注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、座號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上
2.回答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5 分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
2. 某圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的底面半徑長(zhǎng)為（ ）
A. 2B. 4C. D.
3. 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A. 20B. 16C. 14D. 12
4. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
5. 小明設(shè)置六位數(shù)字手機(jī)密碼時(shí)，計(jì)劃將自然常數(shù)…的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進(jìn)行某種排列得到密碼.若排列時(shí)要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間有一個(gè)數(shù)字，則小明可以設(shè)置的不同密碼種數(shù)為（ ）
A. 24B. 16C. 12D. 10
6. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量 與 關(guān)于x軸對(duì)稱，向量 若滿足 的點(diǎn)A的軌跡為E，則（ ）
A. E是一條垂直于x軸的直線B. E是一個(gè)半徑為1的圓
C. E是兩條平行直線D. E 是橢圓
7. 若，，則（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P，Q是它們的兩個(gè)公共點(diǎn)，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為17
B. 一組數(shù)據(jù)8，9，10，11，12的第80百分位數(shù)是11.5
C. 用決定系數(shù)比較兩個(gè)模型的擬合效果時(shí)，若越大，則相應(yīng)模型的擬合效果越好
D. 以模型 去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和2
10. 已知非零復(fù)數(shù)，，其共軛復(fù)數(shù)分別為 則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A.
B.
C. 若，則 的最小值為2
D.
11. 把底面為橢圓且母線與底面都垂直的柱體稱為“橢圓柱”.如圖，橢圓柱(中橢圓長(zhǎng)軸，短軸，為下底面橢圓的左右焦點(diǎn)，為上底面橢圓的右焦點(diǎn)，， P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，E 為線段上的動(dòng)點(diǎn)，MN 為過點(diǎn)的下底面的一條動(dòng)弦(不與AB重合)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 當(dāng)平面時(shí)，為的中點(diǎn)
B. 三棱錐外接球的表面積為
C. 若點(diǎn)Q是下底面橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是點(diǎn)Q在上底面的射影，且，與下底面所成的角分別為，則的最大值為
D. 三棱錐體積的最大值為8
三、填空題：本題共3 小題，每小題5分，共 15分.
12. 已知等比數(shù)列共有項(xiàng)，，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則公比q=__________.
13. 已知定義在上函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，定義域也是 R，`滿足，則 _______.
14. 設(shè)方程，的根分別為p，q，函數(shù) ，令 則a，b，c的大小關(guān)系為___________.
四、解答題：本題共5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在△ABC中，的角平分線交 BC于P點(diǎn)，.
（1）若，求△ABC的面積;
（2）若，求BP的長(zhǎng).
16. 如圖，多面體ABCDEF是由一個(gè)正四棱錐與一個(gè)三棱錐拼接而成，正四棱錐A-BCDE的所有棱長(zhǎng)均為.
（1）在棱DE上找一點(diǎn)G，使得面面AFG，并給出證明;
（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)F到面ADE的距離;
（3）若，求直線DF與面ABC所成角的正弦值.
17. 已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
（2）證明函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).
18. 為了解居民體育鍛煉情況，某地區(qū)對(duì)轄區(qū)內(nèi)居民體育鍛煉進(jìn)行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計(jì)其中400名居民體育鍛煉的次數(shù)與年齡，得到如下的頻數(shù)分布表.
（1）若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；
（2）從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為，求ξ的分布列與期望；
（3）已知小明每周星期六、星期天都進(jìn)行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為 ，求小明星期天選擇跑步的概率.
參考公式：
附：
19. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn).點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn).若以PF 為直徑的圓與圓 相切，記點(diǎn) P 的軌跡為曲線C.
（1）求C的方程;
（2）設(shè)點(diǎn)，直線 AM ，AN 分別與曲線C交于點(diǎn)S，T (S，T 異于 A)，過點(diǎn)A作，垂足為 H，求最大值.α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10828
淄博市2023-2024學(xué)年度高三模擬考試數(shù) 學(xué)
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、座號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上
2.回答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5 分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)公式即可.
【詳解】，即，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
故選：A.
2. 某圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的底面半徑長(zhǎng)為（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，由題意得到求解.
【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，即側(cè)面展開圖的半徑為，側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)為.
又圓錐的底面周長(zhǎng)為，所以，即圓錐的母線長(zhǎng).
