絕密★啟用前
2024年池州市普通高中高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一監(jiān)測
數(shù)學(xué)
滿分：150分考試時間：120分鐘
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡和試卷上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，務(wù)必擦凈后再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若復(fù)數(shù)，則的實(shí)部為（ ）
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.已知向量滿足，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
3.已知，則（ ）
A.7 B.-7 C. D.
4.對于數(shù)列，若點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，其中且，則“”是“為遞增數(shù)列”的（ ）
A.充要條件 B.充分不必要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
5.已知圓錐的底面半徑為3，其內(nèi)切球表面積為，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A. B. C. D.
6.甲乙兩人分別從五項(xiàng)不同科目中隨機(jī)選三項(xiàng)學(xué)習(xí)，則兩人恰好有兩項(xiàng)科目相同的選法有（ ）
A.30種 B.60種 C.45種 D.90種
7.已知實(shí)數(shù)滿足，若的最大值為4，則（ ）
A. B. C. D.
8.已知圓和兩點(diǎn)為圓所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，記以為直徑的圓為圓，以為直徑的圓為圓，則下列說法一定正確的是（ ）
A.若圓與圓內(nèi)切，則圓與圓內(nèi)切
B.若圓與圓外切，則圓與圓外切
C.若，且圓與圓內(nèi)切，則點(diǎn)的軌跡為橢圓
D.若，且圓與圓外切，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線
二?多選題：本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.在去年某校高二年級“校長杯”足球比賽中，甲乙兩班每場比賽平均進(jìn)球數(shù)?失球數(shù)及所有場次比賽進(jìn)球個數(shù)?失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差如下表：
下列說法正確的是（ ）
A.甲班在防守中比乙班穩(wěn)定
B.乙班總體實(shí)力優(yōu)于甲班
C.乙班很少不失球
D.乙班在進(jìn)攻中有時表現(xiàn)很好有時表現(xiàn)較差
10.已知函數(shù)，則（ ）
A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
B.在區(qū)間內(nèi)有2個極大值點(diǎn)
C.
D.將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得圖象關(guān)于直線對稱
11.已知函數(shù)的定義域?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，恒有，當(dāng)時（其中），.若，則下列說法正確的是（ ）
A.圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
B.圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C.
D.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知集合，則__________.
13.造紙術(shù)是中國四大發(fā)明之一，彰顯了古代人民的智慧.根據(jù)史料記載盛唐時期折紙藝術(shù)開始流行，19世紀(jì)折紙與數(shù)學(xué)研究相結(jié)合，發(fā)展成為折紙幾何學(xué).在一次數(shù)學(xué)探究課上，學(xué)生們研究了圓錐曲線的包絡(luò)線折法.如圖，在一張矩形紙片上取一點(diǎn)，記矩形一邊所在直線為，將點(diǎn)折疊到上（即），不斷重復(fù)這個操作，就可以得到由這些折痕包圍形成的拋物線，這些折痕就是拋物線的包絡(luò)線.在拋物線的所有包絡(luò)線中，恰好過點(diǎn)的包絡(luò)線所在的直線方程為__________.
14.如圖，在各棱長均相等的正三棱柱中，給定依次排列的6個相互平行的平面，使得，且每相鄰的兩個平面間的距離都為1.若，則__________，該正三棱柱的體積為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）
學(xué)校組織某項(xiàng)勞動技能測試，每位學(xué)生最多有3次測試機(jī)會.一旦某次測試通過，便可獲得證書，不再參加以后的測試，否則就繼續(xù)參加測試，直到用完3次機(jī)會.如果每位學(xué)生在3次測試中通過的概率依次為，且每次測試是否通過相互獨(dú)立.現(xiàn)某小組有3位學(xué)生參加測試，回答下列問題：
（1）求該小組學(xué)生甲參加考試次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）規(guī)定：在2次以內(nèi)測試通過（包含2次）獲得優(yōu)秀證書，超過2次測試通過獲得合格證書，記該小組3位學(xué)生中獲得優(yōu)秀證書的人數(shù)為，求使得取最大值時的整數(shù).
16.（15分）
記為數(shù)列的前項(xiàng)的和，已知.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）令，求.
17.（15分）
如圖，在三棱錐中，底面是邊長為6的正三角形，，，點(diǎn)分別在棱上，，且三棱錐的體積為.
（1）求的值；
（2）若點(diǎn)滿足，求直線與平面所成角的余弦值.
18.（17分）
已知雙曲線的右焦點(diǎn)，離心率為，過的直線交于點(diǎn)兩點(diǎn)，過與垂直的直線交于兩點(diǎn).
（1）當(dāng)直線的傾斜角為時，求由四點(diǎn)圍成的四邊形的面積；
（2）直線分別交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，證明：為的中點(diǎn).
19.（17分）
已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在實(shí)數(shù)，對任意的，有.
（1）試問函數(shù)是否屬于集合？并說明理由；
（2）若函數(shù)，求正數(shù)的取值集合；
（3）若函數(shù)，證明：.
2024年池州市普通高中高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一監(jiān)測
數(shù)學(xué)評分參考
一?填空題
二?多選題
11.【解析】由是奇函數(shù)得，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，選項(xiàng)A正確；由函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱得，所以，解得.
由得點(diǎn)在函數(shù)圖象上，又點(diǎn)在函數(shù)圖象上，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.
由關(guān)于點(diǎn)對稱，關(guān)于直線對稱得關(guān)于對稱【理由如下：在圖象上取點(diǎn)，則點(diǎn)在函數(shù)圖象上，由關(guān)于對稱，得點(diǎn)和都在圖象上】，選項(xiàng)B正確.
