1．在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)（2，0）且斜率為﹣1的直線不經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3+a7＝6，a12＝17，則S16＝（ ）
A．120B．140C．160D．180
3．已知空間向量，若，則x＝（ ）
A．B．3C．D．2
4．在下列四個(gè)正方體中，能得出AB⊥CD的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在黨的二十大報(bào)告中，習(xí)近平總書記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教育”，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展．某地區(qū)教育行政部門積極響應(yīng)黨中央號召，近期將安排甲、乙、丙、丁4名教育專家前往某省教育相對落后的三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作，則每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．小王經(jīng)營了一家小型餐館，自去年疫情管控宣布結(jié)束后的第1天開始，經(jīng)營狀況逐步有了好轉(zhuǎn)，該店第一周的營業(yè)收入數(shù)據(jù)（單位：百元）統(tǒng)計(jì)如下：
其中第4天和第6天的數(shù)據(jù)由于某種原因造成模糊，但知道7天的營業(yè)收入平均值是23，已知營業(yè)收入y與天數(shù)序號x可以用經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程擬合，且第7天的殘差是﹣0.6，則的值是（ ）
A．10.4B．6.2C．4.2D．2
7．點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動，則P點(diǎn)到直線l：（1+3λ）x+（1﹣2λ）y﹣（7+λ）＝0（λ為任意實(shí)數(shù)）的距離的最大值為（ ）
A．B．6C．D．5
8．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過F2且與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)P，若|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
（多選）9．已知圓C方程為x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0，則下列說法中正確的是（ ）
A．圓C的圓心坐標(biāo)為（1，2）
B．圓C的半徑為3
C．圓C與直線x＝2相切
D．點(diǎn)P（3，2）在圓外
（多選）10．一個(gè)裝有6個(gè)小球的口袋中，有編號為1，3的兩個(gè)紅球，編號為2，4的兩個(gè)藍(lán)球，編號為5，6的兩個(gè)黑球．現(xiàn)從中任意取出兩個(gè)球，設(shè)事件A＝“取出的兩球顏色相同”，B＝“取出的兩球編號之差的絕對值為1”，C＝“取出的兩球編號之和為6或7”，D＝“取出的兩球編號乘積為5”，則下列說法正確的是（ ）
A．事件A與事件B相互獨(dú)立
B．事件A與事件C相互獨(dú)立
C．事件B與事件C相互獨(dú)立
D．事件B與事件D互斥
（多選）11．在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列，在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和后，與原數(shù)列構(gòu)成新的數(shù)列，再把所得的數(shù)列按照同樣的方法不斷的構(gòu)造出新的數(shù)列．如：將數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2；…；第n（n∈N+）次得到數(shù)列1，x1，x2，x3，…，2現(xiàn)將數(shù)列1，1用上述方法進(jìn)行構(gòu)造，記第n（n∈N+）次構(gòu)造后所得新數(shù)列的所有項(xiàng)的和為an，則對于數(shù)列{an}，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．a(chǎn)4＝84
B．a(chǎn)n+1＝3an﹣2
C．若，n∈N+，則f（n）的最小值為21
D．若，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．若互不相等的實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，c、a、b成等比數(shù)列，且a+3b+c＝10，則a＝ ．
13．傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)．在一個(gè)“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為 ．
