1．“”是“”的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
2．函數(shù)的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知，且，則（ ）
A．B．C．D．
6．三個數(shù)，，的大小順序是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函數(shù)則方程有四個實根的充要條件為（ ）
A．B．C．D．
8．中國的技術(shù)領(lǐng)先世界，技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式，它表示在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信通帶寬、信道內(nèi)信號的平均功率、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．當(dāng)信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，帶寬在原來的基礎(chǔ)上增加，信噪比從1000提升至5000，則大約增加了（ ）（附：）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）
9．已知，，若，則（ ）
A．的最大值為B．的最小值為1
C．的最小值為8D．的最小值為
10．下列化簡正確的是（ ）
A．B．
C．D．
11．函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象
12．已知函數(shù)，則（ ）
A．的定義域為
B．當(dāng)時，
C．
D．對定義域內(nèi)的任意兩個不相等的實數(shù)，，恒成立
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．若命題：，，則命題的否定是________．
14．已知奇函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式________．
15．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是________．
16．設(shè)函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且，都有．當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上有________個零點．
四、解答題（本大題共6小題，共70分）
17．（10分）化簡求值
（1）；
（2）．
18．（12分）已知集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
19．（12分）已知函數(shù)．
（1）若關(guān)于的不等式解集為，求實數(shù)的取值范圍；
（2）解關(guān)于的不等式．
20．（12分）進(jìn)口博覽會是一個展示各國商品和服務(wù)的盛會，也是一個促進(jìn)全球貿(mào)易和交流的重要平臺．某汽車生產(chǎn)企業(yè)想利用2023年上海進(jìn)口博覽會這個平臺，計劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本3000萬元，每生產(chǎn)（百輛），需投入流動成本（萬元），且，其中．由市場調(diào)研知道，每輛車售價25萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完．
（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤．
（總利潤＝總銷售收入－固定成本－流動成本）
21．（12分）已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間和對稱軸方程；
（2）解關(guān)于的不等式；
（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，求函數(shù)在上的值域．
22．（12分）若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)的值，并證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若存在實數(shù)使得不等式能成立，求實數(shù)的取值范圍．
參考答案
1．A
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行判斷即可．
【詳解】充分性：若，則，故充分性成立；
必要性：若，則，故必要性不成立；
故“”是“”的充分不必要條件．故選：A．
2．A
【分析】結(jié)合奇函數(shù)的圖象性質(zhì)及特殊函數(shù)值判斷即可．
【詳解】解：由，得函數(shù)為奇函數(shù)，排除B項，
由，得，則排除C、D兩項．故選：A．
3．B
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可結(jié)合換底公式求解．
【詳解】，故選：B．
4．D
【分析】利用函數(shù)定義域求法解不等式可求得集合，，再利用交集運算法則可得結(jié)果．
【詳解】根據(jù)題意可知，即，解得或，即或；易知，解得或，即或；可得或，因此．故選：D．
5．A
【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式即可求解．
【詳解】由，，得，
則，故．故選：A．
6．A
【分析】根據(jù)題意，由，，，即可得到結(jié)果．
【詳解】由三個數(shù)，，，
可知其大小關(guān)系為．故選：A．
7．D
【分析】由題意求分段函數(shù)的極值，作出函數(shù)簡圖，進(jìn)而求解．
【詳解】
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；
當(dāng)時，，則的圖象如圖所示，
要使方程有四個實根，需滿足．故選：D．
8．C
【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)，由香農(nóng)公式分別計算信噪比為1000和5000時的比值即可求解．
【詳解】解：依題意得，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
，
的增長率約為．故選：C．
9．ACD
【分析】AD選項，由基本不等式求出最值；B選項，化為，求出最小值；C選項，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值．
【詳解】對于A，由，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時，取等號，所以A正確；
對于B，因為，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值，所以B錯誤；
對于C，因為，，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時，取等號，所以C正確；
對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時，取等號，所以D正確．故選：ACD．
10．BCD
【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】A：因為，所以本選項不正確；
B：因為，所以本選項正確；
C：因為，所以本選項正確；
D：因為，所以本選項正確，故選：BCD．
11．ABC
【分析】借助圖象周期求出、再由定點結(jié)合范圍求出，得出解析式后結(jié)合正弦型函數(shù)性質(zhì)可得A、B、C，結(jié)合函數(shù)圖象的平移可得D．
【詳解】由題意可得，故，
則，，
即，解得
又，即，故A正確；