所以圓錐的側(cè)面積為，
解得
故選：C.
3. 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A. 20B. 16C. 14D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求得，然后依次求得，公差，最后求得．
【詳解】∵是等差數(shù)列，
∴，，所以，
∴公差，
∴，
∴，
故選：D．
4. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】對(duì)于A，函數(shù)最小正周期，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由，得函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，得函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，D正確.
故選：D
5. 小明設(shè)置六位數(shù)字的手機(jī)密碼時(shí)，計(jì)劃將自然常數(shù)…的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進(jìn)行某種排列得到密碼.若排列時(shí)要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間有一個(gè)數(shù)字，則小明可以設(shè)置的不同密碼種數(shù)為（ ）
A. 24B. 16C. 12D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】分兩個(gè)2之間是8和不是8兩大類討論即可.
【詳解】若兩個(gè)2之間是8，則有282817；282871；728281；128287；172828；712828；
828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12種
若兩個(gè)2之間是1或7，則有272818；818272；212878； 878212，共4種；
則總共有16種，
故選：B.
6. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量 與 關(guān)于x軸對(duì)稱，向量 若滿足 的點(diǎn)A的軌跡為E，則（ ）
A. E是一條垂直于x軸的直線B. E是一個(gè)半徑為1的圓
C. E是兩條平行直線D. E 是橢圓
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，由題有，，代入化簡(jiǎn)即可得出答案.
【詳解】設(shè)，由題有，，
所以，，
所以，即，
所以點(diǎn)的集合是以為圓心，1為半徑的圓.
其軌跡為半徑為1的圓，
故選：B．
7. 若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】合理換元，求出關(guān)鍵數(shù)值，結(jié)合誘導(dǎo)公式處理即可.
【詳解】令，，得，則，
即，整理得，且，
那么，則.
故選：C.
8. 已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P，Q是它們的兩個(gè)公共點(diǎn)，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)出橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，然后根據(jù)焦點(diǎn)三角形頂角的余弦定理求解出的關(guān)系式，最后通過“1”的妙用求解出最小值.
【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，
則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：，
，設(shè)，
根據(jù)橢圓與雙曲線的對(duì)稱性知四邊形為平行四邊形，則，
則在中，由余弦定理得，，
化簡(jiǎn)得，即，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用余弦定理得到，最后對(duì)原式變形再利用基本不等式即可求出其最小值.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為17
B. 一組數(shù)據(jù)8，9，10，11，12的第80百分位數(shù)是11.5
C. 用決定系數(shù)比較兩個(gè)模型的擬合效果時(shí)，若越大，則相應(yīng)模型的擬合效果越好
D. 以模型 去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和2
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算公式即可判斷B；根據(jù)決定系數(shù)的概念即可判斷C；根據(jù)非線性回歸方程的求法并結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可判斷D.
【詳解】對(duì)A：若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：，則其第80百分位數(shù)是，故B正確；
對(duì)C，根據(jù)決定系數(shù)的含義知越大，則相應(yīng)模型的擬合效果越好，故C正確；
對(duì)D，以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)，
則，由題線性回歸方程為，則，故的值分別是和2，故D正確.
故選：BCD.
10. 已知非零復(fù)數(shù)，，其共軛復(fù)數(shù)分別為 則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A.
B.
C. 若，則 的最小值為2
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】設(shè)，對(duì)A根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可判斷，對(duì)B根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的加減即可判斷；對(duì)C根據(jù)復(fù)數(shù)表示的幾何意義即可判斷；對(duì)D，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的計(jì)算即可判斷.
【詳解】設(shè)，
對(duì)A，，，
當(dāng)至少一個(gè)為0時(shí)，，當(dāng)均不等于0，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，，則，
而，故，故B正確；
對(duì)C，若，即，即，
即，則在復(fù)平面上表示的是以為圓心，半徑的圓，
的幾何意義表示為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，顯然，
則點(diǎn)在圓外，則圓心到定點(diǎn)的距離，
則點(diǎn)與圓上點(diǎn)距離的最小值為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，，，
，
而，故，故D正確；
故選：BD.