14．已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線C上的點(diǎn)到定直線l：x＝2的距離與到定點(diǎn)F（﹣2，0）的距離相等，P為曲線C上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥l，垂足為M．若|PF|＝|MF|，則|OP|＝ ．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn＝an2+5an+6且a1，a3，a15成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an．
16．某班為了慶祝我國傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設(shè)計(jì)了一個(gè)小游戲：在一個(gè)不透明箱中裝有4個(gè)黑球，3個(gè)紅球，1個(gè)黃球，這些球除顏色外完全相同．每位學(xué)生從中一次隨機(jī)摸出3個(gè)球，觀察顏色后放回．若摸出的球中有X個(gè)紅球，則分得X個(gè)月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個(gè)節(jié)目．
（1）求一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；
（2）求每位學(xué)生分得月餅數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望．
17．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝4，CD＝3，M為側(cè)棱PC的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)D到平面PBC的距離；
（2）求二面角M﹣AD﹣B的正切值．
18．（17分）已知橢圓過點(diǎn)，橢圓C的右焦點(diǎn)與點(diǎn)Q（2，﹣2）所在直線的斜率為﹣2．（1）求橢圓C的方程；
（2）若過Q的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．點(diǎn)P（3，0）．直線PA，PB分別交橢圓C于點(diǎn)M，N，直線MN的斜率是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．
19．（17分）今有一個(gè)“數(shù)列過濾器”，它會將進(jìn)入的無窮非減正整數(shù)數(shù)列刪去某些項(xiàng)，并將剩下的項(xiàng)按原來的位置排好形成一個(gè)新的無窮非減正整數(shù)數(shù)列，每次“過濾”會刪去數(shù)列中除以M余數(shù)為N的項(xiàng)，將這樣的操作記為L（M，N）操作．設(shè)數(shù)列{an}是無窮非減正整數(shù)數(shù)列．
（1）若an＝2n﹣1，n∈N+，{an}進(jìn)行L（2，1）操作后得到{bn}，設(shè)an+bn前n項(xiàng)和為Sn
①求Sn．
②是否存在p，q，r∈N+，使得Sp，Sq，Sr成等差？若存在，求出所有的（p，q，r）；若不存在，說明理由．
（2）若an＝n，n∈N+，對{an}進(jìn)行L（4，0）與L（4，1）操作得到{bn}，再將{bn} 中下標(biāo)除以4余數(shù)為0，1的項(xiàng)刪掉最終得到{cn} 證明：每個(gè)大于1的奇平方數(shù)都是{cn} 中相鄰兩項(xiàng)的和．
參考答案
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)（2，0）且斜率為﹣1的直線不經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系以及直線方程的定義，即可得出結(jié)論．
解：平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)（2，0）且斜率為﹣1的直線如圖所示，
則該直線不經(jīng)過第三象限．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了直線方程的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
2．記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3+a7＝6，a12＝17，則S16＝（ ）
A．120B．140C．160D．180
【分析】根據(jù)題意，利用下標(biāo)和性質(zhì)先求出a5+a12的值，然后根據(jù)前n項(xiàng)和公式結(jié)合下標(biāo)和性質(zhì)求解出S16的值．
解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，
因?yàn)閍3+a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5+a12＝3+17＝20，
所以．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
3．已知空間向量，若，則x＝（ ）
A．B．3C．D．2
