本試卷共4頁.全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無放.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知，則（ ）
A.2 B. C. D.4
3.過三點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. B.
C. D.
4.某次公益教育活動(dòng)中有三個(gè)班級(jí)的授課任務(wù)，現(xiàn)有甲?乙?丙?丁4名老師報(bào)名參加，每個(gè)班級(jí)僅需要1名老師，每名老師最多在一個(gè)班級(jí)授課，若甲不能到第一個(gè)班級(jí)授課，則不同的安排方法共有（ ）
A.18種 B.32種 C.22種 D.36種
5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A. B.14 C. D.
6.楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，其分布規(guī)律如圖所示，記圖中第行第列的元素為，則的值為（ ）
A.210 B.84 C.126 D.106
7.近日，經(jīng)我國(guó)某地質(zhì)與生命科研所研究發(fā)現(xiàn)，在熱帶雨林地帶，某種喬木型果樹的根莖長(zhǎng)度（單位：米）與其存活時(shí)間（單位：年）近似滿足函數(shù)模型：.當(dāng)該種果樹的根莖長(zhǎng)度大于2.9米時(shí)，其可穩(wěn)定扎根于土壤中，吸收土壤中的水分和養(yǎng)料從而進(jìn)入“穩(wěn)定期”，則該種果樹從栽種開始至少需要幾年才能進(jìn)入“穩(wěn)定期”（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
8.棱長(zhǎng)為2的正方體，以上下底面中心的連線為對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)角度后與原正方體公共區(qū)域的體積為，則（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)得0分.
9.已知函數(shù)的最大值為，則（ ）
A.
B.在區(qū)間上單調(diào)遞增
C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
D.曲線的對(duì)稱軸方程為
10.已知的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（ ）
A. B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為128
C.常數(shù)項(xiàng)為945 D.的系數(shù)為21
11.對(duì)于對(duì)稱軸不為坐標(biāo)軸的圓錐曲線，我們可以通過線性換元法來判斷它的形狀，如曲線，我們令，可以將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得知曲線的形狀是橢圓；再如，我們令，可以將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得知曲線的形狀是拋物線.根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（ ）
A.曲線的形狀是雙曲線
B.曲線的形狀是橢圓
C.曲線的形狀是橢圓
D.若曲線的形狀是雙曲線，則的取值范圍是
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為__________.
13.函數(shù)的最大值為__________.
14.某省要求高考考場(chǎng)內(nèi)最多安排30個(gè)座位，某地考點(diǎn)擬每個(gè)考場(chǎng)采用7788的行列分布座位（如圖），則考生甲與考生乙既不前后相鄰，也不左右相鄰的坐法共有__________種.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.
15.（13分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
（1）求；
（2）若，求.
16.（15分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列和是公差分別為1和的等差數(shù)列.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：.
17.（15分）如圖所示多面體是由長(zhǎng)方體和圓柱的一部分組成，其中分別是以點(diǎn)為圓心，圓心角為的圓弧的一部分，分別是的中點(diǎn)，，為的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.
18.（17分）已知偶函數(shù)和奇函數(shù)均為冪函數(shù)，，且.
（1）若，證明：；
（2）若，且，求的取值范圍.
19.（17分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作兩條不重合的直線和與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，且.設(shè)中點(diǎn)為中點(diǎn)為中點(diǎn)為.
（1）求的方程；
（2）證明：在定直線上，且的斜率為定值.
2024年上學(xué)期高二3月大聯(lián)考·數(shù)學(xué)
參考答案?提示及評(píng)分細(xì)則
1.【答案】D
【解析】由題意可得，故，故選D.
2.【答案】B
【解析】由題意可得，故，故選B.
3.【答案】D
【解析】解法一：易知是直角三角形，外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，半徑其標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選D.
解法二：設(shè)圓的方程為，
則
其標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選D.
4.【答案】A
【解析】若甲老師去第一個(gè)班級(jí)授課，則不同的安排方法有種，若對(duì)甲老師授課班級(jí)不限制，則不同的安排的方法有種，故安排方法共有種，故選.
