá)出，利用基本不等式求出最小值，從而得到面積最小值.
【詳解】
A選項(xiàng)，由題意得，準(zhǔn)線方程為，
直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得，，故，A正確；
B選項(xiàng)，，直線的斜率為，故直線的方程為，
即，聯(lián)立，得，故，
所以B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，由直線的方程，令得，
又，所以，
故，故，
又由焦半徑公式得，所以C正確；
D選項(xiàng)，不妨設(shè)，過B向作平行于y軸的直線交于M，
根據(jù)B選項(xiàng)知，，
故，
根據(jù)直線的方程，
當(dāng)時(shí)，，
故，
故，
故
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故的面積最小值為16，D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．
12．15
【分析】
利用二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式求解.
【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，
令，解得，
所以常數(shù)項(xiàng)為，
故答案為：15.
13．
【分析】
由直線EF與漸近線方程聯(lián)立求出E的坐標(biāo)，代入雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出離心率．
【詳解】
直線EF與漸近線方程聯(lián)立得解得，，
∴EF中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
又M點(diǎn)在雙曲線上，代入其標(biāo)準(zhǔn)方程，得，
化簡(jiǎn)得，∴，．
故答案為：．
14．/
【分析】
變形后得到，利用輔助角公式得到，得到，兩邊平方后得到，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出.
【詳解】
由題可知，所以，
所以，
因?yàn)椋裕?br>又，所以，故，
所以，
兩邊平方后得，故，
．
故答案為：
15．(1)；
(2)或．
【分析】（1）由，代入已知等式中，利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)得，可得B的大小；
（2）設(shè)，，在和中，由正弦定理表示邊角關(guān)系，化簡(jiǎn)求的大小.
【詳解】（1）在中，，所以．
因?yàn)椋裕?br>即
化簡(jiǎn)得．
因?yàn)?，所以，?br>因?yàn)椋裕?br>（2）法1：設(shè)，，則．
由（1）知，又，所以在中，．
在中，由正弦定理得，即①．
在中，由正弦定理得，即②．
①÷②，得，即，所以．
因?yàn)椋?，所以或，故或?br>法2：設(shè)，則，．
因?yàn)?，所以，因此?br>所以，．
在中，由正弦定理得，即，
化簡(jiǎn)得．
因?yàn)椋曰?，?br>故或．
16．(1)證明見解析；
(2)1．
【分析】
（1）取的中點(diǎn)M，先證明四邊形BMPQ是平行四邊形得到線線平行，再由線面平行性質(zhì)定理可得；
（2）法一：應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得到線面垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用共線條件設(shè) ，利用向量加減法幾何意義表示所需向量的坐標(biāo)，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空間直角坐標(biāo)系后，直接設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示所需向量坐標(biāo)求解兩平面的法向量及夾角，建立方程求解；法三：一作二證三求，設(shè)，利用面面垂直性質(zhì)定理，作輔助線作角，先證明所作角即為二面角的平面角，再利用已知條件解三角形建立方程求解可得.
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)M，連接MP，MB．
在四棱臺(tái)中，四邊形是梯形，，，
又點(diǎn)M，P分別是棱，的中點(diǎn)，所以，且．
在正方形ABCD中，，，又，所以．
從而且，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以．
又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>（2）在平面中，作于O．
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面?br>所以平面．
在正方形ABCD中，過O作AB的平行線交BC于點(diǎn)N，則．
以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危?，，所以，又，所以?br>易得，，，，，所以，，．

法1：設(shè)，所以．
設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，取，
另取平面DCQ的一個(gè)法向量為．
設(shè)二面角的平面角為θ，由題意得．
又，所以，
解得（舍負(fù)），因此，．
所以當(dāng)二面角的正弦值為時(shí)，BQ的長(zhǎng)為1．
法2：設(shè)，所以．
設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，取，
另取平面DCQ的一個(gè)法向量為．
設(shè)二面角的平面角為θ，由題意得．
又，所以，
解得或6（舍），因此．
所以當(dāng)二面角的正弦值為時(shí)，BQ的長(zhǎng)為1．

