注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題前，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.下列函數(shù)中，其定義域和值域與函數(shù)相同的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知不等式的解集為或，則不等式的解集為（ ）
A. B.或
C. D.或
4.如圖，在平行四邊形中，，則（ ）
A. B.
C. D.
5.已知向量滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.-1
6.已知，則（ ）
A.0 B. C. D.
7.血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是，當(dāng)血氧飽和度低于時(shí)，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度隨給氧時(shí)間（單位：時(shí)）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，為參數(shù).已知，給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為.若使得血氧飽和度達(dá)到，則至少還需要給氧時(shí)間（單位：時(shí)）為（ ）（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）
A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.1.5
8.如圖扇形所在圓的圓心角大小為是扇形內(nèi)部（包括邊界）任意一點(diǎn)，若，那么的最大值是（ ）
A.2 B. C.4 D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.給定數(shù)集滿足方程，下列對(duì)應(yīng)關(guān)系為函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函數(shù)，則（ ）
A.函數(shù)為偶函數(shù)
B.在區(qū)間單調(diào)遞增
C.的最小值為-2
D.曲線的對(duì)稱軸為
11.已知定義在上的函數(shù)滿足：，都有，且，當(dāng)時(shí)，有，則（ ）
A. B. C. D.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.若，則的最小值是__________.
13.若函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為__________.
14.函數(shù)的最小值為__________.（其中表示中較大者）
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（共13分）
（1）計(jì)算：；
（2）已知，求及的值.
16.（共15分）
已知平面向量.
（1）若，且，求的坐標(biāo)；
（2）若與的夾角為銳角.求實(shí)數(shù)的取值范圍.
17.（共15分）
已知函數(shù).
（1）求的值；
（2）在中，，求的最大值.
18.（共17分）
設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，并求
（表示不超過的最大整數(shù)，如）.
參考數(shù)據(jù)：.
19.（共17分）
將所有平面向量組成的集合記作是從到的映射，記作或，其中，都是實(shí)數(shù).定義映射的模為：在的條件下的最大值，記作.若存在非零向量，及實(shí)數(shù)使得，則稱為的一個(gè)特征值.
（1）若，求；
（2）如果，計(jì)算的特征值，并求相應(yīng)的；
（3）若，要使有唯一的特征值，實(shí)數(shù)應(yīng)滿足什么條件？試找出一個(gè)映射，滿足以下兩個(gè)條件：
①有唯一的特征值；②，并驗(yàn)證滿足這兩個(gè)條件.
2023-2024學(xué)年第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測(cè)
高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題卷答案
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.答案：D
解：由，
由，所以，
2.答案：D
解：本題主要主要考察學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)恒等式的了解，對(duì)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?值域的理解.
3.答案：C
解：由不等式的解集為或，
得是方程的兩個(gè)根，且，
因此，且，解得，
不等式化為：，解得，
所以不等式為.故選：C
4.答案：B
解：因?yàn)椋?br>則.
5.答案：A
解：因?yàn)?，且，所以，即，所以?br>所以向量在向量上的投影向量為.
6.答案：C
解：，
所以，
則.
7.答案：B
解：設(shè)使得血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時(shí)間至少還需要小時(shí)，
由題意可得，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)并整理，
得，
則，則給氧時(shí)間至少還需要0.5小時(shí).
8.答案：C
解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)扇形的半徑為，則，
設(shè)點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>所以，，所以，，
所以，，
因?yàn)椋瑒t，
當(dāng)且時(shí)，取得最大值4.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.答案：ACD
解：對(duì)于A，，均有唯一確定，符合函數(shù)定義，正確；
對(duì)于，取，不符合函數(shù)定義，錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，均有唯一確定，符合函數(shù)定義，C正確；
對(duì)于D，，均有唯一確定，符合函數(shù)定義，正確.
10.答案：AB
解：
，
即，
對(duì)于A，，易知為偶函數(shù)，所以正確；
對(duì)于單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增，故B正確；
對(duì)于C，，則，所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于對(duì)稱軸為，故錯(cuò)誤.
11.答案：ACD
解：令，則由，
可得，所以，故正確；
因?yàn)?，所以，可得，故錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?，故正確；
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，都有，且，
所以當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，又，進(jìn)而，
因此，所以.故正確.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.答案：
解：因?yàn)椋瑒t，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值是.
13.答案：
解：的定義域?yàn)椋?br>，
因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，
所以，
所以恒成立，故，即.
14.答案：1
解：令，則，
所以，所以，
即函數(shù)的最小值為1.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.解：（1）
.
（2）由于，
所以，
.
16.解：（1）設(shè)，
因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?br>解得或，所以或；
（2），
因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，解得且，即.
17.解：因?yàn)?br>（1）.
（2），因?yàn)?，所?由，得.
所以.
當(dāng)時(shí)，的最大值為.
18.解：（1）令，解得，
又，得的單調(diào)增區(qū)間是和；
令，解得，
又，得的單調(diào)減區(qū)間是和.
函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間是[3，6]和[9，10），單調(diào)減區(qū)間是和；
（2）由（1）知在上是減函數(shù)，易知在上是增函數(shù)，
所以在上是減函數(shù)，，
又，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知在上有唯一零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
所以，即在上無零點(diǎn)，
綜上，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
，
，
.
19.解：
由于此時(shí)，又因?yàn)槭窃诘臈l件下，
有（時(shí)取最大值），所以此時(shí)有.
（2）由，
可得：，即
兩式相比可得：，從而，
當(dāng)時(shí)，解方程，此時(shí)這兩個(gè)方程是同一個(gè)方程，
所以此時(shí)方程有無窮多個(gè)解，為（寫出一個(gè)即可），其中且，
當(dāng)時(shí)，同理可得，相應(yīng)的（寫出一個(gè)即可），其中且.
（3）解方程組，即，
從而向量與平行，
則有應(yīng)滿足：，
當(dāng)時(shí)，有唯一的特征值，且.具體證明為：
由的定義可知：對(duì)任意的有：，
所以為特征值.此時(shí)，
滿足：，所以有唯一的特征值.
在的條件下，從而有.題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
C
B
A
C
B
C
題號(hào)
9
10
11
答案
ACD
AB
ACD

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