一、單選題
1．記等差數(shù)列的前n項和為.若，，則（ ）
A．49B．63C．70D．126
2．已知，，若，則（ ）
A．1B．C．D．
3．某公司現(xiàn)有員工120人，在榮獲“優(yōu)秀員工”稱號的85人中，有75人是高級工程師.既沒有榮獲“優(yōu)秀員工”稱號又不是高級工程師的員工共有14人，公司將隨機選擇一名員工接受電視新聞節(jié)目的采訪，被選中的員工是高級工程師的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．與拋物線和圓都相切的直線的條數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且，則（ ）
A．B．C．D．
6．若，，，則（ ）
A．B．
C．D．
7．已知復(fù)數(shù)，滿足，則（ ）
A．1B．C．2D．
8．若不等式對任意的恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．已知橢圓：的兩個焦點分別為，，是C上任意一點，則（ ）
A．的離心率為B．的周長為12
C．的最小值為3D．的最大值為16
10．已知函數(shù)的圖象在y軸上的截距為，是該函數(shù)的最小正零點，則（ ）
A．
B．恒成立
C．在上單調(diào)遞減
D．將的圖象向右平移個單位，得到的圖象關(guān)于軸對稱
11．下列等式中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
12．已知隨機變量，則的值為 .
13．在三棱柱中，，，且平面，則的值為 .
14．已知集合，函數(shù).若函數(shù)滿足：對任意，存在，使得，則的解析式可以是 .（寫出一個滿足條件的函數(shù)解析式即可）
四、解答題
15．已知數(shù)列的前n項和為，且，令.
(1)求證：為等比數(shù)列；
(2)求使取得最大值時的n的值.
16．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)討論極值點的個數(shù).
17．拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所得的點數(shù)分別為a，b，記的取值為隨機變量X，其中表示不超過的最大整數(shù).
(1)求在的條件下，的概率；
(2)求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
18．已知雙曲線C：的左右頂點分別為，，過點的直線與雙曲線C的右支交于M，N兩點.
(1)若直線的斜率k存在，求k的取值范圍；
(2)記直線，的斜率分別為，，求的值；
(3)設(shè)G為直線與直線的交點，，的面積分別為，，求的最小值.
19．在空間直角坐標(biāo)系中，任何一個平面的方程都能表示成，其中，，且為該平面的法向量.已知集合，，.
(1)設(shè)集合，記中所有點構(gòu)成的圖形的面積為，中所有點構(gòu)成的圖形的面積為，求和的值；
(2)記集合Q中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為，中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為，求和的值：
(3)記集合T中所有點構(gòu)成的幾何體為W.
①求W的體積的值；
②求W的相鄰（有公共棱）兩個面所成二面角的大小，并指出W的面數(shù)和棱數(shù).
參考答案：
1．B
【分析】
利用等差數(shù)列的項的“等和性”得到，再運用等差數(shù)列的前n項和公式計算即得.
【詳解】因是等差數(shù)列，故，于是
故選：B
2．A
【分析】
根據(jù)平面向量共線的充要條件即可得解.
【詳解】因為，，，
所以，解得.
故選：A.
3．C
【分析】
求出沒有榮獲“優(yōu)秀員工”稱號的高級工程師人數(shù)，得到公司的高級工程師總?cè)藬?shù)，從而得到概率.
【詳解】由題意得，沒有榮獲“優(yōu)秀員工”稱號的高級工程師有人，
則公司共有高級工程師的人數(shù)為，
故被選中的員工是高級工程師的概率為.
故選：C
4．D
【分析】
設(shè)出切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出拋物線的切線方程，再由圓的切線性質(zhì)列式計算即得.
【詳解】設(shè)直線與拋物線相切的切點坐標(biāo)為，由，求導(dǎo)得，
因此拋物線在點處的切線方程為，即，
依題意，此切線與圓相切，于是，解得或，所以所求切線條數(shù)為3.
故選：D
5．A
【分析】
由題設(shè)條件和正弦定理化邊為角，再利用和角公式進(jìn)行拆角化簡，即可得到，利用三角形內(nèi)角范圍即得.
【詳解】由以及正弦定理可得：，
因，代入整理得，
因,則得，又因，故.
故選：A.