即，當(dāng)時，有，故的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；
當(dāng)時，，故C正確：
將函數(shù)的圖象向由右平移個單位得到，故D錯誤．
故選：ABC．
12．ACD
【分析】根據(jù)可判斷選項A；
根據(jù)的單調(diào)性，判斷的單調(diào)性可判斷選項B；
根據(jù)的奇偶性可判斷選項C；
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性可判斷選項D．
【詳解】對于A，由，得，即恒成立，故A正確；
對于B，令，
易知在單調(diào)遞減，且，
則在單調(diào)遞減，且，故B錯誤；
對于C，令，則，
，
為上的奇函數(shù)，，
，故C正確；
對于D，由B選項知，在單調(diào)遞減，且，
在單調(diào)遞減，且，
為上的奇函數(shù)，在單調(diào)遞減，且，
又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
對定義域內(nèi)的任意兩個不相等的實數(shù)，，恒成立，故D正確．故選：ACD．
13．，
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題直接求解即可．
【詳解】由題意，根據(jù)全稱量詞命題的否定的定義有，命題的否定是：，．
故答案為：，．
14．
【分析】根據(jù)奇函數(shù)滿足求解即可．
【詳解】依題意，當(dāng)時，，
故在區(qū)間上的解析式．
故答案為：．
15．
【分析】利用一次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)及分段函數(shù)單調(diào)性解決即可．
【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，一次函數(shù)是增函數(shù)，得出，即；
當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，得出；
又因為，解得；
又因為，解得；取交集得；
故答案為：．
16．6
【分析】由函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，
結(jié)合的條件可得函數(shù)的一個周期為4，
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理可得零點個數(shù)．
【詳解】如圖，因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，
所以，且．
又，即，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
且，所以，
所以4是函數(shù)的一個周期，所以．
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
且，，
所以函數(shù)在區(qū)間上僅有1個零點，且零點在區(qū)間上．
由對稱性，知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個零點．
因為是定義域為的奇函數(shù)且是4是它的一個周期，所以，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個零點．
因為函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，所以函數(shù)在區(qū)間上沒有零點．
結(jié)合，得函數(shù)在區(qū)間上有6個零點．故答案為：6．
17．（1）29（2）1
【分析】（1）利用指數(shù)的運算法則計算即可；
（2）利用對數(shù)的運算法則計算即可．
【詳解】（1）原式；
（2）原式．
18．（1）或
（2）或
【分析】（1）解不等式得出，代入得出，進(jìn)而根據(jù)并集的運算求解，即可得出答案；
（2）根據(jù)已知可推得，以及，根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，求解即可得出答案．
【詳解】（1）解可得，或，
所以，或．當(dāng)時，，所以或．
（2）由“”是“”的必要不充分條件，所以，．
又或，．
當(dāng)，有，即，顯然滿足；
當(dāng)時，有，即．
要使，則有或，解得或．
綜上所述，或．
19．（1）（2）答案見解析
【分析】（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，令解出即可；
（2）由判別式確定的范圍，分類再解不等式即可．
【詳解】（1）由題意，可得，；
（2）①當(dāng)時，即時，原不等式的解集為；
②當(dāng)時，即或時，當(dāng)時，，原不等式的解集為，當(dāng)時，，原不等式的解集為；
③時，即或時，，解得或，原不等式的解集為．
20．（1）
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為25百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為3250萬元
【分析】（1）根據(jù)總利潤＝總銷售收入－固定成本－流動成本，代入相關(guān)數(shù)據(jù)運算化簡即可．
（2）當(dāng)時，利用一元二次函數(shù)知識，在對稱軸處取得最值；
當(dāng)時，利用基本不等式知識，通過變形得，再求最值即可．然后通過比較得到利潤最大值．
【詳解】（1）當(dāng)時，．
當(dāng)時，．
綜上，
（2）當(dāng)時，，
當(dāng)時，萬元．
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．，
所以當(dāng)年產(chǎn)量為25百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為3250萬元．
21．（1），單調(diào)遞增區(qū)間為，；對稱軸，
（2），
（3）
【分析】（1）應(yīng)用兩角和的正弦公式及二倍角公式化簡得，應(yīng)用整體代入法即可求解單調(diào)區(qū)間與對稱軸；
（2）結(jié)合函數(shù)圖像解不等式；
（3）應(yīng)用換元法求值域；
【詳解】
（1）
函數(shù)的最小正周期．
令，，解得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．
令，，解得，，
所以的對稱軸方程為，．
（2）即，，
所以，，解得，．
（3）由題知，
則，
令，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
綜上可知所求值域為．
22．（1），證明見解析
（2）
【分析】（1）由求得的值，運用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可．
（2）由在上的奇函數(shù)可得，
由在上單調(diào)遞增可得，成立，
進(jìn)而可得，成立，
令，運用換元法將問題轉(zhuǎn)化為，，
進(jìn)而求在上的最小值即可．
【詳解】（1）因為函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，經(jīng)檢驗符合題意，所以，
證明：任取，，且，
則，
因為，所以，所以，，，
所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．
（2）因為，在上的奇函數(shù)，
所以，
由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，成立，
即，成立，
設(shè)，則，所以，，
所以，，
設(shè)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，所以，所以．

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