【分析】根據(jù)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示進(jìn)行計(jì)算即可．
解：由題意可得，
因?yàn)椋?br>所以，
解得．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
4．在下列四個(gè)正方體中，能得出AB⊥CD的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】在A中，推導(dǎo)出線面垂直，從而得到AB⊥CD；在B中，AB與CD成60°角；在C中，AB與CD成45°角；在D中，AB與CD所成角的正切值為．
解：在A中，CD⊥BE，CD⊥AE，BE∩AE＝E，
∴CD⊥平面ABE，又AB?平面ABE，∴AB⊥CD，故A正確；
在B中，AB與CD成60°角，故B錯(cuò)誤；
在C中，AB與CD成45°角，故C錯(cuò)誤；
在D中，AB與CD所成角的正切值為，故D錯(cuò)誤．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查兩異面直線垂直的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．
5．在黨的二十大報(bào)告中，習(xí)近平總書記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教育”，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展．某地區(qū)教育行政部門積極響應(yīng)黨中央號召，近期將安排甲、乙、丙、丁4名教育專家前往某省教育相對落后的三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作，則每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的概率為（ ）
A．B．C．D．
【分析】分別求出“甲、乙、丙、丁4名教育專家到三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法”和“每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的安排方法”的種數(shù)，再由古典概型的計(jì)算公式求解即可．
解：甲、乙、丙、丁4名教育專家到三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法共有：34＝81種；
每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的安排方法有：種；
由古典概型的計(jì)算公式，每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的概率為：．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
6．小王經(jīng)營了一家小型餐館，自去年疫情管控宣布結(jié)束后的第1天開始，經(jīng)營狀況逐步有了好轉(zhuǎn)，該店第一周的營業(yè)收入數(shù)據(jù)（單位：百元）統(tǒng)計(jì)如下：
其中第4天和第6天的數(shù)據(jù)由于某種原因造成模糊，但知道7天的營業(yè)收入平均值是23，已知營業(yè)收入y與天數(shù)序號x可以用經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程擬合，且第7天的殘差是﹣0.6，則的值是（ ）
A．10.4B．6.2C．4.2D．2
【分析】根據(jù)殘差的定義求出，結(jié)合樣本中心點(diǎn)滿足回歸方程，列方程組求出，，由此可得結(jié)論．
解：由殘差得，即，
所以①，
又，，因?yàn)榛貧w直線經(jīng)過中心點(diǎn)，
所以②，
聯(lián)立①②解得，，
所以，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題主要考查線性回歸方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動，則P點(diǎn)到直線l：（1+3λ）x+（1﹣2λ）y﹣（7+λ）＝0（λ為任意實(shí)數(shù)）的距離的最大值為（ ）
A．B．6C．D．5
【分析】先求出直線的定點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求圓心到定點(diǎn)距離，最后可求圓上點(diǎn)到直線的最大距離．
解：將直線方程變形為l：（x+y﹣7）+（3x﹣2y﹣1）λ＝0，由，解得直線過定點(diǎn)Q（3，4），
P在單位圓上運(yùn)動，圓O（0，0），圓的半徑r＝1
故原點(diǎn)到直線l距離的最大值為，
則P點(diǎn)到直線l的距離的最大值為r+|OQ|＝1+|OQ|＝1+5＝6．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離，屬于基礎(chǔ)題．
