1．的絕對值是
A．B．C．D． 10
2．下列運算正確的是
A．B．C．D．
3．今冬，哈爾濱旅游火了！凍梨精致擺盤、把交響樂演出搬進火車站、鄂倫春族同胞被請出來表演馴鹿，哈爾濱的各種花式“寵粉”操作，使眾多當(dāng)?shù)鼐W(wǎng)友直呼：”爾濱，你讓我感到陌生！“因為“爾濱”的真情實意款待，在2024年元旦小長假，哈爾濱3天總游客量達到304.79萬人，旅游收入59.14億元，創(chuàng)歷史新高！那么，將數(shù)據(jù)“59.14億”用科學(xué)記數(shù)法表示為
A．B．C．D．
4．圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．一棋譜中四部分的截圖由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱的是
A．B．C．D．
5．爬坡時坡面與水平面夾角為，則每爬耗能，若某人爬了，該坡角為，則他耗能
（參考數(shù)據(jù)：，
A．B．C．D．
6．如圖，半徑長，點、、是三等分點，點為圓上一點，連接，且，交于點，則
A．B．C．D．
7．如圖，在矩形中，對角線與相交于點，，，垂足為點，是的中點，連接，若，則矩形的周長是
A．B．C．D．
8．不透明的盒子放有三張大小、形狀及質(zhì)地相同的卡片，卡片上分別寫有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荊門送別》和王維《寄荊州張丞相》三首詩，小明從盒子中隨機抽取兩張卡片，卡片上詩的作者都是李白的概率是
A．B．C．D．
9．關(guān)于的二次函數(shù)，甲同學(xué)認(rèn)為：若，則當(dāng)時，隨的增大而增大．乙同學(xué)認(rèn)為：若該二次函數(shù)的圖象在軸上截得的線段長為3，則的值是1或．以下對兩位同學(xué)的看法判斷正確的是
A．甲、乙都錯誤B．甲、乙都正確
C．甲正確、乙錯誤D．甲錯誤、乙正確
10．如圖，在正方形中，點，分別在，上，且保持，在上取一點，連結(jié)，使恰好平分，連結(jié)．若要求正方形的面積，則只需要知道
A． 的面積B． 的面積
C． 的周長D． 的周長
二．填空題（共6小題）
11．代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是 ．
12．分解因式： ．
13．如圖所示，在菱形中，，，垂足為，若，則菱形周長為 ．
14．底面圓半徑為、高為的圓錐的側(cè)面展開圖的面積為 ．
15．已知、、均為實數(shù)，且，，則 ．
16．已知：是的外接圓，是的直徑，的平分線交于點，過點作，垂足為點
= 1 \* GB3 ① ， ，則
②若，則 ；
三．解答題（共9小題）
17．如圖，在的方格紙中，點，在格點上．請按要求畫出格點線段（線段的端點在格點上），并寫出結(jié)論．
（1）在圖1中畫一條線段垂直． （2）在圖2中畫一條線段平分．
18．已知線段，點是線段的黃金分割點．
（1）求線段的長；
（2）以為三角形的一邊作，使得，連接，若平分，求的長．
19．在一個不透明的盒子里裝著除顏色外完全相同的黑、白兩種小球共40個，小明做摸球試驗，他將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程，如表是試驗中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
（1）請估計當(dāng)很大時，摸到白球的概率為 （精確到．
（2）估算盒子里有白球 個．
（3）若向盒子里再放入個除顏色以外其他完全相同的球，這個球中白球只有1個，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色再放回，通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.5，那么可以推測出最有可能是多少？
20．在等邊三角形中，點在邊上，點在的延長線上，且．
（1）如圖1，當(dāng)為中點時，求證：；
（2）如圖2，若，，求的長．
21．如圖所示，雙曲線的圖象與一次函數(shù)的圖象交于，兩點．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)直線與軸交于點，若為軸正半軸上一點，當(dāng)?shù)拿娣e為3時，求點的坐標(biāo)．
22．在平面直角坐標(biāo)系中，點，點在拋物線上．設(shè)拋物線的對稱軸為直線．
（1）當(dāng)時，
①直接寫出與滿足的等量關(guān)系；
②比較，的大小，并說明理由；
（2）已知點，在該拋物線上，若對于，都有，求的取值范圍．
23．問題提出
（1）如圖①，在中，，，點是的外接圓的圓心，則的長為
問題探究
（2）如圖②，已知矩形，，，點為的中點，以為直徑作半圓，點為半圓上一動點，求、之間的最大距離；
問題解決
（3）某地有一塊如圖③所示的果園，果園是由四邊形和弦與其所對的劣弧場地組成的，果園主人現(xiàn)要從入口到上的一點修建一條筆直的小路．已知，，米，米，過弦的中點作交于點，又測得米．修建小路平均每米需要40元（小路寬度不計），不考慮其他因素，請你根據(jù)以上信息，幫助果園主人計算修建這條小路最多要花費多少元？
24．如圖，在中，，．點是延長線上一動點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接交于點．
（1）求證：；
（2）如圖1，若，，，求的大??；
（3）如圖2，若點為中點，，，求的長（用含的代數(shù)式表示）．