法3：在平面中，作，垂足為H．
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面?br>所以平面，又平面，所以．
在平面ABCD中，作，垂足為G，連接PG．
因?yàn)?，，，PH，平面，
所以平面，又平面，所以．
因?yàn)?，，所以是二面角的平面角?br>在四棱臺(tái)中，四邊形是梯形，
，，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，
所以，．
設(shè)，則，，
在中，，從而．
因?yàn)槎娼堑钠矫娼桥c二面角的平面角互補(bǔ)，
且二面角的正弦值為，所以，從而．
所以在中，，解得或（舍）．
所以當(dāng)二面角的正弦值為時(shí)，BQ的長(zhǎng)為1．
17．(1)0.09；
(2).
【分析】
（1）根據(jù)題意，由正態(tài)分布的概率公式代入計(jì)算，再由全概率公式，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由二項(xiàng)分布的概率公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）記電壓“不超過200V”、“在200V~240V之間”、“超過240V”分別為事件A，B，C，“該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D．
因?yàn)?，所以?br>，
．
所以
，
所以該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為0.09．
（2）從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n件，設(shè)不合格品件數(shù)為X，則，
所以．
由，解得．
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；所以最大．
因此當(dāng)時(shí)，最大．
18．(1)
(2)①證明見解析；②存在，
【分析】
（1）先求出右頂點(diǎn)D和M的坐標(biāo)，利用題中條件列等式，分類討論計(jì)算得出橢圓的方程；
（2）設(shè)直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，由題意，將韋達(dá)定理代入可出答案.
【詳解】（1）由右焦點(diǎn)為，得，
因?yàn)?，所以?br>若，則，得，無解，
若，則，得，所以，因此C的方程.
（2）設(shè)，易知過B且與C相切的直線斜率存在，
設(shè)為，
聯(lián)立，消去y得，
由，得，
設(shè)兩條切線BP，BQ的斜率分別為，，則，.
①設(shè)BF的斜率為，則，
因?yàn)?，所以BP，BF，BQ的斜率成等差數(shù)列，

②法1：在中，令，得，所以，
同理，得，所以PQ的中垂線為，
易得BP中點(diǎn)為，所以BP的中垂線為，
聯(lián)立，解得，
所以，，
要使，即，整理得，
而，
所以，解得，，因此，
故存在符合題意的點(diǎn)B，使得，此時(shí).

法2：在中，令，得，因此，
同理可得，所以PQ的中垂線為，
因?yàn)锽P中點(diǎn)為，所以BP的中垂線為，
聯(lián)立，解得，
要使，則，所以，即，
而，
所以，解得，，因此，
故存在符合題意的點(diǎn)B，使得，此時(shí).

法3：要使，即或，
從而，又，所以，
因?yàn)椋?br>所以，解得，，所以，
故存在符合題意的點(diǎn)B，使得，此時(shí).

法4：要使，即或，
從而，
在中，令，得，故，
同理可得，
因此，，
所以，
故，即，
整理得，
所以，整理得，解得或（舍去），
因此，，
故存在符合題意的點(diǎn)B，使得，此時(shí).

法5：要使，即或，
在中，令，得，故，
同理可得，
由等面積法得，
即，整理得，
所以，整理得，解得或（舍去），
因此，，
故存在符合題意的點(diǎn)B，使得，此時(shí).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
19．(1)證明見解析；
(2)；
(3).
【分析】
（1）通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求最小值即可證明；
（2）對(duì)的值分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求最小值，判斷能否滿足；
（3）利用（1）中結(jié)論，，通過放縮并用裂項(xiàng)相消法求，有，可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br>，．
設(shè)，，
則，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
因此．
（2）函數(shù)，，
方法一：
，
當(dāng)時(shí)，
注意到，故，
因此，
由（1）得，因此，
所以在上單調(diào)遞增，從而，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，令，
，
因?yàn)?，所以存在，使得?br>則當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，
從而，所以在上單調(diào)遞減，因此，不合題意；
綜上，．
方法二：
，
當(dāng)時(shí)，注意到，故，
因此，
由（1）得，因此，
所以在上單調(diào)遞增，從而，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，先證明當(dāng)時(shí)，.
令，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，有，
所以在上單調(diào)遞減，有，
因此當(dāng)時(shí)，.
又由（1）得，
此時(shí)，
則且，當(dāng)時(shí)，。
所以在上單調(diào)遞減，因此，不合題意；
綜上，．
所以a的取值范圍為；
（3）由（1）可知時(shí)，，
，
時(shí)，，時(shí)，，
時(shí)，
，
，則，即，
，則，
得，又，
時(shí)，，時(shí)，，
所以時(shí)，都有，
，則時(shí)，集合在每個(gè)區(qū)間都有且只有一個(gè)元素，
對(duì)于正整數(shù)m，集合，記中元素的個(gè)數(shù)為，
由，所以.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：
導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理，利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，不等式問題，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.

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