8．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過F2且與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)P，若|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)已知結(jié)合雙曲線的定義可得，，，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式得出．在△F1F2P中，由余弦定理可得出方程，整理化簡即可得出a，c的關(guān)系式．
解：如圖，
不妨設(shè)點(diǎn)P為與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線的交點(diǎn)．
由已知結(jié)合雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝3|PF2|＝2a，
∴，，，且∠F1F2P為銳角．
又，，
∴．
又|F1F2|＝2c，在△F1F2P中，由余弦定理可得：
＝＝，
整理可得，3c2＝7a2，
∴，．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
（多選）9．已知圓C方程為x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0，則下列說法中正確的是（ ）
A．圓C的圓心坐標(biāo)為（1，2）
B．圓C的半徑為3
C．圓C與直線x＝2相切
D．點(diǎn)P（3，2）在圓外
【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷選項(xiàng)A、B，由圓心到直線的距離與半徑比較可判斷選項(xiàng)C，將點(diǎn)P（3，2）代入圓的方程可判斷D．
解：已知圓C方程為（x+1）2+（y﹣2）2＝9，
故圓C的圓心坐標(biāo)為（﹣1，2），半徑為3，故A錯(cuò)誤，B正確．
圓C（﹣1，2）到直線x＝2的距離為3，故C正確．
點(diǎn)P（3，2）代入圓C方程為（3+1）2+（2﹣2）2＝16＞9，故點(diǎn)P（3，2）在圓外，故D正確．
故選：BCD．
【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
（多選）10．一個(gè)裝有6個(gè)小球的口袋中，有編號為1，3的兩個(gè)紅球，編號為2，4的兩個(gè)藍(lán)球，編號為5，6的兩個(gè)黑球．現(xiàn)從中任意取出兩個(gè)球，設(shè)事件A＝“取出的兩球顏色相同”，B＝“取出的兩球編號之差的絕對值為1”，C＝“取出的兩球編號之和為6或7”，D＝“取出的兩球編號乘積為5”，則下列說法正確的是（ ）
A．事件A與事件B相互獨(dú)立
B．事件A與事件C相互獨(dú)立
C．事件B與事件C相互獨(dú)立
D．事件B與事件D互斥
【分析】列出6個(gè)小球任意取出兩個(gè)球的全部結(jié)果，從而可以求解事件A，B，C，D，AB，AC，BC的概率，再結(jié)合互斥事件與獨(dú)立事件的定義即可判斷．
解：根據(jù)題意可知，6個(gè)小球任意取出兩個(gè)球，共有15種可能，分別為：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）．
事件A包含3種可能，即（1，3），（2，4），（5，6），∴；
事件B包含5種可能，即（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6），∴；
事件C包含5種可能，即（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（3，4），∴＝；
事件D包含1種可能，即（1，5），∴．
事件AB，AC，BC分別為（5，6），（2，4），（3，4），各1種可能，
對于A，，A對；
對于B，，B對；
對于C，，C錯(cuò)；
對于D，事件B與事件D不能同時(shí)發(fā)生，故事件B與事件D互斥，D對．
故選：ABD．
【點(diǎn)評】本題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
（多選）11．在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列，在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和后，與原數(shù)列構(gòu)成新的數(shù)列，再把所得的數(shù)列按照同樣的方法不斷的構(gòu)造出新的數(shù)列．如：將數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2；…；第n（n∈N+）次得到數(shù)列1，x1，x2，x3，…，2現(xiàn)將數(shù)列1，1用上述方法進(jìn)行構(gòu)造，記第n（n∈N+）次構(gòu)造后所得新數(shù)列的所有項(xiàng)的和為an，則對于數(shù)列{an}，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．a(chǎn)4＝84
B．a(chǎn)n+1＝3an﹣2
C．若，n∈N+，則f（n）的最小值為21
D．若，則
