浙江省金麗衢十二校2024屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題及答案

這是一份浙江省金麗衢十二校2024屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題及答案，共20頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．若復(fù)數(shù)z滿足：，則為（ ）
A．2B．C．D．5
3．若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．B．0C．D．1
4．雙曲線的離心率e的可能取值為（ ）
A．B．C．D．2
5．在中，“A，B，C成等差數(shù)列且成等比數(shù)列”是“是正三角形”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
6．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，以F為圓心的圓交于A，B兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于C，D兩點(diǎn)，若四邊形ABCD是矩形，則圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函數(shù)若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．在三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，若為三棱錐的外接球直徑，且與所成角的余弦值為，則該外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．最小正周期為B．關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
C．最大值為D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
10．設(shè)定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，均有，則（ ）
A．B．（為的二階導(dǎo)數(shù)）
C．D．是函數(shù)的極大值點(diǎn)
11．已知正方體，的棱長為1，點(diǎn)P是正方形上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，初始位置位于點(diǎn)處，每次移動(dòng)都會(huì)到達(dá)另外三個(gè)頂點(diǎn).向相鄰兩頂點(diǎn)移動(dòng)的概率均為，向?qū)琼旤c(diǎn)移動(dòng)的概率為，如當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)處時(shí)，向點(diǎn)，移動(dòng)的概率均為，向點(diǎn)移動(dòng)的概率為，則（ ）
A．移動(dòng)兩次后，“”的概率為
B．對(duì)任意，移動(dòng)n次后，“平面”的概率都小于
C．對(duì)任意，移動(dòng)n次后，“PC⊥平面”的概率都小于
D．對(duì)任意，移動(dòng)n次后，四面體體積V的數(shù)學(xué)期望（注：當(dāng)點(diǎn)P在平面上時(shí)，四面體體積為0）
三、填空題
12．已知圓柱的軸截面面積為4，則該圓柱側(cè)面展開圖的周長最小值為 .
13．某中學(xué)的A?B兩個(gè)班級(jí)有相同的語文?數(shù)學(xué)?英語教師，現(xiàn)對(duì)此2個(gè)班級(jí)某天上午的5節(jié)課進(jìn)行排課，2節(jié)語文課，2節(jié)數(shù)學(xué)課，1節(jié)英語課，要求每個(gè)班級(jí)的2節(jié)語文課連在一起，2節(jié)數(shù)學(xué)課連在一起，則共有 種不同的排課方式.（用數(shù)字作答）
14．設(shè)正n邊形的邊長為1，頂點(diǎn)依次為，若存在點(diǎn)P滿足，且，則n的最大值為 .（參考數(shù)據(jù)：）
四、解答題
15．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
16．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面平面ABCD，，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，.
(1)證明：//平面BDM；
(2)求平面AMB與平面BDM的夾角.
17．某工廠生產(chǎn)某種元件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為合格品，小于82為次品，現(xiàn)抽取這種元件100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：
(1)現(xiàn)從這100件樣品中隨機(jī)抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概率；
(2)關(guān)于隨機(jī)變量，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對(duì)任意正數(shù)，均有成立.
（i）若，證明：；
（ii）利用該結(jié)論表示即使分布未知，隨機(jī)變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)的概率是有界的.若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%，那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，請(qǐng)結(jié)合“切比雪夫不等式”說明該工廠所提供的合格率是否可信？（注：當(dāng)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率小于0.05時(shí)，可稱事件A為小概率事件）
18．已知橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)B，焦距為，直線l交橢圓L于C，D（不同于橢圓的頂點(diǎn)）兩點(diǎn)，直線AD交y軸于M，直線BC交x軸于N，且直線MN交l于P.
(1)求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線AD，BC的斜率相等，證明：點(diǎn)P在一條定直線上運(yùn)動(dòng).
19．①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則
.
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問題：
(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；
(2)計(jì)算：；
(3)證明：，.
測(cè)試指標(biāo)
元件數(shù)（件）
12
18
36
30
4
參考答案：
1．D
【分析】
根據(jù)交集定義求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：D.
2．C
【分析】
利用共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)相等的充要條件求出，進(jìn)而求出.
【詳解】設(shè)，則
所以，即，
所以.
故選：C.
3．A
【分析】
根據(jù)偶函數(shù)滿足的關(guān)系即可化簡求解.
【詳解】的定義域?yàn)椋?br>由于為偶函數(shù)，故，
故，故
故選：A
4．A
【分析】由題得到或，再利用離心率，即可求出結(jié)果.
【詳解】由，得到或，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，雙曲線，，
所以，
故選：A.
5．C
【分析】
根據(jù)給定條件，利用等差、等比數(shù)列的定義，結(jié)合正余弦定理及充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】在中，由A，B，C成等差數(shù)列，得，而，則，
由成等比數(shù)列，得，由正弦定理得，
由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形；
若是正三角形，則，，
因此A，B，C成等差數(shù)列且成等比數(shù)列，
所以“A，B，C成等差數(shù)列且成等比數(shù)列”是“是正三角形”的充要條件.
故選：C
6．D
【分析】依題意知，圓的圓心坐標(biāo)為，且點(diǎn)為該矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到的距離相等，可求得直線的方程為：，從而可求得 點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得圓的半徑，于是可得答案.
【詳解】解：由題可得：拋物線的焦點(diǎn)為 ，
所以圓的圓心坐標(biāo)為，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，且為 直徑，為直徑，為圓的圓心,
所以點(diǎn)為該矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，
所以點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到的距離相等，
故點(diǎn)到直線的距離 ，
所以直線的方程為： ，
所以 ，
故圓的半徑 ，
所以圓的方程為.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定，分析得到點(diǎn)F為該矩形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是關(guān)鍵，考查作圖、分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題.
7．B
【分析】由題意可知，轉(zhuǎn)化為.結(jié)合圖像構(gòu)造函數(shù)，，求出函數(shù)的值域即為本題答案.
【詳解】由題意可知，即，所以.
由圖像可得，設(shè)，.
則，.令,則
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
所以在時(shí)取得最小值，
可得.
故選：B
8．A
【分析】記球心為，取中點(diǎn)為、中點(diǎn)為，連接，易得，，由，即可求出，由此即可求出答案.
【詳解】如圖所示：記球心為，取中點(diǎn)為、中點(diǎn)為，連接，
記外接球半徑為，
在中，，,，
在中，，,
在中，，
所以AC與BD所成角為，即，
在中,，，
所以，
解得：，
所以該外接球的表面積為：
故選：A.

