一、單選題
1．已知，則“”是“”的（ ）
A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件
2．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．在正三棱臺(tái)中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．平面
C．D．
4．已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
5．在展開式中，的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)和為（ ）
A．B．64C．D．32
6．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且單調(diào)遞增．若，則（ ）
A．B．C．D．
7．若關(guān)于的方程的整數(shù)根有且僅有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．已知定義在上的函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于對(duì)稱B．的圖象關(guān)于對(duì)稱
C．在單調(diào)遞增D．有最小值
二、多選題
9．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，為其終邊上一點(diǎn)，若角的終邊與角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，則（ ）
A．B．
C．D．角的終邊在第一象限
10．已知圓與圓相交于兩點(diǎn)．若，則實(shí)數(shù)的值可以是（ ）
A．10B．2C．D．
11．已知半徑為球與棱長(zhǎng)為1的正四面體的三個(gè)側(cè)面同時(shí)相切，切點(diǎn)在三個(gè)側(cè)面三角形的內(nèi)部（包括邊界），記球心到正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為，則（ ）
A．有最大值，但無(wú)最小值B．最大時(shí)，球心在正四面體外
C．最大時(shí)，同時(shí)取到最大值D．有最小值，但無(wú)最大值
三、填空題
12．平面向量滿足，，，則 ．
13．如圖，在等腰梯形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿翻折到，將沿翻折到，使得二面角等于，等于，則直線與平面所成角的余弦值等于 ．

14．已知，分別是雙曲線與拋物線的公共點(diǎn)和公共焦點(diǎn)，直線傾斜角為，則雙曲線的離心率為 ．
四、解答題
15．記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，，求的面積．
16．已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不同于），記分別為直線的斜率，且滿足．
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示）；
(2)求的取值范圍．
17．紅旗淀粉廠2024年之前只生產(chǎn)食品淀粉，下表為年投入資金（萬(wàn)元）與年收益（萬(wàn)元）的8組數(shù)據(jù)：
(1)用模擬生產(chǎn)食品淀粉年收益與年投入資金的關(guān)系，求出回歸方程；
(2)為響應(yīng)國(guó)家“加快調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)”的號(hào)召，該企業(yè)又自主研發(fā)出一種藥用淀粉，預(yù)計(jì)其收益為投入的．2024年該企業(yè)計(jì)劃投入200萬(wàn)元用于生產(chǎn)兩種淀粉，求年收益的最大值．（精確到0.1萬(wàn)元）
附：①回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，
②
③
18．?dāng)?shù)列滿足：是等比數(shù)列，，且．
(1)求；
(2)求集合中所有元素的和；
(3)對(duì)數(shù)列，若存在互不相等的正整數(shù)，使得也是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”．試分別判斷數(shù)列是否是“和穩(wěn)定數(shù)列”．若是，求出所有的值；若不是，說(shuō)明理由．
19．如圖，對(duì)于曲線，存在圓滿足如下條件：