【分析】通過計(jì)算求出a1，a2，a3，a4的值可判斷A；運(yùn)用歸納法得到an，an+1之間的關(guān)系可判斷B；由遞推關(guān)系求出數(shù)列{an}，，求f（n）的最小值可判斷C；由，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和可判斷D．
解：由題意可知，第1次得到數(shù)列1，2，1，
第2次得到數(shù)列1，3，2，3，1，
第3次得到數(shù)列1，4，3，5，2，5，3，4，1，
第4次得到數(shù)列1，5，4，7，3，8，5，7，2，7，5，8，3，7，4，5，1，
由題意得：a1＝4，a2＝10＝3×4﹣2，a3＝28＝3×10﹣2，a4＝82＝3×28﹣2，
所以有an+1＝3an﹣2，因此選項(xiàng)A不正確，B正確；
an+1＝3an﹣2?an+1﹣1＝3（an﹣1），
所以數(shù)列{an﹣1}是以a1﹣1＝3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
因此有，
，n∈N+，
令t＝3n，所以，
由雙勾函數(shù)的性質(zhì)知：g（t）在（0，10）上單調(diào)遞減，在（10，+∞）上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>當(dāng)n＝2時(shí)，f（n）的最小值為，因此選項(xiàng)C不正確；
因?yàn)?n﹣2?3n﹣1＝3n﹣1＞1，所以3n﹣1＞2?3n﹣1，
所以，
所以＝，
所以選項(xiàng)D正確．
故選：BD．
【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．若互不相等的實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，c、a、b成等比數(shù)列，且a+3b+c＝10，則a＝ ﹣4 ．
【分析】設(shè)這三個(gè)數(shù)為b﹣d，b，b+d，再根據(jù)已知條件尋找關(guān)于b，d的兩個(gè)方程，通過解方程組即可獲解．
解：由互不相等的實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，可設(shè)a＝b﹣d，c＝b+d，
由題設(shè)得，
∵d≠0，∴b＝2，d＝6，
∴a＝b﹣d＝﹣4，
故答案為：﹣4．
【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
13．傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)．在一個(gè)“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為 18π ．
【分析】借助球體體積公式及圓柱表面積公式計(jì)算即可得．
解：設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，母線長為2R，
則球的體積為，所以，
所以圓柱表面積為2πR2+2πR×2R＝6πR2＝18π．
故答案為：18π．
【點(diǎn)評】本題考查了球體體積公式及圓柱表面積公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
14．已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線C上的點(diǎn)到定直線l：x＝2的距離與到定點(diǎn)F（﹣2，0）的距離相等，P為曲線C上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥l，垂足為M．若|PF|＝|MF|，則|OP|＝ 2 ．
【分析】根據(jù)拋物線的定義求出拋物線的方程，根據(jù)條件得到△PMF是正三角形，利用拋物線的定義求出P的坐標(biāo)，然后進(jìn)行求解即可．
解：∵曲線C上的點(diǎn)到定直線l：x＝2的距離與到定點(diǎn)F（﹣2，0）的距離相等，
∴曲線C的軌跡是以F為焦點(diǎn)的拋物線，則拋物線方程為y2＝﹣8x，
連接MF，
由拋物線的定義得|PF|＝|PM|，
∵|PF|＝|MF|，∴△PMF是正三角形，
則∠PMF＝60°，∠FMA＝30°，
則AF＝4，|MF|＝8，
設(shè)P（m，n），則|PF|＝|MF|＝8，
則2﹣m＝8，得m＝﹣6，
則n2＝﹣8×（﹣6）＝48，
則|OP|＝＝＝＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題主要考查拋物線定義的應(yīng)用，根據(jù)條件求出拋物線的方程，利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn＝an2+5an+6且a1，a3，a15成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an．
【分析】先根據(jù)10Sn＝an2+5an+6求出a1的值，再結(jié)合10Sn﹣1＝an﹣12+5an﹣1+6可得到（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣5）＝0，進(jìn)而得到an﹣an﹣1＝5可求出an＝5n﹣3．
解：∵10Sn＝an2+5an+6，①∴10a1＝a12+5a1+6，解之得a1＝2或a1＝3．
