一.填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）
1. 已知直線l的一個法向量是，則此直線的傾斜角的大小為__．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)直線的方向向量為，直線的傾斜角為．利用，即可得出．
【詳解】解：設(shè)直線的方向向量為，直線的傾斜角為．
則，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了直線的方向向量與法向量、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
2. 雙曲線兩條漸近線的夾角的余弦值為______.
【答案】##0.6
【解析】
【分析】求解雙曲線的漸近線方程，然后求解夾角即可．
【詳解】雙曲線的兩條漸近線為，直線的傾斜角為，，，
所以兩條漸近線的夾角的余弦值為．
故答案為：．
3. 已知數(shù)列的前項和，若數(shù)列為等比數(shù)列，則_____________
【答案】
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列前項和公式，結(jié)合待定系數(shù)法列方程組，解出即可.
【詳解】若 等比數(shù)列的公比為1，則，不合題意.
故，，
所以，解得，
故答案為：.
4. 計算_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)無窮等比數(shù)列的求和公式直接即可求出答案.
【詳解】.
故答案為：2.
5. 某產(chǎn)品經(jīng)過4次革新后，成本由原來的200元下降到125元.如果這種產(chǎn)品每次革新后成本下降的百分比相同，那么每次革新后成本下降的百分比是______（結(jié)果精確到0.1%）.
【答案】11.1%
【解析】
【分析】按照等比數(shù)列求解.
【詳解】設(shè)4次革新前的成本價格分別為，，由題意是等比數(shù)列，
設(shè)公比為q，則 ，
每次革新后成本下降的百分比為；
故答案為：.
6. 若表示圓，則實數(shù)的值為______.
【答案】
【解析】
【分析】依題意可得，解得，再代入檢驗.
【詳解】因為表示圓，所以，
解得或，
當時方程，即，不表示任何圖形，故舍去；
當時方程，即，表示以為圓心，為半徑的圓，符合題意；
故答案為：
7. 在數(shù)列中，已知，且，則______
【答案】
【解析】
【分析】利用累加法，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以，，…，，
將以上各式相加得.
因為，所以，所以.
故答案為：
8. 若實數(shù)、、成等差數(shù)列，則直線必經(jīng)過一個定點，則該定點坐標為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等差中項的性質(zhì)得到，即可求出直線過定點坐標.
【詳解】因為實數(shù)、、成等差數(shù)列，所以，即，
所以直線必過點
故答案為：
9. 在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，已知各除數(shù)及其對應(yīng)的余數(shù)，求適合條件的被除數(shù)，這類問題統(tǒng)稱為剩余問題.1852年《孫子算經(jīng)》中”物不知其數(shù)”問題的解法傳至歐洲，在西方的數(shù)學(xué)史上將”物不知其數(shù)”問題的解法稱之為“中國剩余定理”，“物不知其數(shù)”問題后經(jīng)秦九韶推廣，得到了一個普遍的解法，提升了“中國剩余定理”的高度.現(xiàn)有一個剩余問題：在的整數(shù)中，把被4除余數(shù)為，被5除余數(shù)也為的數(shù)，按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列，則數(shù)列的項數(shù)為_____________
【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意得到，然后結(jié)合題目所給范圍，即可求解.
【詳解】將題目問題轉(zhuǎn)化為既是的倍數(shù)也是的倍數(shù)，也就是的倍數(shù)，
所以，即，令，
∴，又因為，所以共項.
故答案為：
10. 已知數(shù)列的通項公式是，其前項的和為.設(shè)，若數(shù)列是嚴格增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】先由裂項相消法求出，進而得到，由數(shù)列是嚴格增數(shù)列求解實數(shù)的取值范圍即可.
【詳解】由，得：.
所以，
因為數(shù)列是嚴格增數(shù)列，
所以，在時恒成立，
可得在時恒成立，則，
即的取值范圍為.
故答案為：.
11. 已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過左焦點作直線與雙曲線交于A，B兩點（B在第一象限），若線段的中垂線經(jīng)過點，且點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的定義可得，再由勾股定理列出方程即可得到關(guān)系，代入離心率計算公式，即可得到結(jié)果.
【詳解】
設(shè)雙曲線的半焦距為c，，，根據(jù)題意得，
又，，設(shè)的中點為，
在中，，，，
則，，根據(jù)，
可知，.