9．BC
【分析】
首先化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，判斷選項(xiàng).
【詳解】，
，
函數(shù)的最小正周期，故A錯(cuò)誤；
，所以函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B正確；
，所以函數(shù)的最大值為，故C正確；
由，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
10．AB
【分析】
由，令，即可判斷A；由已知得，即得函數(shù)，確定，從而可得，求導(dǎo)數(shù)，即可判斷B；令，判斷其單調(diào)性，即可判斷C；根據(jù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷D.
【詳解】由，，令，則，A正確；
當(dāng)時(shí)，由得，故，
即，則（c為常數(shù)），則，
滿足該式，故，則，
將代入中，得，
即，而，故，
則，，，
故，B正確；
令，，故在上單調(diào)遞增，
故，即，C錯(cuò)誤；
由于，令，即得，
令，即得，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，D錯(cuò)誤，
故選：AB
11．ACD
【分析】先求出點(diǎn)在移動(dòng)次后，點(diǎn)的概率，再結(jié)合由向量法求出線面垂直、線面平行和三棱錐的體積，對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】設(shè)移動(dòng)次后，點(diǎn)在點(diǎn)的概率分別為，
其中，
，解得：，
對(duì)于A，移動(dòng)兩次后，“”表示點(diǎn)移動(dòng)兩次后到達(dá)點(diǎn)，
所以概率為，故A正確；

對(duì)于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
所以，，
因?yàn)?，?br>設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
而，平面，
所以當(dāng)點(diǎn)位于或時(shí)，平面，
當(dāng)移動(dòng)一次后到達(dá)點(diǎn)或時(shí)，所以概率為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，所以當(dāng)點(diǎn)位于時(shí)，PC⊥平面，
所以移動(dòng)n次后點(diǎn)位于，則，故C正確；
對(duì)于D，四面體體積V的數(shù)學(xué)期望
，因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)到平面的距離為，
同理點(diǎn)到平面的距離分別為，
所以，
所以，
當(dāng)為偶數(shù)，所以，
當(dāng)為奇數(shù)，所以，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是先求出點(diǎn)在移動(dòng)次后，點(diǎn)的概率，再結(jié)合由向量法求出線面垂直、線面平行和三棱錐的體積，對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
12．
【分析】
將圓柱的母線長和底面圓半徑分別設(shè)為，根據(jù)已知和基本不等式求出側(cè)面展開圖面積的最小值.
【詳解】設(shè)圓柱的母線長和底面圓半徑分別設(shè)為，根據(jù)已知得，
由題意可得圓柱側(cè)面展開圖的周長可以表示為，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：
13．8
【分析】由表示數(shù)學(xué)課，表示語文課，表示英語課，按上午的第1、2、3、4、5節(jié)課順序，列出所有可能情況可得答案.
【詳解】由表示數(shù)學(xué)課，表示語文課，表示英語課，
按上午的第1、2、3、4、5節(jié)課排列，可得
若班排課為，則班排課為，
若班排課為，則班排課為，
若班排課為，則班排課為，或班排課為，
若班排課為，則班排課為，或班排課為，
若班排課為，則班排課為，
若班排課為，則班排課為，
則共有8種不同的排課方式.
故答案為：8.
14．5
【分析】
由題意確定P點(diǎn)的軌跡，分類討論，結(jié)合向量的運(yùn)算說明正六邊形中以及時(shí)不符合題意，說明時(shí)滿足題意，即可得答案.
【詳解】由題意知點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)在以為直徑的圓上，
當(dāng)時(shí)，設(shè)為的中點(diǎn)，如圖，

