1．2024的倒數(shù)是
A．2024B．C．D．
2．2023年“亞運雙節(jié)”讓杭州火出圈，相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，國慶期間杭州共接待游客約13000000人次，將數(shù)據(jù)13000000用科學(xué)記數(shù)法表示為
A．B．C．D．
3．第19屆亞運會于9月23日至10月8日在杭州成功舉辦，下列圖形中是軸對稱圖形的是
A． B． C． D．
4．如圖是我們生活中常用的“空心卷紙”，其主視圖為
A．B．C．D．
5．“立身以立學(xué)為先，立學(xué)以讀書為本．”為了鼓勵全民閱讀，某校圖書館開展閱讀活動，自閱讀活動開展以來，進(jìn)館閱讀人次逐月增加，第一個月進(jìn)館200人次，前三個月累計進(jìn)館728人次，若進(jìn)館人次的月增長率相同，求進(jìn)館人次的月增長率．設(shè)進(jìn)館人次的月增長率為，依題意可列方程
A．B．
C． D．
6．下列計算正確的是
A．B．C．D．
7．對一組數(shù)據(jù)：4、6、、6、8，描述正確的是
A．中位數(shù)是B．平均數(shù)是5C．眾數(shù)是6D．方差是7
8．如圖，與位似，點為位似中心，，若的周長是5，則的周長是
A．10B．15C．20D．25
9．，兩地相距60千米，一艘輪船從地順流航行至地所用時間比從地逆流航行至地所用時間少45分鐘，已知船在靜水中航行的速度為20千米時．若設(shè)水流速度為千米時，則可列方程為
A．B．
C．D．
10．如圖，在正方形中，是等邊三角形，，的延長線分別交于點，，連接，；與相交于點．給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、填空題（共5小題）
11．在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式： ．
12．在平面直角坐標(biāo)系中，對于平面內(nèi)任一點，若規(guī)定以下三種變換：①△，，；②〇，，；③，，，按照以上變換例如：△〇，，，則〇等于 ．
13．如圖，是反比例函數(shù)的圖象上一點，過點作軸于點，點在軸上，且，則的值為 ．
14．如圖，已知，以點為圓心，以任意長為半徑畫弧，與、分別于點、，再分別以點、為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧相交于點，過上一點作，與相交于點，，則 ．
15．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點，點為軸正半軸上一動點，連接，以為一邊向下作等邊，連接，則的最小值為 ．
三．解答題（共55分）
16．（5分）計算：．
17．（6分）化簡求值：，其中為數(shù)據(jù)4，5，6，5，3，2的眾數(shù)．
18．（8分）某校為了調(diào)查本校學(xué)生對航空航天知識的知曉情況，開展了航空航天知識競賽，從參賽學(xué)生中，隨機(jī)抽取若干名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下不完整的統(tǒng)計圖表：
請根據(jù)圖表信息解答下列問題：
（1）求，，的值；
（2）補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）某班有2名男生和1名女生的成績都為100分，若從這3名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加演講，用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的2名學(xué)生恰好為1男1女的概率．
19．（8分）如圖，是的外接圓，直徑與交于點，點在的延長線上，連接，．
（1）求證：是的切線；
（2）從以下三個選項中選一個作為條件，使成立，并說明理由；
①；
②；
③；
你選的條件是： ．
20．（8分）某經(jīng)銷商銷售一種成本價為10元的商品，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不得高于18元．如圖，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)銷量與售價（元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．
（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）設(shè)銷售這種商品每天所獲得的利潤為元，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出該商品售價定為多少元時，才能使經(jīng)銷商所獲利潤最大？最大利潤是多少？
21．（9分）如圖1，一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為米．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4米，灌溉車到綠化帶的距離為米．
（1）求上邊緣拋物線噴出水的最大射程；
（2）求下邊緣拋物線與軸交點的坐標(biāo)；
（3）若米，灌溉車行駛時噴出的水 （填“能”或“不能” 澆灌到整個綠化帶，并說明理由．
22．（11分）在矩形中，點是射線上一動點，連接，過點作于點，交直線于點．
（1）當(dāng)矩形是正方形時，以點為直角頂點在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．
①如圖1，若點在線段上，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；
②如圖2，若點在線段的延長線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；