又10Sn﹣1＝an﹣12+5an﹣1+6（n≥2），②
由①﹣②得 10an＝（an2﹣an﹣12）+5（an﹣an﹣1），即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣5）＝0
∵an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1＝5 （n≥2）．
當(dāng)a1＝3時(shí)，a3＝13，a15＝73．a(chǎn)1，a3，a15不成等比數(shù)列∴a1≠3；
當(dāng)a1＝2時(shí)，a3＝12，a15＝72，有 a32＝a1a15，∴a1＝2，∴an＝5n﹣3．
【點(diǎn)評】本題主要考查求數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．考查綜合運(yùn)用能力．
16．某班為了慶祝我國傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設(shè)計(jì)了一個(gè)小游戲：在一個(gè)不透明箱中裝有4個(gè)黑球，3個(gè)紅球，1個(gè)黃球，這些球除顏色外完全相同．每位學(xué)生從中一次隨機(jī)摸出3個(gè)球，觀察顏色后放回．若摸出的球中有X個(gè)紅球，則分得X個(gè)月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個(gè)節(jié)目．
（1）求一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；
（2）求每位學(xué)生分得月餅數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望．
【分析】（1）由題意分析知有兩種可能：“2個(gè)紅球1個(gè)黃球”和“1個(gè)黑球，1個(gè)紅球，1個(gè)黃球”，進(jìn)而結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解；
（2）由題意知X的可能取值為：0，1，2，3，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望．
解：（1）記“一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目”為事件A，
可知有兩種可能：“2個(gè)紅球1個(gè)黃球”和“1個(gè)黑球，1個(gè)紅球，1個(gè)黃球”，
所以．
（2）由題意可知X的可能取值為：0，1，2，3，則有：
，
，
可得X的分布列為
所以．
【點(diǎn)評】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是中檔題．
17．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝4，CD＝3，M為側(cè)棱PC的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)D到平面PBC的距離；
（2）求二面角M﹣AD﹣B的正切值．
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件，由等體積法即可求得點(diǎn)D到平面PBC的距離；
（2）由二面角的平面角定義，可作出并證明∠MHO為二面角M﹣AD﹣B的一個(gè)平面角，解三角形即可求得二面角的正切值．
解：（1）由PA⊥平面ABCD，可得，
設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為d，
則由V三棱錐D﹣PBC＝V三棱錐P﹣BCD，可得，
則，
由∠ABC＝90°，BC＝4，CD＝3，可得：，
由PA⊥平面ABCD，∠ABC＝90°，可得BC⊥PB，
則，則，
即點(diǎn)D到平面PBC的距離為；
（2）設(shè)O為AC的中點(diǎn)，過O作OH⊥AD交AD于H，連結(jié)OM，HM，
∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴OM∥PA，
又PA⊥平面ABCD，∴OM⊥平面ABCD，
又AD?平面ABCD，∴OM⊥AD，
又OH⊥AD，OM∩OH＝O，
∴AD⊥平面MOH，又MH?平面MOH，
∴AD⊥MH，
∴∠MHO為二面角M﹣AD﹣B的一個(gè)平面角，
又，
且，可得，
則，
即二面角M﹣AD﹣B的正切值為．
【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)到平面距離的求法，考查二面角的正切值求法，屬中檔題．
18．（17分）已知橢圓過點(diǎn)，橢圓C的右焦點(diǎn)與點(diǎn)Q（2，﹣2）所在直線的斜率為﹣2．（1）求橢圓C的方程；
（2）若過Q的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．點(diǎn)P（3，0）．直線PA，PB分別交橢圓C于點(diǎn)M，N，直線MN的斜率是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．
【分析】（1）依題意，列出a、b、c的方程，求解a、b、c的值，即可求解橢圓方程；