由函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱得，由函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱得，又由得.當(dāng)時，所以，解得【理由略】；當(dāng)時，由函數(shù)關(guān)于直線對稱可知函數(shù)在內(nèi)單減，所以，又，所以，這與題設(shè)矛盾，舍去.所以，又，即，選項(xiàng)C正確.
綜上，當(dāng)時，，顯然，由函數(shù)關(guān)于對稱，可知，由關(guān)于點(diǎn)對稱得.選項(xiàng)錯誤.
綜上所述，選項(xiàng)正確.
三?填空題
12.. 13.. 14.1；.【對一個得3分，對兩個得5分】
14.【解析】由題意可知：過點(diǎn)作平面必與棱相交，且交點(diǎn)分別記為，如圖1所示，接下來，過點(diǎn)分別作平行于平面的平面，為使得每相鄰兩個平面間的距離都相等，則點(diǎn)為棱的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，如圖2所示.再過點(diǎn)作平行于平面的平面，即可滿足題設(shè)要求.
由上述分析可知平面，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，則，則即為與間的距離，所以.設(shè)該正三棱柱的底面邊長為，則，
，所以，所以，所以，所以體積為.
四?填空題
15.解：（1）由題意知，所有可能取的值為
的分布列如下：
（2）由題意知，每位學(xué)生獲得優(yōu)秀證書的概率
方法一：
所有可能取的值為，且
所以使得取得最大值時，整數(shù)的值為3
方法二：
由得
所以
所以
所以使得取得最大值時，整數(shù)的值為3
16.解：（1）①
當(dāng)時②
①-②得：
化簡得
又是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
的通項(xiàng)公式為
（2）由（1）知：
當(dāng)時，
又是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
注：其它解法參照以上評分細(xì)則.
17.解：（1）如圖所示，取中點(diǎn)，連接
是邊長為6的正三角形，為中點(diǎn)
，且
又
同理可知
又平面
又平面
過點(diǎn)作，點(diǎn)為垂足
又
平面為三棱錐的高
在中，
又
①
又在中，
由余弦定理得②
由①②得
（2）如圖，過作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
且，取的方向向量.
由（1）知
又面面面
又，同理可證面
又平面平面
所以直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角，且記為
設(shè)平面的法向量，則取
所以直線與平面所成角的余弦值
注：其它解法參照以上評分細(xì)則.
18.解：（1）由題意知，所以的方程為
直線的傾斜角為，過點(diǎn)直線的方程為
設(shè)，聯(lián)立，得
與互相垂直的傾斜角為由對稱性可知
（2）方法一：由題意可知的斜率存在且不為0，設(shè)的方程分別為由互相垂直可得①
聯(lián)立得②
聯(lián)立，得
是的中點(diǎn)③
由②③得，即④
同理聯(lián)立得⑤
由①④⑤得⑥
聯(lián)立，得
取中點(diǎn)，所以⑦
由⑥⑦得與重合，即是中點(diǎn).
方法二：由題意可知的斜率存在且不為0，設(shè)的方程分別為
由互相垂直可得
設(shè)的坐標(biāo)分別為
聯(lián)立，得，又
是的中點(diǎn)
理可得的中點(diǎn)
又直線恒過定點(diǎn)，
，同理
三點(diǎn)共線
所以的中點(diǎn)在上，又上的點(diǎn)在上
所以與重合，即是中點(diǎn)
方法三：由題意可知的斜率存在且不為0，設(shè)的方程分別為
由互相垂直可得①
聯(lián)立得，所以②
設(shè)的坐標(biāo)分別為，代入得
兩式相減得，變形為，即③
由②③得，即④
同理聯(lián)立得，所以⑤
由①④⑤得，所以⑥
取中點(diǎn)，同理可證⑦
由⑥⑦得.
結(jié)合均在直線上，所以與重合，即是中點(diǎn).
注：其它解法參照以上評分細(xì)則.
19.（1）函數(shù)不屬于集合.
理由如下：
由題意得，
由得，結(jié)合的任意性，得，顯然無解所以不存在實(shí)數(shù)，對任意的，有.
即函數(shù)不屬于集合.
（2）若函數(shù)，求正數(shù)的取值集合；
由題意得：
又
由得
結(jié)合的任意性，得
所以，所以，又，即
所以正數(shù)的取值集合為.
（3）函數(shù)得，即，
由題意可得：存在非零常數(shù)，使得
即方程有解
令，即函數(shù)有零點(diǎn)
對函數(shù)求導(dǎo)得
（i）當(dāng)時，在單調(diào)增，又，當(dāng)時，
【右側(cè)找點(diǎn)如下：取，則】所以有根記為，且①
所以在上單調(diào)減，上單調(diào)增
考慮到當(dāng)時，，當(dāng)時，
【找點(diǎn)如下：任意給定正實(shí)數(shù)
左側(cè)找點(diǎn)如下：當(dāng)時，；
右側(cè)找點(diǎn)如下：當(dāng)時，
（這里用到了）】
所以時，即可保證函數(shù)有零點(diǎn)，即②
由①平方-②平方得，由得③
將③代入①有，化簡得
由得④
（ii）當(dāng)時，則，用替換（i）中的，得
即⑤
由④⑤得，即
（iii）當(dāng)時，，取，則
綜上，進(jìn)球個數(shù)平均數(shù)
失球個數(shù)平均數(shù)
進(jìn)球個數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差
失球個數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差
甲班
2.3
1.5
0.5
1.1
乙班
1.4
2.1
1.2
0.4
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
D
A
B
B
D
C
題號
9
10
11
答案
CD
BCD
ABC
1
2
3
0.5
0.3
0.2

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