（2）如圖3，若點在線段上，以和為鄰邊作平行四邊形，是中點，連接，，，求的最小值．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．2024的倒數(shù)是
A．2024B．C．D．
【解答】解：2024的倒數(shù)是；
故選：．
2．2023年“亞運雙節(jié)”讓杭州火出圈，相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，國慶期間杭州共接待游客約13000000人次，將數(shù)據(jù)13000000用科學(xué)記數(shù)法表示為
A．B．C．D．
【解答】解：，
故選：．
3．第19屆亞運會于9月23日至10月8日在杭州成功舉辦，下列圖形中是軸對稱圖形的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；
、圖形是軸對稱圖形，符合題意；
、圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；
、圖形不是軸對稱圖形，不符合題意．
故選：．
4．如圖是我們生活中常用的“空心卷紙”，其主視圖為
A．B．C．D．
【解答】解：觀察圖形可知，該幾何體的主視圖如下：
．
故選：．
5．“立身以立學(xué)為先，立學(xué)以讀書為本．”為了鼓勵全民閱讀，某校圖書館開展閱讀活動，自閱讀活動開展以來，進(jìn)館閱讀人次逐月增加，第一個月進(jìn)館200人次，前三個月累計進(jìn)館728人次，若進(jìn)館人次的月增長率相同，求進(jìn)館人次的月增長率．設(shè)進(jìn)館人次的月增長率為，依題意可列方程
A．
B．
C．
D．
【解答】解：第一個月進(jìn)館200人次，且進(jìn)館人次的月增長率為，
第二個月進(jìn)館人次，第三個月進(jìn)館人次．
根據(jù)題意得：．
故選：．
6．下列計算正確的是
A．B．C．D．
【解答】解：．，此選項計算錯誤，故此選項不符合題意；
．，此選項計算錯誤，故此選項不符合題意；
．，此選項計算正確，故此選項符合題意；
．，此選項計算錯誤，故不符合題意；
故選：．
7．對一組數(shù)據(jù)：4、6、、6、8，描述正確的是
A．中位數(shù)是B．平均數(shù)是5C．眾數(shù)是6D．方差是7
【解答】解：對一組數(shù)據(jù)4、6、、6、8，
將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，4，6，6，8，最中間的數(shù)為6，所以中位數(shù)為6，選項描述錯誤，不符合題意；
其平均數(shù)為，選項描述錯誤，不符合題意；
這組數(shù)據(jù)中，6出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)為6，選項描述正確，符合題意；
這組數(shù)據(jù)的方差為，故選項描述錯誤，不符合題意．
故選：．
8．如圖，與位似，點為位似中心，，若的周長是5，則的周長是
A．10B．15C．20D．25
【解答】解：與位似，
，，，
，的周長：的周長，
的周長是5，
的周長是15，
故選：．
9．，兩地相距60千米，一艘輪船從地順流航行至地所用時間比從地逆流航行至地所用時間少45分鐘，已知船在靜水中航行的速度為20千米時．若設(shè)水流速度為千米時，則可列方程為
A．B．
C．D．
【解答】解：根據(jù)題意，得：．故選：．
10．如圖，在正方形中，是等邊三角形，，的延長線分別交于點，，連接，；與相交于點．給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有
A．1個B．2個C．3個D．4個
【解答】解：為等邊三角形，
，，
，，
又，，，
，，，
在中，，，
又，，故①正確；
，，，
，故②正確；
，，，
又與同高，，
又，不是中點，，，故③錯誤；
過點作于，過點作于，
由題意可得，，
，，
，
故④正確，
，，
，，，
又，，，故⑤正確，
綜上所述：正確的結(jié)論有4個，
故選：．
二．填空題（共5小題）
11．在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式： ．
【解答】解：．
故答案為：．
12．在平面直角坐標(biāo)系中，對于平面內(nèi)任一點，若規(guī)定以下三種變換：
①△，，；
②〇，，；
③，，，
按照以上變換例如：△〇，，，則〇等于 ．
【解答】解：〇〇，，．
故答案為：．
13．如圖，是反比例函數(shù)的圖象上一點，過點作軸于點，點在軸上，且，則的值為 ．
【解答】解：設(shè)點的坐標(biāo)為，
點在第二象限，，，
，，
是反比例函數(shù)的圖象上一點，，
故答案為：．
14．如圖，已知，以點為圓心，以任意長為半徑畫弧，與、分別于點、，再分別以點、為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧相交于點，過上一點作，與相交于點，，則 ．
【解答】解：，，
由題意可知：平分，
．故答案為：．
15．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點，點為軸正半軸上一動點，連接，以為一邊向下作等邊，連接，則的最小值為 2 ．
【解答】解：如圖，以為對稱軸作等邊，延長交軸于，
是等邊三角形，是等邊三角形，
，，，，
，，
，，
，，，
，
，，
，，
點在上移動，
當(dāng)時，有最小值，
此時，．
故答案為：2．
三．解答題（共7小題）
16．計算：．
【解答】解：原式
．
17．化簡求值：，其中為數(shù)據(jù)4，5，6，5，3，2的眾數(shù)．
【解答】解：
，
為數(shù)據(jù)4，5，6，5，3，2的眾數(shù)，，
當(dāng)時，原式．
18．某校為了調(diào)查本校學(xué)生對航空航天知識的知曉情況，開展了航空航天知識競賽，從參賽學(xué)生中，隨機(jī)抽取若干名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下不完整的統(tǒng)計圖表：