①圓與曲線有公共點(diǎn)，且圓心在曲線凹的一側(cè)；
②圓與曲線在點(diǎn)處有相同的切線；
③曲線的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（即曲線的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)等于）；
則稱圓為曲線在點(diǎn)處的曲率圓，其半徑稱為曲率半徑．
(1)求拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程；
(2)求曲線的曲率半徑的最小值；
(3)若曲線在和處有相同的曲率半徑，求證：．
10
20
30
40
50
60
70
80
12.8
16.5
19
20.9
21.5
21.9
23
25.4
161
29
20400
109
603
參考答案：
1．B
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及充分、必要條件的定義判定即可.
【詳解】易知，所以不滿足充分性，而，滿足必要性.
故選：B
2．D
【分析】
根據(jù)題意，由集合交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得，，
，則.
故選：D
3．D
【分析】
對(duì)于A：求出體積，然后作差確定大?。粚?duì)于BC：舉例說(shuō)明其錯(cuò)誤；對(duì)于D：通過證明面來(lái)判斷.
【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為，下底面邊長(zhǎng)為，，高為，
對(duì)于A：，，
則
，
即，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：由正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征易知為鈍角，所以與不垂直，所以與面不垂直，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：（反例）假設(shè)該棱臺(tái)是由正四面體被其中截面所截后形成的棱臺(tái)，則，若，，
所以
，即與不垂直，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，
則，且，面，
所以面，同理面，又，
所以面，則面與面是同一個(gè)面（過一點(diǎn)只有一個(gè)平面與已知直線垂直）
所以面，又面，
所以.
故選：D.
4．B
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求最值得，從而有，再利用函數(shù)單調(diào)遞減得，利用函數(shù)單調(diào)遞增得，即可比較大小.
【詳解】對(duì)，因?yàn)?，則，即函數(shù)在單調(diào)遞減，
且時(shí)，，則，即，所以，
因?yàn)榍?，所以?br>又，所以.
故選：B
5．A
【分析】
設(shè)，利用賦值法計(jì)算可得.
【詳解】設(shè)，
令可得，
令可得，
所以，
即在展開式中的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)和為.
故選：A
6．A
【分析】
因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以從第二項(xiàng)開始，各項(xiàng)均為正數(shù)，由此可求得取值范圍.
【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，所以，
又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，所以從第二項(xiàng)開始，各項(xiàng)均為正數(shù).
由.
因?yàn)楹愠闪ⅲ詳?shù)列為常數(shù)數(shù)列或遞增數(shù)列，所以.
綜上，.
故選：A
7．C
【分析】
設(shè)，利用絕對(duì)值三角不等式得，時(shí)等號(hào)成立，進(jìn)而有且整數(shù)根有且僅有兩個(gè)，對(duì)于，應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)及對(duì)稱性有且，得，即可求參數(shù)范圍.
【詳解】
設(shè)，則原方程為，
由，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以，
整理得①，顯然不滿足，
令，即必有兩根，且，故為兩個(gè)正根，
所以，可得或，
對(duì)于，有，即，即恒滿足①，
要使①中整數(shù)根有且僅有兩個(gè)，則對(duì)應(yīng)兩個(gè)整數(shù)根必為，
若整數(shù)根為且，則，即，
所以，得，
綜上，
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用絕對(duì)值三角不等式的等號(hào)成立得到，且整數(shù)根有且僅有兩個(gè)為關(guān)鍵.
8．A
【分析】利用特殊值可排除B、C，利用函數(shù)的性質(zhì)可確定A、D.
【詳解】對(duì)于BC，由題意可知：，
顯然的圖象不關(guān)于對(duì)稱，而，故B、C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若為有理數(shù)，則，顯然，函數(shù)無(wú)最小值，故D錯(cuò)誤；
對(duì)于A，若是有理數(shù)，即互質(zhì)，則也互質(zhì)，即，
若為無(wú)理數(shù)，則也為無(wú)理數(shù)，即，
所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故A正確.
下證：互質(zhì)，則也互質(zhì).
反證法：若互質(zhì)，不互質(zhì)，不妨設(shè)，
則，此時(shí)與假設(shè)矛盾，所以也互質(zhì).
故選：A
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)抽象函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合互質(zhì)的定義去判定A、B，而作為抽象函數(shù)可以適當(dāng)選取特殊值驗(yàn)證選項(xiàng)，提高正確率.
9．ACD
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義，可求角的三角函數(shù)，結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷A的真假；利用二倍角公式，求出的三角函數(shù)值，結(jié)合三角函數(shù)的概念指出角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，由對(duì)稱性確定角終邊與單位圓交點(diǎn)，從而判斷BCD的真假.
【詳解】因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，
所以：，所以，，所以，故A對(duì)；
又，
，
所以的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為：，
因?yàn)榻堑慕K邊與角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，所以角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，
所以，且的終邊在第一象限，故CD正確；
又因?yàn)榻K邊在直線的角為：，角的終邊與角的終邊關(guān)于對(duì)稱，
所以，故B錯(cuò)誤.
故選：ACD
10．BD
【分析】
根據(jù)題意，由條件可得弦所在的直線方程，然后將轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離關(guān)系，列出方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得弦所在的直線方程為，
因?yàn)閳A，圓心，
圓，圓心，
設(shè)圓心與圓心到直線的距離分別為，
因?yàn)?，即?br>所以，又，
即，化簡(jiǎn)可得，
即，解得或.
故選：BD
11．ABD
【分析】
求出的取值范圍可判斷A，B；設(shè)，根據(jù)題意得到關(guān)于的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，得到的單調(diào)性和最值可判斷C，D.
【詳解】對(duì)于AB，設(shè)球心為，正四面體為，的中心為，
則在上，，，
球與平面，平面，平面相切，與平面相切于點(diǎn)，
，，
因?yàn)?，在中，，則
所以在中，，
因?yàn)?，所以，有最大值，但無(wú)最小值，故A正確；
當(dāng)，此時(shí)，
最大時(shí)，球心在正四面體外，故B正確；
對(duì)于CD，設(shè)，，，
所以，令，
令，解得：或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，所以有最小值，但無(wú)最大值，故D正確，C錯(cuò)誤.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題CD選項(xiàng)解決的關(guān)鍵在于，假設(shè)，將表示為關(guān)于的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)即可得解.
12．
【分析】
根據(jù)題意，設(shè)向量，由向量共線以及數(shù)量積的結(jié)果列出方程，即可得到的坐標(biāo)，從而得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)向量，由可得，
又，則，
解得，，則，
所以.
故答案為：
13．/
【分析】根據(jù)圖象可得直線與平面所成角的余弦值等于的正弦值，設(shè)，利用余弦定理求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度再進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)，取的中點(diǎn),連接,
由題知平面平面,
平面平面,
又平面,
所以平面，

