注意專項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如簡改動，用橡皮擦干靜后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1．設復數(shù)，則復數(shù)（其中表示的共軛復數(shù)）表示的點在（ ）上
A．x軸B．y軸C．D．
2．已知角和，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知圓錐的底面圓半徑為，側面展開圖是一個半圓面，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
4．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則此雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為（ ）
A．B．2C．D．
5．一對夫妻帶著3個小孩和一個老人，手拉著手圍成一圈跳舞，3個小孩不相鄰的站法種數(shù)是（ ）
A．6B．12C．18D．36
6．已知遞增的等比數(shù)列，，公比為q，且，，成等差數(shù)列，則q的值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知平面內的三個單位向量，，，且，，則（ ）
A．0B．C．D．或0
8．設方程的兩根為，，則（ ）
A．，B．
C．D．
二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）
9．下列說法正確的是（ ）
A．若事件A和事件B互斥，
B．數(shù)據(jù)4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位數(shù)為8
C．若隨機變量服從，，則
D．已知y關于x的回歸直線方程為，則樣本點的殘差為
10．設函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論正確的是（ ）
A．是奇函數(shù)
B．是偶函數(shù)
C．若，則
D．若函數(shù)在上單調遞減且，則滿足的x的取值范圍是
11．已知體積為2的四棱錐，底面是菱形，，，則下列說法正確的是（ ）
A．若平面，則為
B．過點P作平面，若，則
C．與底面所成角的最小值為
D．若點P僅在平面的一側，且，則P點軌跡長度為
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）
12．已知關于x的不等式的解集為M，且，則實數(shù)a的取值范圍是______．
13．已知拋物線的弦的中點的橫坐標為2，則弦的最大值為______．
14．已知，，則______，______．
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15．（本小題滿分13分）
在如圖所示的中，有．
（1）求的大小；
（2）直線繞點C順時針旋轉與的延長線交于點D，若為銳角三角形，，求長度的取值范圍．
16．（本小題滿分15分）
已知橢圓的右頂點為A，左焦點為F，橢圓W上的點到F的最大距離是短半軸長的倍，且橢圓W過點．記坐標原點為O，圓E過O、A兩點且與直線相交于兩個不同的點P，Q（P，Q在第一象限，且P在Q的上方），，直線與橢圓W相交于另一個點B．
（1）求橢圓W的方程；
（2）求的面積．
17．（本小題滿分15分）
如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面，．
（1）證明：平面；
（2）若點Q是線段的中點，M是直線上的一點，N是直線上的一點，是否存在點M，N使得?請說明理由．
18．（本小題滿分17分）
已知函數(shù)的導數(shù)為．
（1）若恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）函數(shù)的圖象上是否存在三個不同的點，，（其中且，，成等比數(shù)列），使直線的斜率等于?請說明理由．
19．（本小題滿分17分）
2023年10月11日，中國科學技術大學潘建偉團隊成功構建255個光子的量子計算機原型機“九章三號”，求解高斯玻色取樣數(shù)學問題比目前全球是快的超級計算機快一億億倍．相較傳統(tǒng)計算機的經(jīng)典比特只能處于0態(tài)或1態(tài)，量子計算機的量子比特（qubit）可同時處于0與1的疊加態(tài)，故每個量子比特處于0態(tài)或1態(tài)是基于概率進行計算的．現(xiàn)假設某臺量子計算機以每個粒子的自旋狀態(tài)作為是子比特，且自旋狀態(tài)只有上旋與下旋兩種狀態(tài)，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子間的自旋狀態(tài)相互獨立．現(xiàn)將兩個初始狀態(tài)均為疊加態(tài)的粒子輸入第一道邏輯門后，粒子自旋狀態(tài)等可能的變?yōu)樯闲蛳滦?，再輸入第二道邏輯門后，粒子的自旋狀態(tài)有p的概率發(fā)生改變，記通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數(shù)為X．
（1）若通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數(shù)為2，且，求兩個粒子通過第一道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為2的概率；
（2）若一條信息有種可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發(fā)生的概率分別為，，…，，則稱（其中）為這條信息的信息熵．試求兩個粒子通過第二道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為X的信息熵H；
（3）將一個下旋粒子輸入第二道邏輯門，當粒子輸出后變?yōu)樯闲Ｗ訒r則停止輸入，否則重復輸入第二道邏輯門直至其變?yōu)樯闲Ｗ?，設停止輸入時該粒子通過第二道邏輯門的次數(shù)為Y（，2，3，?，n，?）．證明：當n無限增大時，Y的數(shù)學期望趨近于一個常數(shù)．
參考公式：時，，．