2024浙江省杭州市西湖區(qū)公益中學(xué)九年級3月月考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．的絕對值是
A．B．C．D． 10
【分析】負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，據(jù)此即可求得答案．
【解答】解：，
故選：．
【點評】本題考查絕對值，熟練掌握絕對值的定義及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．下列運算正確的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)合并同類項法則，冪的乘方，積的乘方法則，同底數(shù)冪的乘，除法法則分別判斷即可．
【解答】解：，故錯誤，不符合題意；
，故錯誤，不符合題意；
，故錯誤，不符合題意；
，故正確，符合題意；
故選：．
【點評】本題考查整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握整式相關(guān)運算的法則．
3．今冬，哈爾濱旅游火了！凍梨精致擺盤、把交響樂演出搬進火車站、鄂倫春族同胞被請出來表演馴鹿，哈爾濱的各種花式“寵粉”操作，使眾多當(dāng)?shù)鼐W(wǎng)友直呼：”爾濱，你讓我感到陌生！“因為“爾濱”的真情實意款待，在2024年元旦小長假，哈爾濱3天總游客量達到304.79萬人，旅游收入59.14億元，創(chuàng)歷史新高！那么，將數(shù)據(jù)“59.14億”用科學(xué)記數(shù)法表示為
A．B．C．D．
【分析】將一個數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．
【解答】解：59.14億，
故選：．
【點評】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．
4．圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．一棋譜中四部分的截圖由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱的是
A．B．
C．D．
【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：選項能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形；
選項、、不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；
故選：．
【點評】此題主要考查了中心對稱圖形定義，關(guān)鍵是找出對稱中心．
5．爬坡時坡面與水平面夾角為，則每爬耗能，若某人爬了，該坡角為，則他耗能 （參考數(shù)據(jù)：，
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意可得：他耗能，進行計算即可解答．
【解答】解：由題意得：
某人爬了，該坡角為，則他耗能，
故選：．
【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，半徑長，點、、是三等分點，點為圓上一點，連接，且，交于點，則
A．B．C．D．
【分析】連接，，，，則，進一步判定為等腰直角三角形，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可求解．
【解答】解：連接，，，，則，
點、、是〇三等分點，
，，
，，
為等腰直角三角形，
，，
弧對應(yīng)和，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
．
故選：．
【點評】本題考查了圓周角定理及其推論，熟練掌握這些結(jié)論是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，在矩形中，對角線與相交于點，，，垂足為點，是的中點，連接，若，則矩形的周長是
A．B．C．D．
【分析】由矩形的性質(zhì)得，，而，則是等邊三角形，所以，因為于點，所以為的中點，而是的中點，則，則勾股定理得，則，，即可求得矩形的周長是，于是得到問題的答案．
【解答】解：四邊形是矩形，對角線與相交于點，
，，，且，
，
，
是等邊三角形，
，
，
于點，
為的中點，
是的中點，，
，
，
，
，
，
，
矩形的周長是，
故選：．
【點評】此題重點考查矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
8．不透明的盒子放有三張大小、形狀及質(zhì)地相同的卡片，卡片上分別寫有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荊門送別》和王維《寄荊州張丞相》三首詩，小明從盒子中隨機抽取兩張卡片，卡片上詩的作者都是李白的概率是
A．B．C．D．
【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中卡片上詩的作者都是李白的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把分別寫有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荊門送別》和王維《寄荊州張丞相》三首詩的卡片分別記為、、，
畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結(jié)果，其中卡片上詩的作者都是李白的結(jié)果有2種，即、，
卡片上詩的作者都是李白的概率是，
故選：．
【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
9．關(guān)于的二次函數(shù)，甲同學(xué)認(rèn)為：若，則當(dāng)時，隨的增大而增大．乙同學(xué)認(rèn)為：若該二次函數(shù)的圖象在軸上截得的線段長為3，則的值是1或．以下對兩位同學(xué)的看法判斷正確的是
A．甲、乙都錯誤B．甲、乙都正確
C．甲正確、乙錯誤D．甲錯誤、乙正確
【分析】先求出拋物線對稱軸為直線，根據(jù)時，，由函數(shù)的性質(zhì)可以判斷甲說法正確；二次函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標(biāo)為，，根據(jù)二次函數(shù)的圖象在軸上截得的線段長為3得出，從而得出，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，，然后得出關(guān)于的方程解方程即可．
【解答】解：拋物線的對稱軸為直線，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，隨的增大而增大，
故甲同學(xué)的看法正確；
設(shè)二次函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標(biāo)為，，
即關(guān)于的方程的兩個根為，，
，，
由題意知，，
，
即，
，
化簡并整理得：，
解得或，
經(jīng)檢驗，或符合題意，
故乙說法正確．
故選：．
【點評】本題考查拋物線與軸的交點以及二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系．
10．如圖，在正方形中，點，分別在，上，且保持，在上取一點，連結(jié)，使恰好平分，連結(jié)．若要求正方形的面積，則只需要知道
A． 的面積B． 的面積C． 的周長D． 的周長
【分析】在上截取，先證和全等，得出，，再證，于是得出，從而得出的長，即可進行判斷．
【解答】解：在上截取，
四邊形為正方形，
，，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
設(shè)，
則，
平分，
，
，
，
，
是的一個外角，
，
即，
，
，
，
，
即要求正方形的面積，則只需要知道的周長，
故選：．
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識點，綜合性較強，需熟練掌握這些知識．
二．填空題（共6小題）
11．代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得出答案．
【解答】解：根據(jù)題意得，，
．
故答案為：．
【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
12．分解因式： ．
【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式
，
故答案為：．
【點評】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
13．如圖所示，在菱形中，，，垂足為，若，則菱形周長為 40 ．
【分析】由銳角的正切定義得到，設(shè)，，由勾股定理求出，由菱形的性質(zhì)得到．求出，即可求出菱形的周長．
【解答】解：，
，
，
，
設(shè)，，
，
四邊形是菱形，
．
，
菱形的周長．
故答案為：40．
【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，關(guān)鍵是由銳角的正切，勾股定理求出．得到．
14．底面圓半徑為、高為的圓錐的側(cè)面展開圖的面積為 ．
【分析】先求出圓錐的母線長，再根據(jù)扇形的面積公式計算即可．
【解答】解：圓錐的底面半徑為，高為，
圓錐的母線為，
圓錐的側(cè)面展開圖的面積為．
故答案為：．
【點評】本題考查圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是求出圓錐的母線和掌握圓錐的側(cè)面展開圖的面積公式．
15．已知、、均為實數(shù)，且，，則 ．
【分析】先變形得到，，根據(jù)根與系數(shù)，、可看作方程，配方得，所以，然后計算和．
【解答】解：，，
、可看作方程的兩個實數(shù)根，
，
，，即，
，
．
故答案為．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，熟記并靈活運用根與系數(shù)的關(guān)系．
16．16．已知：是的外接圓，是的直徑，的平分線交于點，過點作，垂足為點
= 1 \* GB3 ① ， ，則
②若，則 ；
【分析】（1）證明，即可得到；
（2）推導(dǎo)出，可得，過點作交于點，則，再證明，可得，由，即可得；
【解答】（1）證明：平分，
，
，
，
∵ ，
∴
∴ ；
（2）證明：是的直徑，
，，
是的平分線，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
過點作交于點，
，
，，，
，
，
，
，
∴；
【點評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（共8小題）