6．C
【分析】
利用三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，放縮求解即可.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，即，
綜上，
故選：C
7．B
【分析】
首先分析題意，設(shè)出復(fù)數(shù)，求出復(fù)數(shù)的模找變量之間的關(guān)系，整體代入求解即可.
【詳解】
設(shè)則
所以，，即，
則
故選：B.
8．A
【分析】
因為，所以，即求直線的縱截距的最小值，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證明在的圖象上凹，所以直線與相切，切點橫坐標(biāo)越大，縱截距越小，據(jù)此即可求解.
【詳解】因為，所以，
所以即求直線的縱截距的最小值，
設(shè)，所以，
所以在單調(diào)遞增，所以在的圖象上凹，
所以直線與相切，切點橫坐標(biāo)越大，縱截距越小，
令切點橫坐標(biāo)為，所以直線過點，且直線斜率為
所以的直線方程為，
當(dāng)時，，
即直線與相切時，
直線與無交點，
設(shè)，所以，
所以在時斜率為，在時斜率為，均小于直線的斜率，
所以可令直線在處與相交，在處與相交，
所以直線方程為，
所以截距為.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于，，即求直線的縱截距的最小值的分析.
9．BD
【分析】
首先分析題意，利用橢圓性質(zhì)進(jìn)行逐個求解，直接求出離心率判斷A，利益橢圓的定義求出焦點三角形周長判斷B，舉反例判斷C，利用基本不等式求最大值判斷D即可.
【詳解】
由橢圓得
則所以，故A錯誤;
易知的周長為故B正確；
當(dāng)在橢圓長軸的一個端點時，取得最小值，最小值為，故C錯誤；
由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，
則取得最大值16，故D正確.
故選：BD.
10．AC
【分析】
由題意求出，然后由余弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】函數(shù)的圖象在y軸上的截距為，
所以，因為，所以.故A正確；
又因為是該函數(shù)的最小正零點，
所以，所以，
解得，所以，，
所以，故B錯誤；
當(dāng)時，，故C正確；
將的圖象向右平移個單位，得到，
是非奇非偶函數(shù)，圖象不關(guān)于軸對稱，故D錯誤.
故選：AC.
11．BCD
【分析】
利用的展開式與賦值法可判斷A，利用組合數(shù)的性質(zhì)可判斷B，利用階乘的裂項法可判斷C，構(gòu)造求其含的項的系數(shù)可判斷D.
【詳解】對于A，因為，
令，得，則，故A錯誤；
對于B，因為，
所以
，故B正確；
對于C，因為，
所以，故C正確.
對于D，，
對于，其含有的項的系數(shù)為，
對于，要得到含有的項的系數(shù)，
須從第一個式子取出個，再從第二個式子取出個，
它們對應(yīng)的系數(shù)為，
所以，故D正確.
故選：BCD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題D選項解決的關(guān)鍵是，利用組合的思想，從多項式中得到含有的項的系數(shù)，從而得解.
12．16
【分析】
理解正態(tài)分布的均值、方差的含義即得，再利用隨機變量的方差性質(zhì)即可求得.
【詳解】由可得,則.
故答案為：16 .
13． /0.5
【分析】
利用三棱柱模型，選擇一組空間基底，將相關(guān)向量分別用基底表示，再利用平面，確定必共面，運用空間向量共面定理表達(dá)，建立方程組計算即得.
【詳解】
如圖，不妨設(shè)，依題意，,
，
因，則
又因平面，故必共面，
即存在，使，即，
從而有，解得.
故答案為：.
14．（滿足，且一次項系數(shù)不為零的所有一次或者二次函數(shù)解析式均正確）
【分析】
根據(jù)，求得，則滿足的一次函數(shù)或二次函數(shù)均可.
【詳解】，，
，，
，，
所以，則的解析式可以為.
經(jīng)檢驗，滿足題意.
故答案為：（答案不唯一）.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的形式，確定函數(shù)的關(guān)鍵特征和條件.
15．(1)證明見解析
(2).
【分析】
（1）結(jié)合已知，由時化簡得，再由及等比數(shù)列的定義證明即可；
（2）先求得，利用作商法判斷數(shù)列的單調(diào)性即可求得最值.
【詳解】（1）
由，可得時，
即，，又因為，所以，，
綜上，，，所以為首項和公比均為的等比數(shù)列.
（2）由（1）可得，所以，
時，，
令，可得，（或令，可得），
可知，
綜上，或時，的取得最大值.