2024屆新高考教學教研聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考
數(shù)學參考答案
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．）
1．C 【解析】，所以對應的點在直線上．
2．D 【解析】當時，，沒有意義，所以由推不出，
當時，，所以由推不出，
故“”是“”的既不充分也不必要條件．
3．C【解析】設圓錐的底面半徑為r，母線為l，
由于圓錐的側面展開圖是一個半圓面，則，
所以，
所以圓錐的高，
圓錐的體積為．
4．A 【解析】因為雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，，
所以該漸近線的方程為，所以，
解得或（舍去），所以，
此雙曲線的右焦點坐標為，
到一條漸近線的距離為．
5．B 【解析】．
6．A 【解析】由題意知，即，又數(shù)列遞增，，所以，且，解得．
7．D 【解析】如圖，，，（或），
由得，又，所以，
由得，又，所以，
（或，又，所以）
所以，夾角為或，所以或0．
8．C 【解析】由題意得，，由得，
令，則，，，
由，得，，故A錯；
由得，
由，得，所以，故C對，B錯，
由，，所以，D錯誤．
二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．）
9．BCD 【解析】對于A，若事件A和事件B互斥，，未必有，A錯；對于B，對數(shù)據(jù)從小到大重新排序，即：2，4，5，6，7，8，10，12，共8個數(shù)字，
由，得這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第6個數(shù)8，B正確；
對于C，因為變量服從，且，則，故C正確；
對于D，由，得樣本點的殘差為，故D正確；故選BCD．
10．ACD 【解析】令，則，因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，，所以，所以是奇函數(shù)，A正確；
同樣，令，則，所以是奇函數(shù)，B錯誤；
令代入，則，又，，所以，C正確；
因為為奇函數(shù)，又，所以，
由于在上單調遞減，要使成立，則，所以，D正確．
11．BCD 【解析】，則當平面時，，則，即為或，A錯誤；
如圖1，若平面，則，又，
則平面，有，又，
所以平面，，B正確；
設與底面所成角為，又，
則，因為，則，
則與底面所成角的最小值為，C正確；
如圖2，當，根據(jù)，得，即P點到底面的距離為，過A點作底面的垂線為l，過點P作交l于點O，則，點P的軌跡是以O為圓心，為半徑的圓，軌跡長度為，D正確．
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）
12． 【解析】且，所以所以．
13．5 【解析】方法一：當直線的斜率不存在時，直線的方程為，代入得或，所以；
當直線的斜率存在時，顯然不為零，設直線的方程為，
代入消y并整理得，
設，，判別式時有
因為弦的中點的橫坐標為2，所以，所以，
，
所以，
當且僅當即時取到等號，
故弦的最大值為5．
方法二：設拋物線的焦點為F，則，
又，
當弦的中點的橫坐標為2時，有，所以，
當直線過焦點F時取到等號，故弦的最大值為5．
14． （任意填對一空給3分）
【解析】由得，則，
由得，則，
所以，
．
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15．【解析】（1）方法一：由得，兩邊同時平方可得：，由整理得，解得或，
又，則．
方法二：，則，
得或，又，則，．
（2）由（1）得，則，由題可知，則，
設，則，
由余弦定理有，所以，
由正弦定理有，
所以，
因為為銳角三角形，則得，
所以，則，
所以，
即的取值范圍為．
16．【解析】（1）依題有，又，所以，
所以橢圓W的方程為，
又點在橢圓W上，所以，
解得，
所以橢圓W的方程為．
（2）設，，，，，
因為，所以，①
圓E過點O與A且與直線相交于兩個不同的點P，Q，則圓心E的坐標為，
又，所以，
解得，②
（另法一：設直線與x軸交于點G，則有，
又，，所以，②
另法二：由知，，，②）
由①②解得，，
所以，，
所以直線的方程為，
與橢圓方程聯(lián)立消去y得，
解得B點的橫坐標，
所以，
又O到直線的距離，
所以的面積．
17．【解析】（1）如圖，取的中點O，因為，則，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，又，平面，平面，，
所以平面．
（2）因為，O為的中點，，所以，
過點O作交于點E，則由平面可得，則以O為原點，，，分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，
所以，，，
設與，都重直的向量為，則得
令，則，
設直線與直線的距離為d，
則，
則不存在點M和N使得．
18．【解析】（1）恒成立即恒成立，
又，所以恒成立，
今，所以，
當時，，函數(shù)單調遞減，
當時，，函數(shù)單調遞增，
所以當時，取到極小值也是最小值，且，
所以，
故實數(shù)k的取值范圍為．
（2），，成等比數(shù)列且，設公比為，則，，
求導得，所以，
直線的斜率為，
若存在不同的三點A，B，C，使直線的斜率等于，
則有，
整理成．
令，則，
所以在時單調遞增，而，
故方程在時無實數(shù)解，
所以不存在不同的三點A，B，C，使直線的斜率等于．
19．【解析】（1）設“兩個粒子通過第一道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為i個”，，1，2，
“兩個粒子通過第二道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為2個”，
則，，
，，，
則，
故．
（2）由題知，1，2，
由（1）知，
同理可得，
則，
故X的信息熵．
（3）由題知，其中，2，3，…，
則，
又，
則，①
，②
得：
，
由題知，當n無限增大時，趨近于零，趨近于零，則趨近于．
所以當n無限增大時，Y的數(shù)學期望?近于一個常數(shù)．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
C
A
B
A
D
C
BCD
ACD
BCD

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