11. 把底面為橢圓且母線與底面都垂直的柱體稱為“橢圓柱”.如圖，橢圓柱(中橢圓長(zhǎng)軸，短軸，為下底面橢圓的左右焦點(diǎn)，為上底面橢圓的右焦點(diǎn)，， P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，E 為線段上的動(dòng)點(diǎn)，MN 為過點(diǎn)的下底面的一條動(dòng)弦(不與AB重合)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 當(dāng)平面時(shí)，為的中點(diǎn)
B. 三棱錐外接球的表面積為
C. 若點(diǎn)Q是下底面橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是點(diǎn)Q在上底面的射影，且，與下底面所成的角分別為，則的最大值為
D. 三棱錐體積的最大值為8
【答案】ACD
【解析】
【分析】當(dāng)平面時(shí)，可得，確定點(diǎn)位置判斷選項(xiàng)A；幾何法求三棱錐外接球的半徑，計(jì)算表面積判斷選項(xiàng)B；令，得，由求最大值判斷選項(xiàng)C；由，要使三棱錐體積最大，只需的面積和到平面距離之和都最大，求結(jié)果判斷選項(xiàng)D.
【詳解】由題設(shè)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，
則，
得分別是中點(diǎn)，而柱體中為矩形，連接，
由，，∴四邊形為平行四邊形，，
當(dāng)平面時(shí)，平面，平面平面，
則，有，
中，是中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；
，，，則中，，，
外接圓半徑為，
，則平面，
三棱錐外接球的半徑為，
所以外接球的表面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
點(diǎn)Q是下底面橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是點(diǎn)Q在上底面的射影，且，與下底面所成的角分別為，
令，則，又，
則，，，
，由橢圓性質(zhì)知，
則當(dāng)或時(shí)，的最大值為，C選項(xiàng)正確；
由，要使三棱錐體積最大，
只需的面積和到平面距離之和都最大，
，令，且，則，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，
在下底面內(nèi)以為原點(diǎn)，構(gòu)建如上圖的直角坐標(biāo)系，且，則橢圓方程為，
設(shè)，聯(lián)立橢圓得，，
，，
令，，
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上遞增，，
綜上，三棱錐體積的最大值為，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
本題是解析幾何與立體幾何的綜合問題，解析幾何部分要用好橢圓的定義、方程和性質(zhì)，確定圖形中各點(diǎn)的位置，利用韋達(dá)定理解決弦長(zhǎng)；橢圓中立體幾何部分要用好幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用線面平行的性質(zhì)得線線平行，幾何法解決外接球問題，幾何法求線面角.
三、填空題：本題共3 小題，每小題5分，共 15分.
12. 已知等比數(shù)列共有項(xiàng)，，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則公比q=__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，借助等比數(shù)列定義求解即得.
【詳解】依題意，，即，
而，所以.
故答案為：2
13. 已知定義在上的函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，定義域也是 R，`滿足，則 _______.
【答案】
【解析】
【分析】求導(dǎo)得到，賦值累加即可.
【詳解】對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)得
，
即，
則，，
則.
故答案為：.
14. 設(shè)方程，的根分別為p，q，函數(shù) ，令 則a，b，c的大小關(guān)系為___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用反函數(shù)性質(zhì)求出，再計(jì)算判斷即得.
【詳解】由，得，由，得，
依題意，直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，
而函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又直線垂直于直線，
因此直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，即點(diǎn)在直線上，
則，，于是，
，而，
所以，即.
故答案為：
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：同底指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
四、解答題：本題共5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在△ABC中，的角平分線交 BC于P點(diǎn)，.
（1）若，求△ABC的面積;
（2）若，求BP的長(zhǎng).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理和三角形面積公式即可求出答案；
（2）首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，再根據(jù)三角恒變換求出，最后再根據(jù)正弦定理即可.
【小問1詳解】
中，設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為、、，
在中由余弦定理得，
即①
因，即，
整理得②
①②解得，
所以.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以在中由余弦定理可得，
所以
解得，
由正弦定理得，
即，解得，
所以，
中由正弦定理得，則，
解得，
所以.
16. 如圖，多面體ABCDEF是由一個(gè)正四棱錐與一個(gè)三棱錐拼接而成，正四棱錐A-BCDE的所有棱長(zhǎng)均為.
（1）在棱DE上找一點(diǎn)G，使得面面AFG，并給出證明;
（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)F到面ADE的距離;
（3）若，求直線DF與面ABC所成角的正弦值.
