數(shù)學(xué)試題卷
2024.3
本試卷共4頁，19小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卷上．將條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”．
2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊、不要弄破．
選擇題部分（共58分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知，則“”是“”的（ ）
A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件
2．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．在正三棱臺中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．平面
C．D．
4．已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
5．在展開式中，的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)和為（ ）
A．B．64C．D．32
6．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且單調(diào)遞增．若，則（ ）
A．B．C．D．
7．若關(guān)于的方程的整數(shù)根有且僅有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．已知定義在上的函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于對稱B．的圖象關(guān)于對稱
C．在單調(diào)遞增D．有最小值
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，為其終邊上一點(diǎn)，若角的終邊與角的終邊關(guān)于直線對稱，則（ ）
A．B．
C．D．角的終邊在第一象限
10．已知圓與圓相交于兩點(diǎn)．若，則實(shí)數(shù)的值可以是（ ）
A．10B．2C．D．
11．已知半徑為球與棱長為1的正四面體的三個(gè)側(cè)面同時(shí)相切，切點(diǎn)在三個(gè)側(cè)面三角形的內(nèi)部（包括邊界），記球心到正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為，則（ ）
A．有最大值，但無最小值B．最大時(shí)，球心在正四面體外
C．最大時(shí)，同時(shí)取到最大值D．有最小值，但無最大值
非選擇題部分（共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分．把答案填在題中的橫線上．
12．平面向量滿足，，，則______．
13．如圖，在等腰梯形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿翻折到，將沿翻折到，使得二面角等于，等于，則直線與平面所成角的余弦值等于______．
第13題圖
14．已知分別是雙曲線與拋物線的公共點(diǎn)和公共焦點(diǎn)，直線傾斜角為，則雙曲線的離心率為______．
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若，求的面積．
16．（本小題滿分15分）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓上一動點(diǎn)（不同于），記分別為直線的斜率，且滿足．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示）；
（2）求的取值范圍．
17．（本小題滿分15分）紅旗淀粉廠2024年之前只生產(chǎn)食品淀粉，下表為年投入資金（萬元）與年收益（萬元）的8組數(shù)據(jù)：
（1）用模擬生產(chǎn)食品淀粉年收益與年投入資金的關(guān)系，求出回歸方程；
（2）為響應(yīng)國家“加快調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)”的號召，該企業(yè)又自主研發(fā)出一種藥用淀粉，預(yù)計(jì)其收益為投入的．2024年該企業(yè)計(jì)劃投入200萬元用于生產(chǎn)兩種淀粉，求年收益的最大值．（精確到0.1萬元）
附：①回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：
②
③
18．（本小題滿分17分）數(shù)列滿足：是等比數(shù)列，，且
．
（1）求；
（2）求集合中所有元素的和；
（3）對數(shù)列，若存在互不相等的正整數(shù)，使得也是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”．試分別判斷數(shù)列是否是“和穩(wěn)定數(shù)列”．若是，求出所有的值；若不是，說明理由．
19．（本小題滿分17分）如圖，對于曲線，存在圓滿足如下條件：
第19題圖
①圓與曲線有公共點(diǎn)，且圓心在曲線凹的一側(cè)；
②圓與曲線在點(diǎn)處有相同的切線；
③曲線的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（即曲線的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)等于）；
則稱圓為曲線在點(diǎn)處的曲率圓，其半徑稱為曲率半徑．
（1）求拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程；
（2）求曲線的曲率半徑的最小值；
（3）若曲線在和處有相同的曲率半徑，求證：．
溫州市普通高中2024屆高三第二次適應(yīng)性考試
數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
2024.3
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．
三、填空題：
12．；13．；14．或
四、解答題：
15．解：①由 得（正弦定理2分）
得，或（每個(gè)答案1分）
只寫一個(gè)答案扣1分
由（正切公式給2分）
（也給2分）（對或進(jìn)行討論也給2分）
得，又
即 ，即
由①得，（求出或給3分）
又即得
又（求出其中一個(gè)給1分）
（公式和答案各給1分）
②由得
（切化弦就給2分）
即 ，即
由①得，（求出或給3分）
又即得
又（求出其中一個(gè)給1分）
（公式和答案各給1分）
16．解：（1）由題設(shè)得A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)，則，
且，兩式相減得，所以，．
聯(lián)立，，整理得，
解得．
用代替上述坐標(biāo)中的k，可得或
1．有對稱坐標(biāo)給1分
2．點(diǎn)差思想2分，兩點(diǎn)斜率公式1分
3．寫出給1分，到這里給4分
4．直線與橢圓方程聯(lián)立求得坐標(biāo)給2分，只寫一個(gè)坐標(biāo)給1分
5．P坐標(biāo)正確給2分，一個(gè)正確給1分
（2）由（1）得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．
當(dāng)時(shí)，有最小值4，但此時(shí)斜率不存在，故．