請根據(jù)圖表信息解答下列問題：
（1）求，，的值；
（2）補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）某班有2名男生和1名女生的成績都為100分，若從這3名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加演講，用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的2名學(xué)生恰好為1男1女的概率．
【解答】解：（1）調(diào)查人數(shù)為：（人，，，，
答：，，；
（2）由各組頻數(shù)補全頻數(shù)分布直方圖如下：
（3）用樹狀圖法表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：
共有6種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中1男1女的有4種，
所以抽取的2名學(xué)生恰好為1男1女的概率是．
19．如圖，是的外接圓，直徑與交于點，點在的延長線上，連接，．
（1）求證：是的切線；
（2）從以下三個選項中選一個作為條件，使成立，并說明理由；
①；
②；
③；
你選的條件是： ②或③ ．
【解答】（1）證明：是的直徑，
，即，
，，
，
，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：選②或③，
若選②，理由：
，是的直徑，
，
由（1）可知，
；
若選③，理由：
，，
又是的直徑，，
，．
20．某經(jīng)銷商銷售一種成本價為10元的商品，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不得高于18元．如圖，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)銷量與售價（元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．
（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）設(shè)銷售這種商品每天所獲得的利潤為元，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出該商品售價定為多少元時，才能使經(jīng)銷商所獲利潤最大？最大利潤是多少？
【解答】解：（1）設(shè)關(guān)系式為，把，代入得：
，解得：，，
與的之間的函數(shù)關(guān)系式為，自變量的取值范圍為：．
（2），
，拋物線開口向下，對稱軸為，在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而增大，
，
當(dāng)時，（元，
答：與之間的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)該商品銷售單價定為18元時，才能使經(jīng)銷商所獲利潤最大，最大利潤是192元．
21．如圖1，一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為米．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4米，灌溉車到綠化帶的距離為米．
（1）求上邊緣拋物線噴出水的最大射程；
（2）求下邊緣拋物線與軸交點的坐標(biāo)；
（3）若米，灌溉車行駛時噴出的水 不能 （填“能”或“不能” 澆灌到整個綠化帶，并說明理由．
【解答】解：（1）如圖2，由題意得是上邊緣拋物線的頂點，
設(shè)，
又拋物線過點，
，，
上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為，
當(dāng)時，，
解得，（舍去），
噴出水的最大射程為；
（2）對稱軸為直線，
點的對稱點為，
下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，
點的坐標(biāo)為；
（3）不能，理由如下：米，米，米，
點的坐標(biāo)為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，隨的增大而減小，
灌溉車行駛時噴出的水不能澆灌到整個綠化帶．
22．在矩形中，點是射線上一動點，連接，過點作于點，交直線于點．
（1）當(dāng)矩形是正方形時，以點為直角頂點在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．
①如圖1，若點在線段上，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系是 相等 ，位置關(guān)系是 ；
②如圖2，若點在線段的延長線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；
（2）如圖3，若點在線段上，以和為鄰邊作平行四邊形，是中點，連接，，，求的最小值．
【解答】解：（1）①四邊形為正方形，
，，即，
，
，
，又，，
，
，，
為等腰直角三角形，
，，而，
，
四邊形為平行四邊形，
且，
，，
故答案為：相等；垂直；
②成立，理由是：
當(dāng)點在線段的延長線上時，
同理可得：，
，，
為等腰直角三角形，
，，而，
，
四邊形為平行四邊形，
且，
，；
（2）連接，
四邊形是平行四邊形，，
，，
要最小，即最小，
，，
設(shè)，則，
同（1）可得：，
又，
，
，即，，
，
設(shè)，當(dāng)時，取最小值，
的最小值為，
故的最小值為．
成績分
頻數(shù)人
頻率
10
0.1
15
0.35
40
成績分
頻數(shù)人
頻率
10
0.1
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