5.【答案】C
【解析】記等比數(shù)列的公比為，由題可知，解得或（舍去），所以，故選C.
6.【答案】C
【解析】由已知可得，故選C.
7.【答案】C
【解析】易知在上單調(diào)遞增，，即，所以至少需要6年才能進(jìn)入“穩(wěn)定期”.故選C.
8.【答案】A
【解析】以正方體一面中心為原點(diǎn)建立如圖所示坐標(biāo)系，旋轉(zhuǎn)后公共部分為棱柱，
底面積為兩個(gè)正方形公共部分的面積（圖中陰影部分為例），由對(duì)稱性知，
由圖可知直線傾斜角為，設(shè)，則點(diǎn)到的距離為
，
.
令，則，故選A.
9.【答案】BC
【解析】因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，解得，故A錯(cuò)誤；時(shí)，，是的增區(qū)間，故B正確；，故C正確；令，可得曲線的對(duì)稱軸方程為，故D錯(cuò)誤.
10.【答案】ABD
【解析】因?yàn)榈?項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以解得，故正確；
令，可得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故B正確；在中，第項(xiàng)，取，即，所以不存在常數(shù)項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；取，即，所以，所以的系數(shù)為21，故D正確，故選ABD.
11.【答案】AC
【解析】令，則轉(zhuǎn)化為，其形狀為雙曲線，故A正確；令，則轉(zhuǎn)化為，其形狀為拋物線，故B錯(cuò)誤；令，則轉(zhuǎn)化為，再令，則曲線轉(zhuǎn)化為，其形狀為橢圓，故C正確；令，則轉(zhuǎn)化為，當(dāng)
或時(shí)均不符合題意，再令，則轉(zhuǎn)化為，若，則不為雙曲線；若，則，則有或，綜上的取值范圍是，故D錯(cuò)誤，故選AC.
12.【答案】9
【解析】將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為.因?yàn)槠渲?，所以分位?shù)為從小到大排列的第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即為，故答案為9.
13.【答案】2
【解析】由題意可得.
令，解得；令，解得，
故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，故答案為2.
14.【答案】774
【解析】本題考查學(xué)生在具體情景下對(duì)排列組合多情況分類討論以及計(jì)算能力，根據(jù)給出的考場(chǎng)排布圖可以看出位置與位置之間具有共性，是可以等效的，所以分三種情況：①位置等效，有種情況.②位于邊界但不處于①中位置的位置等效，有種情況.
③不位于①②所說位置的位置等效，有種情況，全部相加得到答案為774種.
15.【解析】（1）由已知得，即，
即，即，因?yàn)?，所?
（2）由余弦定理得，，解得，
由正弦定理得，.
16.【解析】（1）由題意知，解得.
故，所以，又也滿足，故.
注：如果考生只代入的特殊情況得出答案，最多得4分.
（2）由（1）得，
累加可得得.
17.【解析】（1）證明：連接，設(shè)與交于點(diǎn).易知四邊形為平行四邊形；
因?yàn)樵谒倪呅沃?，與交點(diǎn)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
所以為的中位線，所以；
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?
（2）以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，
設(shè)平面的法向量，
則.令，得，所以；
易知平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
18.【解析】（1）證明：由題意，設(shè).
由，得.
方法一：
則，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞減，所以.
方法二：
則，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，，所以.
.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，所以，
則.因?yàn)?，所以，因?
（2）因?yàn)?，所?顯然.
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，令解得（?fù)根舍
去）.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的最小值為.
因?yàn)椋?，解得，所以符合題意.
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，令解得（正根舍去?當(dāng)時(shí)，；當(dāng).所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的最小值為.因?yàn)?，所以，解得，所以符合題意.綜上所述，的取值范圍為.
19.【解析】（1）因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，所以，所以的方程為.
（2）設(shè)，由可得，所以，
設(shè)，聯(lián)立和，得.
，所以，
又因?yàn)?，所以?br>又由，可化簡(jiǎn)得，
同理可得，所以和是方程的兩個(gè)根，
所以，
，同理得，所以，所以1，點(diǎn)在定直線上.
，
所以直線的斜率為定值2.講臺(tái)
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