則直線與平面所成角的余弦值等于的正弦值，
易求得，
,
又,
解得，
,
則,
所以直線與平面所成角的余弦值等于，
故答案為：.
14．或
【分析】
由題意，根據(jù)直線傾斜角為得直線的方程為，聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程即可得離心率.
【詳解】
因?yàn)闉殡p曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)，
所以，故，
因直線傾斜角為，故直線的斜率為，直線的方程為，
聯(lián)立，得，即，
得或，
當(dāng)時(shí)，，代入得，
又因，，得，
解得，又因，得
當(dāng)時(shí)，，代入得，
又因，，得，
解得，又因，得
故答案為：或.
15．(1)或
(2)
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理，邊化角，結(jié)合三角形中角的取值范圍，可得，從而確定角.
（2）根據(jù)條件求角求邊，再結(jié)合三角形面積公式求面積.
【詳解】（1）
由 得，而為三角形內(nèi)角，
故sinB>0,得，而為三角形內(nèi)角，或
（2）
由得，
又，∴， ，故 ，
由（1）得，故，
∴，而為三角形內(nèi)角， ∴.
又即，
又，而為三角形內(nèi)角，故，
.
16．(1)或（）；
(2).
【分析】
（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求得，再聯(lián)立直線與橢圓方程求解即得.
（2）利用（1）的結(jié)論求出，再借助基本不等式求出范圍即可.
【詳解】（1）
依題意，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則，
則，兩式相減得，于是，
由，整理得，解得或，
用代替上述坐標(biāo)中的k，得或（）.
（2）
由（1）得，，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
顯然，所以，即的取值范圍是.

17．(1)
(2)36.5
【分析】
（1）利用回歸直線的公式求和的值，可得回歸方程.
（2）建立函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值.
【詳解】（1）
∴回歸方程為：
（2）
2024年設(shè)該企業(yè)投入食品淀粉生產(chǎn)x萬(wàn)元，預(yù)計(jì)收益（萬(wàn)元）
，
，得
∴其在上遞增，上遞減
18．(1)，
(2)
(3)數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”，，數(shù)列不是“和穩(wěn)定數(shù)列”，理由見解析
【分析】
（1）根據(jù)已知及等比數(shù)列的定義求出的通項(xiàng)公式，由已知和求通項(xiàng)可得的通項(xiàng)公式，
（2）根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)果
（3）根據(jù)“和穩(wěn)定數(shù)列”的定義可判定.
【詳解】（1）
，
又，，解得：
因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以的公比，
又當(dāng)時(shí)，，
作差得：
將代入，化簡(jiǎn)：，
得：
是公差的等差數(shù)列，
（2）
記集合的全體元素的和為，
集合的所有元素的和為，
集合的所有元素的和為，
集合的所有元素的和為，則有
對(duì)于數(shù)列：
當(dāng)時(shí)，是數(shù)列中的項(xiàng)
當(dāng)時(shí)，不是數(shù)列中的項(xiàng)
，其中
即（其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)）
（3）
①解：當(dāng)時(shí)，是的正整數(shù)倍，
故一定不是數(shù)列中的項(xiàng)；
當(dāng)時(shí)，，不是數(shù)列中的項(xiàng)；
當(dāng)時(shí)，，是數(shù)列中的項(xiàng)；
綜上，數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”，；
②解：數(shù)列不是“和穩(wěn)定數(shù)列”，理由如下：
不妨設(shè)：，則，且
故不是數(shù)列中的項(xiàng).
數(shù)列不是“和穩(wěn)定數(shù)列”.
19．(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】
（1）設(shè)拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為，求出導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，結(jié)合所給定義求出即可；
（2）設(shè)曲線在的曲率半徑為，根據(jù)所給定義表示出，再由基本不等式計(jì)算可得；
（3）依題意函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，即，從而得到，令，，即可得到，再由基本不等式證明即可．
【詳解】（1）
記，設(shè)拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為，其中為曲率半徑．
則，，
故，，即，
所以拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為；
（2）
設(shè)曲線在的曲率半徑為．則
法一：，
由知，，
所以 ，
故曲線在點(diǎn)處的曲率半徑，
所以，則，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故，曲線在點(diǎn)處的曲率半徑．
法二：，，
所以，而，
所以，解方程可得，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故，曲線在點(diǎn)處的曲率半徑．
（3）
法一：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，
故，
由題意知： 令，
則有，
所以，即，故．
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以．
法二：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，
有
令，則有，
則，故 ，
因?yàn)?，所以?br>所以有，
令，則，即，
故，所以，即；
法三：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑．
故
設(shè)，則，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故有，
所以，
要證，即證，
即證 將 ，
下證：當(dāng)時(shí)，有，
設(shè)函數(shù)（其中），
則，
故單調(diào)遞增， ，
故，所以．
法四：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，
有，
設(shè)．
則有，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
故有，
所以，
要證，即證，
即證．將，
下證：當(dāng)時(shí)，有，
設(shè)函數(shù)（其中），
則，
故單調(diào)遞增，故 ，
故，所以．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移法證明不等式，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到極值點(diǎn)，分析兩根相等時(shí)兩根的范圍，根據(jù)范圍以及函數(shù)值相等構(gòu)造新的函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及最值，判斷新函數(shù)小于或大于零恒成立，即可證明不等式.

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浙江省溫州市2023屆高三第二次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題

浙江省溫州市2023屆高三第二次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題
浙江省溫州市2023屆高三下學(xué)期3月第二次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題(含解析）

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2018屆浙江省溫州市高三3月適應(yīng)性考試（二模）數(shù)學(xué)試題（PDF版）

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