命題學(xué)校：石家莊市第二中學(xué)
命題人：宛昭勛 劉越起 劉俊男 審題人：劉英娟
考試時(shí)間：2024年3月20日下午15：00—17：00 試卷滿分：150分 考試用時(shí)：120分鐘
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自已的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
3．樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)次為（ ）
A．7 B．9 C．9.5 D．10
4．若成等比數(shù)列，則公比為（ ）
A． B． C． D．2
5．甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校舉辦的三項(xiàng)不同活動(dòng)，每人只能報(bào)其中一項(xiàng)活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)至少有一個(gè)人參加，則甲、乙、丙三位同學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同的概率為（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，則（ ）
A． B． C． D．1
7．已知正方體的棱長(zhǎng)為為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐外接球半徑的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．已知拋物線的方程為為其焦點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)，且滿足，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在毎小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）
A．若，且，則 B．若，且，則
C．是偶函數(shù) D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
10．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)．若點(diǎn)滿足，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．面積的最大值為
C． D．
11．已知正方體的棱長(zhǎng)為是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，平面截該正方體，將其分成兩部分，設(shè)這兩部分的體積分別為，則下列判斷正確的是（ ）
A．時(shí)，截面面積為 B．時(shí)，
C．隨著的增大先減小后增大 D．的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．是任處的切線方程，則_________。
13．1675年，卡西尼在礦究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)了卡西尼卵形線，卡西尼卵形線是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則面積的最大值為_(kāi)________。
14．已知是實(shí)數(shù)，滿足，當(dāng)取得最大值時(shí)，_________。
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15．（本小題滿分13分）
設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，求。
16．（本小題滿分15分）
兵乓球（table tennis），被稱為中國(guó)的“國(guó)球”，是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目。已知某次乒乓球比賽單局賽制為：兩球換發(fā)制，每人發(fā)兩個(gè)球，然后由對(duì)方發(fā)球，先得11分者獲勝。
（1）若單局比賽中，甲發(fā)球時(shí)獲勝的概率為，甲接球時(shí)獲勝的概率為，甲先發(fā)球，求單局比賽中甲獲勝的概率；
（2）若比賽采用三局兩勝制（當(dāng)一隊(duì)朚得兩場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束），每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，記為比賽結(jié)束時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求的期望．（參考數(shù)據(jù)）
17．（本小題滿分15分）
已知三棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，平面與底面的交線為直線．
（1）若，證明：；
（2）若三棱錐的體積為為交線上的動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面的夾角為，求的取值范圍．
18．（本小題滿分17分）
已知雙曲線的方程為，其中，）是雙曲線上一點(diǎn)，直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，雙曲線在點(diǎn)處的兩條切線記為與交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，設(shè)直線的斜率分別為。
（1）證明：；
（2）求的值。
19．（本小題滿分17分）
記，若，滿足：對(duì)任意，均有，則稱為函數(shù)在上“最接近”直線．已知函數(shù)．
（1）若，證明：對(duì)任意；
（2）若，證明：在上的“最接近”直線為：，其中且為二次方程的根。
2024屆高三第二次學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)（T8聯(lián)考）
數(shù)學(xué)試題參考答案及多維細(xì)目表
1．【答案】B
【解析】．
，故選B．
2．【答案】A
【解析】．
．故選A．
3．【答案】D
【解析】數(shù)據(jù)，11，12的第70百分位數(shù)為10．故選D。
4．【答案】B
【解析】成等比數(shù)列．，即，。
，公比為，故選B．
5．【答案】C
【解析】先將5名志愿者分成3組，第一類分法是3，1，1，第二類分法是2，2，1，再分配到三項(xiàng)活動(dòng)中，總安排數(shù)為，甲、乙、丙三位同學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同排列數(shù)為，設(shè)過(guò)件為甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同，．故選C。
6．【答穼】C
【解析】，兩式相減，得．由正弦定理，得，故選C。
7．【答案】C
【解析】如圖，連接，交于點(diǎn)，易多為的外心。
進(jìn)接．交于點(diǎn)，易知平而三棱錐的外接球球心在上。
設(shè)的外接四四心為平面，且。
設(shè)的外接圓半徑為．三棱錐的外接球半徑為。
設(shè)．
又．
．
設(shè)，設(shè)．則．
又易知．故選C。
8．【答案】B
【解析】設(shè)，直線方程為：，聯(lián)立直線與拋物線方程，可得．
又，故是方程的解。
將代入方程，得。
，即．故選B．
9．【答案】AD
10．【答穼】ACD
【解析】落，則點(diǎn)在劣弧上，或者在優(yōu)弧上。
或者，故A錯(cuò)誤；，故B正確；取，故C錯(cuò)誤；
點(diǎn)在劣弧上時(shí)，．點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)．錯(cuò)誤．故選ACD．
11．【答案】BCD
【解析】如圖1，當(dāng)時(shí)，截面為正六邊形．且棱長(zhǎng)為，故截面面積為錯(cuò)誤；
由對(duì)稱性可知．當(dāng)時(shí)．平面分兩部分體積相等，B正確；
如圖2．當(dāng)從0變化到1時(shí)．截面從四邊形變化至五邊形（其中為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)）．被截面所分兩部分體積之差的絕對(duì)值先減小至0，再逐漸增大，故C正確．
取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)為，或時(shí)情形．計(jì)算可知討．時(shí)，的最大值為，故D正確。故選BCD。
12．【答案】
13．【答案】3
14．【答案】5
【解析】．
．
．
取等條件：或
15．（1）略。
（2）。11分
。13分
16．略。
17．解：由題意：∵，∴分別為棱的中點(diǎn)，∴。2分
．4分
為等邊三角形，為中點(diǎn)．
．
又平面，
平面．6分
平而7分
（2）如圖，在底面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的平行線即面與底面的交線．
由題意可得，即。8分
故底面的面積為。
設(shè)底面上的高為，則，于是．
注意到側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，取中點(diǎn)．
連接，則，從而平面．9分
取中點(diǎn)，連接，則。
于是，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，12分
于是．．
設(shè)平面的一個(gè)法向是為。
則即
解得即14分
由線面所成角的定義可知15分
18．解：（1）證明：．3分
又任雙曲線上，．
5分
由可知 7分
略
19.略題號(hào)
1
2
3
4
5
6
答案
B
A
D
B
C
C
題號(hào)
7
8
9
10
11
答案
C
B
AD
ACD
BCD

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