（2）設(shè)l的方程為x＝m（y+2）+2，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，表示出kMN，即可判斷結(jié)果．
解：（1）由題意得：橢圓過點(diǎn)，所以，……①
又橢圓C的右焦點(diǎn)與點(diǎn)Q（2，﹣2）所在直線的斜率為﹣2，
所以，……②
且a2＝b2+c2，……③
由①②③解得c＝1，a2＝3，b2＝2，
所以C的方程為：；
（2）設(shè)l的方程為x＝m（y+2）+2，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），
則直線PA的方程為，
由，消去x可得，
結(jié)合，可得，
可得，解得，
代入，解得，
同理可得，
故
＝
＝
＝，
故的斜率是定值，且定值為2．
【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的方程及性質(zhì)，考查了直線與橢圓的綜合，考查了方程思想及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．
19．（17分）今有一個(gè)“數(shù)列過濾器”，它會將進(jìn)入的無窮非減正整數(shù)數(shù)列刪去某些項(xiàng)，并將剩下的項(xiàng)按原來的位置排好形成一個(gè)新的無窮非減正整數(shù)數(shù)列，每次“過濾”會刪去數(shù)列中除以M余數(shù)為N的項(xiàng)，將這樣的操作記為L（M，N）操作．設(shè)數(shù)列{an}是無窮非減正整數(shù)數(shù)列．
（1）若an＝2n﹣1，n∈N+，{an}進(jìn)行L（2，1）操作后得到{bn}，設(shè)an+bn前n項(xiàng)和為Sn
①求Sn．
②是否存在p，q，r∈N+，使得Sp，Sq，Sr成等差？若存在，求出所有的（p，q，r）；若不存在，說明理由．
（2）若an＝n，n∈N+，對{an}進(jìn)行L（4，0）與L（4，1）操作得到{bn}，再將{bn} 中下標(biāo)除以4余數(shù)為0，1的項(xiàng)刪掉最終得到{cn} 證明：每個(gè)大于1的奇平方數(shù)都是{cn} 中相鄰兩項(xiàng)的和．
【分析】（1）①由an＝2n﹣1，n∈N+，得bn＝2n，n∈N+．由此能求出Sn．
②假設(shè)存在p，q，r∈N+，使得Sp，Sq，Sr成等差，設(shè)p＜q＜r∈N+，2Sq＝Sp+Sr，p，q，r∈N+，從而2q﹣p+1＝1+2r﹣q，左式為偶數(shù)，右式為奇數(shù)，矛盾，故不存在p，q，r∈N+，使得Sp，Sq，Sr成等差．
（2）由題意知a4n＝4n，a4n﹣3＝4n﹣3，a4n﹣2＝4n﹣2，a4n﹣1＝4n﹣1，保留a4n﹣2，a4n+1，則b2n﹣1＝4n﹣2，b2n＝4n﹣1．將b4n，b4n+1刪去，得到．由此能證明每個(gè)大于1的奇平方數(shù)都是{cn} 中相鄰兩項(xiàng)的和．
解：（1）①解：今有一個(gè)“數(shù)列過濾器”，它會將進(jìn)入的無窮非減正整數(shù)數(shù)列刪去某些項(xiàng)，
并將剩下的項(xiàng)按原來的位置排好形成一個(gè)新的無窮非減正整數(shù)數(shù)列，
每次“過濾”會刪去數(shù)列中除以M余數(shù)為N的項(xiàng)，將這樣的操作記為L（M，N）操作，
由an＝2n﹣1，n∈N+，{an}進(jìn)行L（2，1）操作后得到{bn}，
當(dāng)n≥2時(shí)，N+，故bn＝2n，n∈N+．
則Sn＝＝3×＝3（2n﹣1），n∈N*．
②解：假設(shè)存在p，q，r∈N+，使得Sp，Sq，Sr成等差，
由Sn單調(diào)遞增，不妨設(shè)p＜q＜r∈N+，2Sq＝Sp+Sr，p，q，r∈N+，
化簡得2q﹣p+1＝1+2r﹣q，
左式為偶數(shù)，右式為奇數(shù)，矛盾，
故不存在p，q，r∈N+，使得Sp，Sq，Sr成等差．
（2）證明：∵an＝n，n∈N+，∴由題意知a4n＝4n，a4n﹣3＝4n﹣3，a4n﹣2＝4n﹣2，a4n﹣1＝4n﹣1，
所以保留a4n﹣2，a4n+1，則b2n﹣1＝4n﹣2，b2n＝4n﹣1．
又b4n+1＝8n+2，b4n+2＝8n+3，b4n+3＝8n+6，b4n+4＝8n+7，
將b4n，b4n+1刪去，得到cn，則c2n+1＝8n+3，c2n+2＝8n+6，
也即．
記，下面證明：．
由，，，
知：＝+＝8（4m2+m）﹣2+8（4m2+m+1）﹣5＝[2（4m）+1]2，
＝＝[2（4m+1）+1]2，
同理可得：＝[2（4m+2）+1]2，＝[2（4m+3）+1]2，
合并以上四式，便證明了對任意的k∈N*，都有（2k+1）2＝．
故每個(gè)大于1的奇平方數(shù)都是{cn} 中相鄰兩項(xiàng)的和．
【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
天數(shù)序號x
1
2
3
4
5
6
7
營業(yè)收入y
11
13
18
※
28
※
35
天數(shù)序號x
1
2
3
4
5
6
7
營業(yè)收入y
11
13
18
※
28
※
35
X
0
1
2
3
P

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