17．如圖，在的方格紙中，點，在格點上．請按要求畫出格點線段（線段的端點在格點上），并寫出結(jié)論．
（1）在圖1中畫一條線段垂直．
（2）在圖2中畫一條線段平分．
【分析】（1）利用數(shù)形結(jié)合的思想作出圖形即可；
（2）利用矩形的對角線互相平分解決問題即可．
【解答】解：（1）如圖1中，線段即為所求（答案不唯一）；
（2）如圖2中，線段即為所求（答案不唯一）．
【點評】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題，屬于中考常考題型．
18．已知線段，點是線段的黃金分割點．
（1）求線段的長；
（2）以為三角形的一邊作，使得，連接，若平分，求的長．
【分析】（1）依據(jù)題意，根據(jù)黃金比值計算即可得解；
（2）依據(jù)題意，由若平分，可得到、的距離相等，從而，又由（1），再結(jié)合，即可得解．
【解答】解：（1）點是線段的黃金分割點，，
．
（2）平分，
到、的距離相等．
．
又由（1），
，
．
．
【點評】本題主要考查了黃金分割的意義，解題時要熟練掌握并靈活運用．
19．在一個不透明的盒子里裝著除顏色外完全相同的黑、白兩種小球共40個，小明做摸球試驗，他將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程，如表是試驗中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
（1）請估計當(dāng)很大時，摸到白球的概率為 0.6 （精確到．
（2）估算盒子里有白球 個．
（3）若向盒子里再放入個除顏色以外其他完全相同的球，這個球中白球只有1個，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色再放回，通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.5，那么可以推測出最有可能是多少？
【分析】（1）大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，據(jù)此可得；
（2）用總球數(shù)乘以摸到白球的概率即可得出答案；
（3）根據(jù)概率公式和摸到白球的個數(shù)，即可求出的值．
【解答】解：（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可知，估計當(dāng)很大時，摸到白球的概率為0.6；
故答案為：0.6；
（2）估算盒子里約有白球（個，
故答案為：24；
（3）根據(jù)題意知，，
解得，
答：可以推測出最有可能是10．
【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，解題的關(guān)鍵是掌握大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
20．在等邊三角形中，點在邊上，點在的延長線上，且．
（1）如圖1，當(dāng)為中點時，求證：；
（2）如圖2，若，，求的長．
【分析】（1）由為等邊三角形邊的中點，利用三線合一得到垂直于，且為角平分線，由，利用等邊對等角及等腰三角形的性質(zhì)得到一對角相等，利用等角對等邊即可得；
（2）根據(jù)可得，由求出的長即可．
【解答】解：（1）為等邊三角形，
，
，
，是的角平分線，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）如圖2，過點作，交于點，
為等邊三角形，
，為等邊三角形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)和判定，利用全等得到，再找和的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
21．如圖所示，雙曲線的圖象與一次函數(shù)的圖象交于，兩點．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）觀察圖象，直接寫出不等式的解集；
（3）設(shè)直線與軸交于點，若為軸正半軸上一點，當(dāng)?shù)拿娣e為3時，求點的坐標(biāo)．
【分析】（1）直接把，兩點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)求出，的值，進而得出點坐標(biāo)，代入雙曲線求出的值即可；
（2）設(shè)直線交軸于，交軸于，求出，點的坐標(biāo)，設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)得出的值，進而得出點坐標(biāo)．
【解答】解：（1）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，
，
解得，
，
，．
將代入，
解得．
反比例函數(shù)的解析式為；
（2）設(shè)直線交軸于，交軸于，
當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，，解得，
，
設(shè)點的坐標(biāo)為．
，，
．
的面積為3，
，解得，
．
【點評】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，能根據(jù)函數(shù)圖象求出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．
22．在平面直角坐標(biāo)系中，點，點在拋物線上．設(shè)拋物線的對稱軸為直線．