故答案為：.
12. 已知軸上的點，，，滿足，射線上的點，，，滿足，記四邊形的面積為，且恒成立，則區(qū)間長度的最小值為_____________
【答案】
【解析】
【分析】先通過點滿足可得為等比數(shù)列，求其通項公式，進而可得點，再利用滿足可得，則根據(jù)可將面積用表示，再通過判斷數(shù)列的單調(diào)性可得面積的取值范圍.
【詳解】由軸上的點、、…、滿足，
得，
又，
則是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
，
，
又符合上式，所以，
，
因為射線上的點、、…、滿足
又，，
，
，又，
，
，
則，
四邊形的面積為，
即，
令，，則，
，
當時，，所以，
當時，，所以，
則的最大值為，
又，且，
所以，而，
故，
所以四邊形的面積的取值范圍為，
又恒成立，所以，，所以區(qū)間長度的最小值為.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出、，再由表示出四邊形的面積.
二.選擇題（本大題共4題，滿分20分）
13. 已知，若三向量共面，則實數(shù)等于（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量共面定理，設(shè)，列出方程組，解出即可.
【詳解】因為三向量共面，設(shè)，
所以，即，解得，
故選：C.
14. 下列命題中正確的選項有（ ）個
①已知數(shù)列為等比數(shù)列，為其前項和，則、、成等比數(shù)列
②已知數(shù)列為等比數(shù)列，若存在，則
③平面上到兩定點距離之和為定長的點的軌跡是橢圓
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用特殊值判斷①，分和討論判斷②，根據(jù)橢圓的定義判斷③.
【詳解】對于①，若，當為偶數(shù)時，，，
顯然、、不成等比數(shù)列，故①錯誤；
對于②：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，所以，
若，則，若存在，則，故②錯誤；
對于③：平面上到兩定點距離之和為定長，當定長大于兩定點間的距離，
此時動點的軌跡是橢圓，當定長等于兩定點間的距離，此時動點的軌跡是線段，故③錯誤；
故選：A
15. 若直線與曲線恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意得：為恒過定點的直線，曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，由此利用數(shù)形結(jié)合思想能求出的取值范圍．
【詳解】根據(jù)題意得為恒過定點的直線，
由曲線，可得，
所以曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，如圖所示，

當直線與圓相切時，有，解得（舍去）或，
把代入得，解得，
因為直線與曲線恰有兩個公共點，
由圖可得，即的取值范圍是．
故選：B．
16. 已知數(shù)列滿足，，若，且存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，令，進而證明數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故可得，，在結(jié)合題意將問題轉(zhuǎn)化為，再求數(shù)列的最大值代入解一元二次不等式即可得答案.
【詳解】，．
令，
，
又，
∴數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
，即，
，
∵存在，使得成立，
．
令得則，，
或．，
，即，解得，
∴實數(shù)的取值范圍是．
故選：D．
三.解答題（本大題共有5題，滿分76分）
17. 已知直線．
（1）若，求實數(shù)的值；
（2）當時，求直線與之間的距離．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由垂直可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實數(shù)a的方程.
（2）由平行可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實數(shù)a的方程，進而可求出兩直線的方程，結(jié)合直線的距離公式即可求出直線與之間的距離.
【詳解】（1）∵，且，
∴，
解得．
（2）∵，且，
∴且，解得，
∴，即
∴直線間的距離為．
【點睛】本題考查了由兩直線平行求參數(shù)，考查了由兩直線垂直求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.
18. 已知等差數(shù)列的公差不為零，，且，，成等比數(shù)列．
（1）求的通項公式；
（2）計算．
【答案】（1）
（2）-640
【解析】
【分析】（1）設(shè)出公差，利用題干條件列出方程，求出公差，進而寫成通項公式；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到，即數(shù)列（正整數(shù)）為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式進行求解.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，．
因為，，成等比數(shù)列，所以，
即，
代入，解得．
所以，
所以的通項公式為；
【小問2詳解】
因為，
所以數(shù)列（正整數(shù)）是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以.