【答案】（1）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，面面，利用面面垂直的判定即可證明；
（2）首先證明面，再利用等體積法即可；
（3）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的空間向量求法即可.
【小問1詳解】
當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，面面，
證明如下：因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，所以.
在正方形中，，所以，
在正方形中，，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槊妫?br>所以面，
因?yàn)槊?，所以面?
【小問2詳解】
連接，交于點(diǎn)，連接，，則，
又因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，所以面，
所以四邊形為矩形，
，又，面，面，
又，
設(shè)點(diǎn)到面的距離為，即，
，所以，點(diǎn)到面的距離為.
【小問3詳解】
因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，所以，，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則有
取，則，故，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
17. 已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
（2）證明函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).
【答案】（1）單調(diào)遞增；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再判斷導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)即得.
（2）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理推理論證即可.
【小問1詳解】
函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
所以在上的單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，，因此函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，在上單調(diào)遞增，
，則存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，即單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，即單調(diào)遞增，
又，，則存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
而，，因此函數(shù)上有唯一零點(diǎn)，
所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).
18. 為了解居民體育鍛煉情況，某地區(qū)對(duì)轄區(qū)內(nèi)居民體育鍛煉進(jìn)行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計(jì)其中400名居民體育鍛煉的次數(shù)與年齡，得到如下的頻數(shù)分布表.
（1）若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；
（2）從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為，求ξ的分布列與期望；
（3）已知小明每周的星期六、星期天都進(jìn)行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為 ，求小明星期天選擇跑步的概率.
參考公式：
附：
【答案】（1）有關(guān) （2）分布列見解析；期望為
（3）
【解析】
【分析】（1）求出卡方值并與臨界值比較即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)步驟列出分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式即可得到答案；
（3）利用全概率公式即可得到答案.
【小問1詳解】
零假設(shè)：體育鍛煉頻率高低與年齡無關(guān)，
由題得列聯(lián)表如下：
，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷不成立，
即認(rèn)為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.
【小問2詳解】
由數(shù)表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在內(nèi)的人數(shù)分別為1，2，
依題意，的所有可能取值分別為為0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列：：
所以的數(shù)學(xué)期望為.
【小問3詳解】
記小明在某一周星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，分別為事件A，B，C，
星期天選擇跑步為事件，則，
，
所以
所以小明星期天選擇跑步的概率為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第3問的解決關(guān)鍵是熟練掌握全概率公式，從而得解.
19. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn).點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn).若以PF 為直徑的圓與圓 相切，記點(diǎn) P 的軌跡為曲線C.
（1）求C的方程;
（2）設(shè)點(diǎn)，直線 AM ，AN 分別與曲線C交于點(diǎn)S，T (S，T 異于 A)，過點(diǎn)A作，垂足為 H，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)得到軌跡方程；
（2）設(shè)直線，將其與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，求出的縱坐標(biāo)，從而有，代入韋達(dá)定理式化簡(jiǎn)得，從而得到直線所過定點(diǎn)，得到點(diǎn)軌跡方程，從而得到最大值.
【小問1詳解】
設(shè)，則的中點(diǎn)，
根據(jù)題意得，
即，
整理得，
化簡(jiǎn)整理，得點(diǎn)的軌跡方程.
【小問2詳解】
設(shè)，
由對(duì)稱性可知直線的斜率存在，所以可設(shè)直線，
聯(lián)立直線與曲線的方程，得，
消元整理，得，
則，①
②
所以，令，得點(diǎn)縱坐標(biāo)，
同理可得點(diǎn)縱坐標(biāo)，故，
將代入上式整理，得，
將②代入得，
若，則直線，恒過不合題意；
若，則，恒過，
因?yàn)橹本€恒過，且與始終有兩個(gè)交點(diǎn)，又，
，垂足為，所以點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓（不含點(diǎn)），
設(shè)中點(diǎn)為，則圓心，半徑為1，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取最大值.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，再代入化簡(jiǎn)求出直線恒過，則得到點(diǎn)軌跡，最后求出最值,
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6635
7.879
10.828
青年
中年
合計(jì)
體育鍛煉頻率低
125
95
220
體育鍛煉頻率高
75
105
180
合計(jì)
200
200
400
0
1
2

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