全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。
注意事項(xiàng)：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚。
4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交。
5．本卷主要考查內(nèi)容：高考范圍。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知為整數(shù)集，，則（ ）
A．B．C．D．
2．若，則（ ）
A．B．1C．2D．4
3．樣本數(shù)據(jù)16，20，21，24，22，14，18，28的分位數(shù)為（ ）
A．16B．17C．23D．24
4．在中，，，則（ ）
A．B．C．D．
5．是一種由60個(gè)碳原子構(gòu)成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子結(jié)構(gòu)由12個(gè)正五邊形和20個(gè)正六邊形組成．如圖，將足球烯上的一個(gè)正六邊形和相鄰正五邊形展開放平，若正多邊形的邊長為1，為正多邊形的頂點(diǎn)，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同．若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)的最小值為，則的最小值為（ ）
A．B．C．0D．1
8．?dāng)?shù)列滿足，若，則（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．如果正確選項(xiàng)為2個(gè)，則選對一個(gè)得3分，全部選對得6分；如果正確選項(xiàng)有3個(gè)，則選對一個(gè)得2分，選對兩個(gè)得4分，全部選對得6分．有選錯(cuò)的得0分．
9．已知函數(shù)，則（ ）
A．為偶函數(shù)
B．曲線的對稱中心為
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．在區(qū)間上有一條對稱軸
10．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)在直線上，且交于兩點(diǎn)，為上異于的一點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．有且僅有3個(gè)點(diǎn)，使得的面積為
11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，，，，則（ ）
A．B．
C．是奇函數(shù)D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為圓上一點(diǎn)且在第一象限，，則直線的方程為______．
13．某工廠為學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)定制獎(jiǎng)杯，獎(jiǎng)杯的剖面圖形如圖所示，已知獎(jiǎng)杯的底座是由金屬片圍成的空心圓臺(tái)，圓臺(tái)上下底面半徑分別為1，2，將一個(gè)表面積為的水晶球放置于圓臺(tái)底座上，即得該獎(jiǎng)杯，已知空心圓臺(tái)（厚度不計(jì)）圍成的體積為，則該獎(jiǎng)杯的高（即水晶球最高點(diǎn)到圓臺(tái)下底面的距離）為______．
14．設(shè)為雙曲線的一個(gè)實(shí)軸頂點(diǎn)，為的漸近線上的兩點(diǎn)，滿足，，則的漸近線方程是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
已知不透明的袋子中裝有6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，其中2個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中無放回地隨機(jī)取球，每次取一個(gè)．
（1）求前兩次取出的球顏色不同的概率；
（2）當(dāng)白球被全部取出時(shí)，停止取球，記取球次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望．
16．（本小題滿分15分）
如圖，在四棱錐中，平面，，，是等邊三角形，為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．
17．（本小題滿分15分）
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在數(shù)列的和項(xiàng)之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其中，將所有插入的數(shù)組成新數(shù)列，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．
18．（本小題滿分17分）
已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：．
19．（本小題滿分17分）
已知橢圓的左頂點(diǎn)為，過且斜率為的直線交軸于點(diǎn)，交的另一點(diǎn)為．
（1）若，求的離心率；
（2）點(diǎn)在上，若，且，求的取值范圍．
數(shù)學(xué)考試
參考答案、提示及評分細(xì)則
1．D 因?yàn)?，故選D．
2．A ，，故選A．
3．C 由小到大排列為14，16，18，20，21，22，24，28，一共有8個(gè)數(shù)據(jù)，，所以分位數(shù)為，故選C．
4．D 由正弦定理可得，，又，所以，不妨設(shè)，所以．故選D．
5．B 取的中點(diǎn)，則，所以，故選B．
6．D 不妨設(shè)，，則，所以，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選D．
7．B ，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，故選B．
8．A ，，，，所以，同理可得，，．，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，故選A．
9．BD 因?yàn)?，，所以為奇函?shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
令，解得，即，所以曲線的對稱中心為，，B選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上有且僅有一條對稱軸，D選項(xiàng)正確．故選BD．
10．ACD 因?yàn)?，令，解得，所以，A選項(xiàng)正確；
設(shè)，拋物線與直線聯(lián)立，得，所以，，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，C選項(xiàng)正確；
不妨設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立可得，令，解得，此時(shí)直線與直線的距離為，的面積為，所以有且僅有3個(gè)點(diǎn)，使得的面積為，D選項(xiàng)正確，故選ACD．
11．ABD 令，則，因?yàn)?，所以，A選項(xiàng)正確；
令，則，即，兩邊求導(dǎo)可得，，即，所以關(guān)于對稱，，B選項(xiàng)正確；
因?yàn)?，所以，令，則，兩邊求導(dǎo)可得，即，所以，是偶函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由可知，所以，的一個(gè)周期為4，，D選項(xiàng)正確，故選ABD．
12． 易知點(diǎn)在圓上，由可知，，所以，又因?yàn)?，所以，即直線的方程為．
13． 設(shè)水晶球的半徑為，則，解得，設(shè)圓臺(tái)的高為，則，解得，已知水晶球球心到圓臺(tái)上底面的距離為，所以該獎(jiǎng)杯的高為．
14． 依題意，為的角平分線，且，設(shè)，則，．在中，由余弦定理可得，，代入整理可得，因此，，所以的漸近線方程是．
15．解：（1）設(shè)事件為“前兩次取出的球顏色不同”．
設(shè)事件為“第一次取黑球，第二次取白球”，則，
事件為“第一次取白球，第二次取黑球”，則，
因?yàn)槭录c互斥．
所以，
所以前兩次取出的球顏色不同的概率為；
（2）依題意，的取值為2，3，4，5，6，
，．
，，
．
所以的分布列為
所以．
16．（1）證明：是等邊三角形，為的中點(diǎn)．
所以是等邊的中線，所以，
又平面，平面，，
又平面，平面，，平面；
（2）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
，．
設(shè)平面的法向量為，
由令，則，
．
顯然平面的一個(gè)法向量為，
，
故平面與平面夾角的余弦值為．
17．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，，
當(dāng)時(shí)，符合，所以；
（2）依題意，，
，
，
?
．
所以，
即，①
則，②
由①②可得，，
所以．
18．（1）解：當(dāng)時(shí)，，，
，，
，在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）證明：設(shè)，
，
設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，
恒成立，
由可知，
所以，
設(shè)，則，，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，
所以單調(diào)遞增，，
所以．
19．解：（1）設(shè)，由，可知，
代入橢圓方程，可得，因?yàn)?，所以?br>又，解得，
所以離心率；
（2）設(shè)點(diǎn)，直線與橢圓方程聯(lián)立可得，
整理可得，解得，
所以，
將替換為，同理可得，，
由，可得，
整理得，
由，解得或，
，即，解得，
綜上所述，的取值范圍為．
2
3
4
5
6

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