岳陽市2024屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（二）
數(shù) 學(xué)
本試卷共19題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、考號(hào)和姓名填寫在答題卡指定位置。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。
3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。
4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，只交答題卡。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知為等差數(shù)列，，，則（ ）
A．6B．12C．17D．24
4．函數(shù)的極小值點(diǎn)為（ ）
A．B．C．4D．
5．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若隨機(jī)變量滿足且，則
B．樣本數(shù)據(jù)50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位數(shù)為62
C．若事件相互獨(dú)立，則
D．若兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為、，則組數(shù)據(jù)的相關(guān)性更強(qiáng)
6．已知，則（ ）
A．B．C．D．
7．設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知點(diǎn)是圓上的兩點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．16B．12C．8D．4
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．設(shè)是關(guān)于的方程的兩根，其中．若（為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．C．D．
10．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意都有，且，則下列說法正確的是（ ）
A．B．為奇函數(shù)
C．D．
11．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形內(nèi)（包含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．滿足平面的點(diǎn)的軌跡為線段
B．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
C．直線與直線所成角的范圍為
D．滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽(yù)．小明為了測(cè)量岳陽樓的高度，他首先在處，測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，然后沿方向行?2.5米至處，又測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，則樓高為______米．
13．若曲線上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線的“自公切線”，則下列方程對(duì)應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的序號(hào)為______．
①；②；③；④．
14．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，其中，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，則該橢圓離心率的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（本題滿分13分）
如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值．
16．（本題滿分15分）
用1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則
（1）在數(shù)字1，3相鄰的條件下，求數(shù)字2，4，6也相鄰的概率；
（2）對(duì)于這個(gè)六位數(shù)，記夾在三個(gè)偶數(shù)之間的奇數(shù)的總個(gè)數(shù)為，求的分布列與期望．
17．（本題滿分15分）
已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍．
18．（本題滿分17分）
已知，設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足直線的斜率之積為4，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與曲線交于點(diǎn)（不同于點(diǎn)），直線與曲線交于點(diǎn)（不同于點(diǎn)）．證明：直線過定點(diǎn)．
19．（本題滿分17分）
已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，，再接下來的三項(xiàng)是，，，依此類推．設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為，規(guī)定：若，使得，則稱為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”．
（1）將該數(shù)列的“佳冪數(shù)”從小到大排列，直接寫出前4個(gè)“佳冪數(shù)”；
（2）試判斷50是否為“佳冪數(shù)”，并說明理由；
（3）（?。┣鬂M足的最小的“佳冪數(shù)”；
（ⅱ）證明：該數(shù)列的“佳冪數(shù)”有無數(shù)個(gè)．
岳陽市2024屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（二）
數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．D2．B3．C4．D
5．D6．C7．A8．B
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．BCD10．BCD11．AD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．13．①②④14．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．（本題滿分13分）
（1）證明：因?yàn)榈酌?，平? 所以，
因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以?br>又因?yàn)?、平面，?br>所以平面，又平面 所以，
又因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以，
所以平面，
又平面，所以，
由已知得，且 所以平面，
（2）解：以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，
由（1）知平面，所以為平面的一個(gè)法向量，
又，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則由得取，
則
設(shè)二面角的大小為，
則
所以二面角的正弦值為
16．（本題滿分15分）
（1）設(shè)“數(shù)字1，3相鄰”，設(shè)“數(shù)字2，4，6相鄰”，則
；
（2）的所有可能取值為0，1，2，3，
因?yàn)?個(gè)偶數(shù)中間共有2個(gè)空隙．由題意知“”表示3個(gè)偶數(shù)相鄰，
則，
“”表示3個(gè)偶數(shù)中間只插入了1個(gè)奇數(shù)，則，
“”表示3個(gè)偶數(shù)中間共插入了2個(gè)奇數(shù)，可分為兩種情形：和，則；
“”表示3個(gè)偶數(shù)中間共插入了3個(gè)奇數(shù)，可分為兩種情形：和，則．
所以的分布列為
的期望為．
17．（本題滿分15分）
（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
則，令得或，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2），所以為的一個(gè)根，
故有兩個(gè)不同于1的實(shí)根，
令，則，
（?。┊?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，不符合題意；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，
并且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以若要滿足題意，只需且，
因?yàn)椋裕?br>又，所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
18．（本題滿分17分）
（1）設(shè)，則，
由 整理得
（2）證明：（方法一）設(shè)，，，
則 即
聯(lián)立與曲線的方程
得且
解得（舍去）或
將代入 得
所以，其中
同理，可解得，其中
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
此時(shí)，所以此時(shí)直線的方程為；
當(dāng)時(shí)，
直線的方程為
整理得，所以直線過定點(diǎn)
（方法二）設(shè)，
則由及三點(diǎn)共線得；
將上面兩式相除，再平方可得：①
因?yàn)椋谇€上，
故滿足；②
將②代入①可得
整理可得③
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)
將直線的方程代入曲線得
且
由韋達(dá)定理得，
將上式代入③式可得 解得（舍去）或，
故直線的方程為
當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，易求得此時(shí)的方程為，
所以直線過定點(diǎn)
（方法三）設(shè)，，，
易知直線不垂直于軸，所以設(shè)直線的方程為
由及三點(diǎn)共線得
；
由上式可得，即
將，代入可得①
因?yàn)?，為曲線上的點(diǎn)，
由（1）可知，，所以，即
將，代入可得②
①②式相減可得
又易知，所以，所以直線的方程為，
故直線過定點(diǎn)
19．（本題滿分17分）
（1）解：因?yàn)?，所?為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”；
又因?yàn)?，?br>所以2、3、18也為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”；
所以該數(shù)列的前4個(gè)“佳冪數(shù)”為：1、2、3、18；
（2）解：由題意可得，數(shù)列如下：
第1組：1；
第2組：1，2；
第3組：1，2，4；
…
第組：，
則該數(shù)列的前項(xiàng)的和為：
，①
當(dāng)時(shí)，，
則，
由于，對(duì)，，
故50不是“佳冪數(shù)”．
（3）（?。┙猓涸冖僦?，要使，有
出現(xiàn)在第44組之后，又第組的和為，前組和為
第組前項(xiàng)的和為．
則只需．
所以，則，此時(shí)，
所以對(duì)應(yīng)滿足條件的最小“佳冪數(shù)”
（ⅱ）證明：由（?。┲海?br>當(dāng)，且取任意整數(shù)時(shí)，可得“佳冪數(shù)”，
所以，該數(shù)列的“佳冪數(shù)”有無數(shù)個(gè)
0
1
2
3

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