19. 如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點．若PA＝AD＝3，CD=．
（1）求證：AF平面PCE；
（2）求點F到平面PCE的距離；
（3）求直線FC與平面PCE所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)G為PC的中點，連接EG，F(xiàn)G，F(xiàn)G為△PCD的中位線，F(xiàn)G∥CD∥AE，又E為AB的中點，AE＝FG，AEGF為平行四邊形，AF∥EG，即可得證；
（2）利用等體積法，四棱錐P﹣AEGF的體積＝三棱錐F﹣PEG體積的2倍＝三棱錐F﹣PEC體積，即可得解；
（3）作FH⊥平面PCE于H，∠FCH是FC與平面PCE所成的角，在△FCH中，F(xiàn)H=，F(xiàn)C=，由正弦公式即可得解.
【詳解】
（1）證明：設(shè)G為PC的中點，連接EG，F(xiàn)G，
∵FG為△PCD的中位線，∴FG∥CD∥AE
又∵E為AB的中點，∴AE＝FG，
∴AEGF為平行四邊形，∴AF∥EG
∵AF?平面PCE，EG?平面PCE，
∴AF∥平面PCE；
（2）設(shè)F到平面PEC的距離為h，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥EA，
又∵ABCD為矩形，∴EA⊥AD，
∵PA∩AD＝A，∴EA⊥平面PAD，∴AEGF為矩形，
∵△PAD為等腰直角三角形，∴PF是棱錐P﹣AEGF的高，
∴四棱錐P﹣AEGF的體積=?PF?FG?AF=，
∵PE＝EC=，PC＝，∴由余弦定理可得cs∠PEC=，
∴sin∠PEC=∴S△PEC＝；
∵四棱錐P﹣AEGF的體積＝三棱錐F﹣PEG體積的2倍＝三棱錐F﹣PEC體積，
∴，∴h=，
∴F點到平面PEC的距離為；
（3）作FH⊥平面PCE于H，
∴∠FCH是FC與平面PCE所成角，
由（2）知，在△FCH中，F(xiàn)H=，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAE，CD⊥PD，
根據(jù)數(shù)據(jù)可得：FC=，
∴sin∠FCH=，
∴直線FC與平面PCE所成角的正弦值為.
【點睛】本題考查了線面垂直的證明，以及點到面的距離以及線面所成角，考查了等體積法求高和轉(zhuǎn)化思想，要求較高的計算能力，屬于較難題.
20. 已知數(shù)列滿足，．
（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前n項和，
①求數(shù)列的前n項和；
②若在，上恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析，
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）法1：將已知同除以即可得證；
法2：由已知得，再證明為定值即可得證；
（2）①先由（1）求得數(shù)列得通項，再利用裂項相消即可求得；
②在上恒成立，即，結(jié)合基本不等式求出即可得解.
【小問1詳解】
法1：由
兩邊同除以得，，即，
數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差為1，
所以，所以；
法2：由得，，
故，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差為1，
所以，所以；
【小問2詳解】
①由（1）可得，
則
；
②因為若在上恒成立，
即，
所以，
又因為，當且僅當時，即時，等號成成立，
所以，所以，
即實數(shù)的取值范圍為.
21. 已知橢圓的焦距為2，且過點.

（1）求橢圓的標準方程；
（2）、分別為橢圓的上、下頂點，為坐標原點，過橢圓的左焦點作直線交橢圓于、兩點，與軸交于點.
①若點是線段的中點，求點的軌跡方程；
②設(shè)直線與直線交于點，求證：為定值.
【答案】（1）；
（2）①(除去點)；②證明見解析.
【解析】
【分析】（1）將給定的點坐標代入方程，由焦距列出方程，再解方程組作答.
（2）①設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理求出軌跡方程即得；②設(shè)出點的坐標，借助斜率坐標公式推理計算即可.
【小問1詳解】
依題意，，由點在上得，解得,
所以橢圓的標準方程為.
【小問2詳解】
①由（1）知，，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

由消去y得，設(shè)，
于是，設(shè)線段的中點，
則，，
當時，兩式相除得，代入上式化簡得，
當時，線段的中點的坐標滿足上述方程，
所以的軌跡方程為(除去點)；
②由直線的方程，得點，當時，，不符合題意，
因此，當點異于、點時，設(shè)，
由,,三點共線，得，由,,三點共線，得，而，
兩式相除得
，
解得，從而，為定值，
當點與點重合時,，滿足，
當點與點重合時,，滿足，
所以為定值.
【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．

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