1．弦長公式算是2分，有公式但代入錯(cuò)誤給1分
2．化簡正確給2分
3．算出最大值是5的最后給6分，算出正確結(jié)果給7分。
17．（1）分值為6分

說明1：四個(gè)數(shù)字中有一個(gè)正確、有分?jǐn)?shù)結(jié)構(gòu)就給2分
回歸方程為：
說明2：（1）學(xué)生出現(xiàn)約等于5也給滿分
（2）只能計(jì)算正確才給2分
（2）分值為9分
2024年設(shè)該企業(yè)投入食品淀粉生產(chǎn)x萬元，預(yù)計(jì)收益（萬元）
說明3：有列式（錯(cuò)誤）給2分
，
，得
說明4：
（1）有導(dǎo)數(shù)給2分
（2）只要出現(xiàn)50就給3分
其在上遞增，上遞減
說明5：第一問的值求錯(cuò)，第二問有列函數(shù)式給2分，有求導(dǎo)再給2分（不管結(jié)果對錯(cuò)）
18．解：（1），
又，，解得：
的公比，
又，
作差得：
（有做差的過程，不管式子是否正確，均給1分）
將代入，化簡：，
得：（結(jié)果正確，給1分）
是公差的等差數(shù)列，
說明：1、通項(xiàng)公式均正確，有過程，滿分；
2、只有通項(xiàng)公式，沒有任何過程，給答案分2分；
3、踩點(diǎn)給分：或（1分）
或（1分）
的公比（1分）（1分）
注意：如果學(xué)生有寫出，
漏了不扣分，到處，給4分！
又，
作差得：
（有作差的動作就給1分，不管運(yùn)算對錯(cuò)）
（1分，化簡結(jié)果錯(cuò)不給分）
（1分）
（2）記集合的全體元素的和為，
集合的所有元素的和為，
集合的所有元素的和為，
集合的所有元素的和為，則有
對于數(shù)列：
當(dāng)時(shí)，是數(shù)列中的項(xiàng)
當(dāng)時(shí)，不是數(shù)列中的項(xiàng)
，其中
即（其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)）
寫成：或也對
說明：1、求出數(shù)列的前項(xiàng)和（1分）
求出數(shù)列的前項(xiàng)和（1分），化簡錯(cuò)，也給
2、有指出不是數(shù)列的項(xiàng)或是數(shù)列的項(xiàng)（1分）
3、有出現(xiàn)集合中所有元素的和為
（即體現(xiàn)學(xué)生知道數(shù)列和集合概念的不同，
還要減去數(shù)列與的公共項(xiàng)，表達(dá)錯(cuò)誤也給1分）
4、答案正確再給1分（表達(dá)正誤在這里體現(xiàn)）。
（3）①解：當(dāng)時(shí)，是的正整數(shù)倍，
故一定不是數(shù)列中的項(xiàng)；
當(dāng)時(shí)，，不是數(shù)列中的項(xiàng)；
當(dāng)時(shí)，，是數(shù)列中的項(xiàng)；
綜上，數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”，；（3分）
說明：1、判斷出數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”（1分）；
2、寫出是“和穩(wěn)定數(shù)列”的的一個(gè)值：如（1分）；
寫出是“和穩(wěn)定數(shù)列”的的所有值
并說明理由（1分）
（3）②解：數(shù)列不是“和穩(wěn)定數(shù)列”，理由如下：
不妨設(shè)：，則，且
故不是數(shù)列中的項(xiàng)。
方法二：反證法：若存在互不相等的正整數(shù)，
使得是數(shù)列中的項(xiàng)。不妨設(shè)：，
易知，設(shè)，
即，兩邊除以得：，
該式左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)，顯然不成立，
故假設(shè)不成立，數(shù)列不是“和穩(wěn)定數(shù)列”。
說明：1、判斷出數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”（1分）；
2、寫出是“和穩(wěn)定數(shù)列”的的一個(gè)值：如（1分）；
寫出是“和穩(wěn)定數(shù)列”的j的所有值
并說明理由（1分）
（直接寫出是“和穩(wěn)定數(shù)列”的的所有值并說明理由2分）
3、判斷出數(shù)列不是“和穩(wěn)定數(shù)列”（1分）；
4、證明數(shù)列不是“和穩(wěn)定數(shù)列”（1分）
19．解：（1）記，設(shè)拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為，其中為曲率半徑．
則，有求導(dǎo)就給1分
故，給1分
即
所以拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為
（2）設(shè)曲線在的曲率半徑為．則
法一：，兩等式各1分
由知，
所以曲率半徑一般式1分
故曲線在點(diǎn)處的曲率半徑求導(dǎo)代入，得出該曲線曲率半徑1分
所以，
基本不等式求解最值1分
故，曲線在點(diǎn)處的曲率半徑．取等條件1分
法二： 兩等式各1分
所以，而，
所以解方程，得出該曲線曲率半徑2分
故，曲線在點(diǎn)處的曲率半徑．取等條件1分
（3）法一：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑曲率半徑表達(dá)式正確1分
故
由題意知： 令，
則有，換元1分
所以，即，故．化簡2分
又
所以．基本不等式求最值2分
法二：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑
有曲率半徑表達(dá)式正確1分
令，則有，換元1分
則，故 化簡2分
所以有
令，則，即，基本不等式求最值2分
故，所以，即
法三：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑．曲率半徑表達(dá)式正確1分
故
設(shè)，則
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
故有．說明的范圍2分
所以
要證，即證，
即證 將轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)不等式問題1分
下證：當(dāng)時(shí)，有
設(shè)函數(shù)（其中），
則
故單調(diào)遞增， 證明函數(shù)不等式問題2分
故，所以．
法四：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑 曲率半徑表達(dá)式正確1分
有
設(shè)．
則有
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
故有 說明的范圍2分
所以
要證，即證，
即證．將轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)不等式問題1分
下證：當(dāng)時(shí)，有
設(shè)函數(shù)（其中），
則
故單調(diào)遞增，故 證明函數(shù)不等式問題2分
故，所以．
10
20
30
40
50
60
70
80
12.8
16.5
19
20.9
21.5
21.9
23
25.4
161
29
20400
109
603
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
B
A
A
C
A
題號
9
10
11
選項(xiàng)
ACD
BD
ABD

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