16．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
(2)答案見解析.
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極值點個數(shù).
【詳解】（1）
當(dāng)時，定義域為，
又，
所以，
由，解得，此時單調(diào)遞增；
由，解得，此時單調(diào)遞減，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）
函數(shù)的定義域為，
由題意知，，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
即極值點的個數(shù)為個；
當(dāng)時，易知，
故解關(guān)于的方程得，，，
所以，
又，，
所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，
即極值點的個數(shù)為個.
綜上，當(dāng)時，極值點的個數(shù)為個；當(dāng)時，極值點的個數(shù)為個.
17．(1)
(2)分布列見解析，
【分析】
（1）利用列舉法結(jié)合條件概率公式即可得解；
（2）寫出隨機變量的所有可能取值，求出對應(yīng)概率，即可得出分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可.
【詳解】（1）
記拋擲骰子的樣本點為，
則樣本空間為，
則，
記事件“”，記事件“”，
則，且，
又
，
則，
所以，
即在的條件下，的概率為；
（2）
所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6.
，，，
，，，，
所以的分布列為：
所以.
18．(1)；
(2)；
(3)3.
【分析】
（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合題意列出不等式組，即可求解；
（2）由（1）得到，求得，結(jié)合斜率公式，準(zhǔn)確運算，即可求解；
（3）由（2）可知，設(shè)與的方程分別為和，兩兩方程組，求得，結(jié)合三角形的面積公式和不等式的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）
解：設(shè)，，直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
因為直線與雙曲線的右支交于兩點，
可得 ，解得，
又由直線的斜率為，可得的取值范圍是.
（2）
解：由雙曲線，可得，，
由（1）可得，，則.
所以
.
（3）
解：由（2）可知，
所以直線與直線的方程分別為和，
聯(lián)立兩直線方程可得交點的橫坐標(biāo)為，
于是
，
故的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號成立.

【點睛】
方法技巧：求解圓錐曲線的最值問題的解答策略與技巧：
1、幾何方法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形，以及幾何性質(zhì)求解；
2、代數(shù)方法：當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個目標(biāo)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.
19．(1)，；
(2)，；
(3)①16；②，共有12個面，24條棱.
【分析】
（1）首先分析題意進(jìn)行解答，分別表示出集合代表的點，后得到的截面是正方形求出，同理得到是正方形求出即可.
（2）首先根據(jù)（1）分析得出為截去三棱錐所剩下的部分.
后用割補法求解體積即可.
（3）利用題目中給定的定義求出法向量，結(jié)合面面角的向量求法求解，再看圖得到面數(shù)和棱數(shù)即可.
【詳解】（1）
集合表示平面上所有的點，
表示這八個頂點形成的正方體內(nèi)所有的點，
而可以看成正方體在平面上的截面內(nèi)所有的點.
發(fā)現(xiàn)它是邊長為2的正方形，因此.
對于，當(dāng)時，
表示經(jīng)過，，的平面在第一象限的部分.
由對稱性可知Q表示，，
這六個頂點形成的正八面體內(nèi)所有的點.
而可以看成正八面體在平面上的截面內(nèi)所有的點.
它是邊長為的正方形，因此.
（2）
記集合，中所有點構(gòu)成的幾何體的體積分別為，；
考慮集合的子集；
即為三個坐標(biāo)平面與圍成的四面體.
四面體四個頂點分別為，，，，
此四面體的體積為
由對稱性知，
考慮到的子集構(gòu)成的幾何體為棱長為1的正方體，
即，
，
顯然為兩個幾何體公共部分，
記，，，.
容易驗證，，在平面上，同時也在的底面上.
則為截去三棱錐所剩下的部分.
的體積，三棱錐的體積為.
故的體積.
當(dāng)由對稱性知，.
（3）
如圖所示，即為所構(gòu)成的圖形.
其中正方體即為集合P所構(gòu)成的區(qū)域.構(gòu)成了一個正四棱錐，
其中到面的距離為，
，.
由題意面方程為，由題干定義知其法向量
面方程為，由題干定義知其法向量
故.
由圖知兩個相鄰的面所成角為鈍角.故H相鄰兩個面所成角為.
由圖可知共有12個面，24條棱.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查立體幾何新定義，解題關(guān)鍵是利用新定義求出法向量，然后利用向量求法得到所要求的二面角余弦值即可．
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