，
當(dāng)共線且方向時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，
此時(shí)，則，
則，故時(shí)，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，設(shè)為的中點(diǎn)，如圖，

，當(dāng)共線且反向時(shí)，取最小值，
此時(shí)共線，，
，
則，
則當(dāng)共線且同向時(shí)，必有，
故時(shí)，存在點(diǎn)P滿足，且；
當(dāng)時(shí)，如圖，正七邊形的頂點(diǎn)到對(duì)邊的高h(yuǎn)必大于正六邊形對(duì)邊之間的高，依此類推，

故此時(shí)不存在點(diǎn)P滿足，且；
故n的最小值為5，
故答案為：5
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了平面向量的運(yùn)算以及向量的模的最值問題，綜合性較強(qiáng)，難度加大，難點(diǎn)在于要分類討論正n邊形的情況，結(jié)合向量的加減運(yùn)算，確定模的最值情況.
15．(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)的關(guān)系求通項(xiàng)公式即可；
（2）裂項(xiàng)相消法求和即可得解.
【詳解】（1）由①
所以當(dāng)時(shí)，②
②①得：，整理得：，
所以.
（2）由（1）知，
所以，
所以.
.
16．(1)證明見解析
(2).
【分析】
（1）連接交于，連接,根據(jù)條件證明//即得；
（2）先證明平面，依題建系，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，分別求得平面AMB與平面BDM的法向量，最后由空間向量的夾角公式求解即得.
【詳解】（1）
如圖，連接交于，連接,由是的中點(diǎn)可得，
易得與相似，所以，
又，所以//，
又平面平面，所以//平面；
（2）
因平面平面，且平面平面，由，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)可得
又平面，故得平面.如圖，取的中點(diǎn)為,分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.
則，，
，則，.
設(shè)平面的法向量為，由，
則，故可??；
設(shè)平面的法向量為，由，
則，故可取.
故平面與平面的夾角余弦值為，
所以平面與平面的夾角為.
17．(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）不可信.
【分析】
（1）由條件概率的公式進(jìn)行求解即可；
（2）（i）由求出，再結(jié)合切比雪夫不等式即可證明；（ii）設(shè)隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為，，由切比雪夫不等式判斷出，進(jìn)而可得出結(jié)論.
【詳解】（1）記事件為抽到一件合格品，事件為抽到兩個(gè)合格品，
（2）（i）由題：若，則
又
所以或
由切比雪夫不等式可知，
所以；
（ii）設(shè)隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為，
假設(shè)廠家關(guān)于產(chǎn)品合格率為的說法成立，則，
所以，
由切比雪夫不等式知，，
即在假設(shè)下100個(gè)元件中合格品為70個(gè)的概率不超過0.0225，此概率極小，由小概率原理可知，一般來說在一次試驗(yàn)中是不會(huì)發(fā)生的，據(jù)此我們有理由推斷工廠的合格率不可信.
18．(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)和焦距可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線AD，BC的斜率為k，聯(lián)立直線和橢圓方程，得到聯(lián)立直線和橢圓方程由于，所以，可得點(diǎn)，利用消元法可得點(diǎn)P的軌跡方程，即可得證.
【詳解】（1）由已知得：，所以，所以橢圓
（2）設(shè)直線的斜率為.
則直線，直線，得
聯(lián)立得，易知.
由，得，于是.
同理：
由于，所以，即，得①，
同理②，
由①②得，
故點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得解.
19．(1)不是區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù)的定義即可判斷；
（2）通過構(gòu)造，再結(jié)合即可得到結(jié)果；
（3）通過換元令令，則原不等式等價(jià)于，再通過構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題干中函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù)的定義證出，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)，
由于，
所以不成立，
故不是區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù).
（2）設(shè)，則，
設(shè)，
則，
所以，得.
（3）令，則原不等式等價(jià)于，
即證，
記，則，
所以，
即有對(duì)任意，均有，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，證畢!
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)方法證明不等式成立問題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意題干條件中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.