（1）當(dāng)時，
①直接寫出與滿足的等量關(guān)系；
②比較，的大小，并說明理由；
（2）已知點，在該拋物線上，若對于，都有，求的取值范圍．
【分析】（1）①利用對稱軸公式求得即可；
②利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；
（2）由題意可知點在對稱軸的左側(cè)，點，，在對稱軸的右側(cè)，點到對稱軸的距離大于點到對稱軸的距離，據(jù)此即可得到，解得．
【解答】解：（1）①，
；
②拋物線中，，
拋物線開口向上，
點，點在拋物線上，對稱軸為直線，
點到對稱軸的距離大于點到對稱軸的距離，
；
（2）由題意可知，點在對稱軸的左側(cè)，點，，在對稱軸的右側(cè)，
，都有，
點到對稱軸的距離大于點到對稱軸的距離，
，解得，
的取值范圍是．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
23．問題提出
（1）如圖①，在中，，，點是的外接圓的圓心，則的長為
問題探究
（2）如圖②，已知矩形，，，點為的中點，以為直徑作半圓，點為半圓上一動點，求、之間的最大距離；
問題解決
（3）某地有一塊如圖③所示的果園，果園是由四邊形和弦與其所對的劣弧場地組成的，果園主人現(xiàn)要從入口到上的一點修建一條筆直的小路．已知，，米，米，過弦的中點作交于點，又測得米．修建小路平均每米需要40元（小路寬度不計），不考慮其他因素，請你根據(jù)以上信息，幫助果園主人計算修建這條小路最多要花費多少元？
【分析】（1）若交于，則，在中，設(shè)，可得，解方程可得的長；
（2）延長交半圓于點，可求出此時、之間的最大距離為的長即可；
（3）先求出所在圓的半徑，過點作，垂足為，連接并延長交于點，則為入口到上一點的最大距離，求出長即可求出修建這條小路花費的最多費用．
【解答】解：（1）如圖，若交于，
點是的外接圓的圓心，，
，，
，
在中，，設(shè)，
，
解得，
；
故答案為：．
（2）如圖，連接，延長交半圓于點，可求出此時、之間的距離最大，
在是任意取一點異于點的，連接，，
，即，
，，
，，
，
、之間的最大距離為7．
（3）作射線交于點，
，，是劣弧，
所在圓的圓心在射線上，
假設(shè)圓心為，半徑為，連接，則，，，
在中，，
解得：，
（米，
過點作，垂足為，
，，
，
在中，（米，
在中，（米，
，
點在內(nèi)部，
連接并延長交于點，則為入口到上一點的最大距離，
在上任取一點異于點的點，連接，，
，即，
過點作，垂足為，則（米，（米，
（米，
（米，
修建這條小路最多要花費元．
【點評】本題是圓的綜合題，考查了外心的定義、垂徑定理、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用方程的思想思考問題．
24．如圖，在中，，．點是延長線上一動點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接交于點．
（1）求證：；
（2）如圖1，若，，，求的大小；
（3）如圖2，若點為中點，，，求的長（用含的代數(shù)式表示）．
【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；
（2）利用平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；
（3）利用全等三角形的判定與性質(zhì)，等高的三角形的面積比等于底的比的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．
【解答】（1）證明：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
，
，
．
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，，
，
，
．
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
解得：或6．
的長為3或6；
（3）解：，，
，
，
點為中點，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
．
，
，
，
，．
，
，
，
，
．
過點作于點，于點，如圖，
，
，
由（2）知：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在中，
．
【點評】本題主要考查了幾何的變換，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/3/28 0:53:54；用戶：佩服還小飛飛；郵箱：rFmNt06nLZ6sDiSU3_grzcMSxM@；學(xué)號：26025303摸球的次數(shù)
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次數(shù)
70
128
171
302
481
599
1806
摸到白球的頻率
0.7
0.64
0.57
0.604
0.601
0.599
0.602
摸球的次數(shù)
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摸到白球的次數(shù)
70
128
171
302
481
599
1806
摸到白球的頻率
0.7
0.64
0.57
0.604
0.601
0.599
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