考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.
3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷?草稿紙上作答無(wú)效.
4.本卷命題范圍：人教A版必修第二冊(cè)第六章?第七章.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知向量，那么（ ）
A. B. C. D.
2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A.-1 B.-2 C. D.2
3.若是平面內(nèi)一組不共線的向量，則下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是（ ）
A.與 B.與
C.與 D.與
4.（ ）
A. B.
C. D.
5.在四邊形中，若，且，則該四邊形一定是（ ）
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
6.已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B.1 C. D.
7.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且，則（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
8.古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角形來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù).已知，若，則（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知復(fù)數(shù)，則
A.的虛部為
B.是純虛數(shù)
C.的模是
D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
10.設(shè)向量，則（ ）
A. B.
C. D.
11.在中，角的對(duì)邊分別為，已知的周長(zhǎng)為，則（ ）
A.若，則是等邊三角形
B.存在非等邊滿足
C.內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為
D.可以完全覆蓋的最小圓的半徑為
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知，若，則__________.
13.已知平面內(nèi)三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)滿足，則是的__________心.（填“重”或“垂”或“內(nèi)”或“外”）
14.在中，角所對(duì)的邊分別為，且，若的面積為，則邊上中線長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
已知復(fù)數(shù).
（1）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若虛數(shù)是方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)的值.
16.（本小題滿分15分）
已知向量.
（1）當(dāng)為何值時(shí)，與垂直？
（2）當(dāng)為何值時(shí)，與平行？
17.（本小題滿分15分）
在中，角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）求和的值；
（2）求的面積.
18.（本小題滿分17分）
如圖，在中，是的中點(diǎn)，是線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，設(shè).
（1）若長(zhǎng)為長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)；
（2）若是上一點(diǎn)，且，試判斷三點(diǎn)是否共線？并說(shuō)明你的理由.
19.（本小題滿分17分）
在中，角的對(duì)邊分別為，且.
（1）求角的大?。?br>（2）若為銳角三角形，且，求周長(zhǎng)的取值范圍.
2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期高一年級(jí)3月份月考試卷·數(shù)學(xué)
參考答案?提示及評(píng)分細(xì)則
1.A 因?yàn)椋?故選A.
2.B 的虛部為-2.故選B.
3.D 由不共線，可知與與與必不共線，都可作為平面向量的基底，而，故與共線，不能作為該平面內(nèi)所有向量的基底.故選D.
4.C .故選.
5.A ，此時(shí)四邊形為平行四邊形，因?yàn)椋?，即?duì)角線長(zhǎng)相等，故四邊形為矩形.故選.
6.C 根據(jù)題意，.所以.故選C.
7.A ，即為，即有，即有，又，則，解得.故選A.
8.B 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，
由題意得，則.因?yàn)?，所以解得所?故選B.
9.AC 對(duì)于，由虛部定義知的虛部為，故正確；對(duì)于，純虛數(shù)要求實(shí)
部為0，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，故C正確；對(duì)于D，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故D錯(cuò)誤.故選AC.
10.AB 對(duì)于，因?yàn)?，所以，故A正確；
對(duì)于，故正確；
對(duì)于，則，所以與不垂直，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以不共線，故D錯(cuò)誤.故選AB.
11.ACD 因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為3，且，可得，由余弦定理得.
對(duì)于，因?yàn)?，所以，即，則，所以為等邊三角形，故A正確；
對(duì)于，假設(shè)，則，即，則，此時(shí)為等邊三角形，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，解得或（舍去），所以的面積的內(nèi)切圓半徑為，所以內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為，故C正確；
對(duì)于，設(shè)外接圓的半徑為，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），由，可得，因?yàn)?，所以，所以可以完全覆蓋的最小圓的半徑為，故D正確.故選ACD.
12.2 由題意，得所以.
13.垂 因?yàn)?，同理，故為的垂?
14. ，由正弦定理得，整理得，即，，則.如圖，設(shè)邊上的中點(diǎn)為，在中，由余弦定理，得，又，由代入上式，并整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以邊上中線長(zhǎng)的最小值為.
15.解：（1）.
因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第二象限，所以
解得.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）因?yàn)樘摂?shù)是方程的一個(gè)根，所以也是方程的一個(gè)根，
于是，解得.
所以，因此.
16.解：（1）因?yàn)椋?br>，
，
若可得，
即，得，
即時(shí)，與垂直.
（2）當(dāng)時(shí)，有，
解得，
即時(shí)，與平行.
17.解：（1）在中，由，可得.
又由及，可得.
由余弦定理得，得，
因?yàn)椋式獾?
所以.
（2）由（1）知，，
所以的面積.
18.解：（1）是的中點(diǎn)，
，
.
（2）三點(diǎn)不共線，
理由如下：
由（1）知，，
，
.
易知與不平行，
三點(diǎn)不共線.
19.解：（1）由正弦定理得，
整理得，所以，
又，所以.
（2）法一：由（1）知，即.
因?yàn)闉殇J角三角形，所以解得.
由正弦定理，得，
則
，
當(dāng)時(shí)，，則.
又，
所以，所以，
所以，即，
所以周長(zhǎng)的取值范圍是.
法二：（數(shù)形結(jié)合）
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
在直線上取一點(diǎn)，使，則與均為直角三角形.
為銳角三角形，
點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)）.
在Rt中，，易得，
，周長(zhǎng)為；
在Rt中，，易得，周長(zhǎng)為，
所以周長(zhǎng)的范圍是.

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