注意事項
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名?準(zhǔn)考證號?考場號?座位號在答題卡上填寫清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，在試題卷上作答無效，
3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時120分鐘.
一?單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.已知數(shù)列滿足且，則（ ）
A. B. C. D.1
2.設(shè)拋物線的焦點為，點為該拋物線上任意一點，若恒成立，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
3.在某學(xué)校的期中考試中，高一?高二?高三年級的參考人數(shù)分別為.現(xiàn)用分層抽樣的方法從三個年級中抽取樣本，經(jīng)計算得高一?高二?高三年級數(shù)學(xué)成績的樣本平均數(shù)分別為，則全校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的總樣本平均數(shù)為（ ）
A.92 B.91 C.90 D.89
4.已知是不同的兩條直線，是不重合的兩個平面，則下列命題中，真命題為（ ）
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
5.2023年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（決賽）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武漢市武鋼三中舉行，賽后來自某所學(xué)校的3名同學(xué)和2名老師站成一排合影，若兩名老師之間至少有一名同學(xué)，則不同的站法有（ ）種.
A.48 B.64 C.72 D.120
6.中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設(shè)為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為.若，則的值可以是（ ）
A.2018 B.2020 C.2022 D.2024
7.過點的直線與國相交于不同的兩點，則線段的動點的軌跡是（ ）
A.一個半徑為10的圓的一部分
B.一個焦距為10的橢圓的一部分
C.一條過原點的線段
D.一個半徑為5的圓的一部分
8.已知橢圓的左?右焦點分別為，過點的直線與橢圓交于兩點，若，則該橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
二?多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分）
9.已知是復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函數(shù)，其中，對于任意，有，則（ ）
A.
B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
C.函數(shù)在上單調(diào)遞增
D.函數(shù)在上共有6個極值點
11.已知定義域為的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，且，則（ ）
A.
B.為奇函數(shù)
C.
D.設(shè)，則
三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12.已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為__________.
13.已知一個圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，其頂點為，底面圓心為，點是線段上的一點，是底面內(nèi)接正三角形，且平面，則__________；三棱錐的外接球的表面積是__________.
14.以表示數(shù)集中最大（?。┑臄?shù).設(shè)，已知1，則__________.
四?解答題（其77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）
已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且是的極值點.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值.
16.（本小題滿分15分）
“村超”是貴州省榕江縣舉辦的“和美鄉(xiāng)村足球超級聯(lián)賽”的簡稱.在2023年火爆“出圈”后，“村超”熱度不減.2024年1月6日，萬眾矚目的2024年“村超”新賽季在“村味”十足的熱鬧中拉開帷幕，一場由鄉(xiāng)村足球發(fā)起的“樂子”正轉(zhuǎn)化為鄉(xiāng)村振興的“路子”.為了解不同年齡的游客對“村超”的滿意度，某組織進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取年齡超過35周歲和年齡不超過35周歲各200人作為樣本，每位參與調(diào)查的游客都對“村超”給出滿意或不滿意的評價.設(shè)事件“游客對“村超”滿意”，事件“游客年齡不超過35周歲”，據(jù)統(tǒng)計，，.
（1）根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表并說明理由；
（2）由（1）中列聯(lián)表數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為游客對“村超”的滿意度與年齡有關(guān)聯(lián)？
附：.
17.（本小題滿分15分）
如圖，在正四校錐中，，已知，，其中分別為的中點.
（1）證明：；
（2）求二面角的正弦值.
18.（本小題滿分17分）
已知雙曲線，過點的直線與雙曲線相交于兩點.
（1）點能否是線段的中點？請說明理由；
（2）若點都在雙曲線的右支上，直線與軸交于點，設(shè)，求的取值范圍.
19.（本小題滿分17分）
差分密碼分析（Differential Cryptanalysis）是一種密碼分析方法，旨在通過觀察密碼算法在不同輸入差分下產(chǎn)生的輸出差分，來推斷出密碼算法的密鑰信息.對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中；規(guī)定為的二階差分?jǐn)?shù)列，其中.如果的一階差分?jǐn)?shù)列滿足，則稱是“絕對差異數(shù)列”；如果的二階差分?jǐn)?shù)列滿足，則稱是“累差不變數(shù)列”.
（1）設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列是否為“絕對差異數(shù)列”或“累差不變數(shù)列”，請說明理由；
（2）設(shè)數(shù)列的通項公式，分別判斷是否為等差數(shù)列，請說明理由；
（3）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列為“累差不變數(shù)列”，其前項和為，且對，都有，對滿足的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實數(shù)的最大值.
2024屆貴州省六校聯(lián)盟高考實用性聯(lián)考卷（三）
數(shù)學(xué)參考答案
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
【解析】
1.由題為等比數(shù)列，，由，解得，所以，故選A.
2.設(shè)，，由，所以，得，故B正確，故選B.
3.總樣本平均數(shù)為，故選C.
4.由線面平行、線面垂直、面面平行的判定定理易得，故選B.
5.因為5人站成一排的站法有種，且兩名老師之間沒有學(xué)生的站法有種，所以兩名老師之間至少有一名同學(xué)的不同站法有種，故選C.
6.由題意，，所以被9除得的余數(shù)為8，而2024被9除得的余數(shù)是8，故選D.
7.始終有，所以在以為直徑的圓上，因為，所以半徑為5，故選D.
8.由，不妨設(shè)，則，，由橢圓定義得，則有，因此，即點為橢圓的上頂點或下頂點，如圖1，顯然，則，所以為等腰直角三角形，所以橢圓離心率為正確，故選A.
圖1
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分）
【解析】
9.設(shè)，，則，，對于A，，，，因此，故A正確；對于B，，，因此，例如當(dāng)，，，，因此，故B錯誤；對于C，，，，因此，故C正確；對于D，，，，因此，故D正確，故選ACD.
10.由，即的圖象關(guān)于直線對稱，從而，即，，所以，又，所以，故A正確；因為，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，故B錯誤；當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C錯誤；令，，得，，令，得，故，易知函數(shù)在，，，上單調(diào)遞增，在，，上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上共有6個極值點，故D正確，故選AD.
11.由題意定義域為的函數(shù)滿足，令，則，，所以A正確；令，則，即，∴，故為奇函數(shù)，B正確；由于，故，即，則為偶函數(shù)，由可得，由，令得，故，令，則，，C錯誤；由于，所以，由累加法得，所以，D正確，故選ABD.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
【解析】
12.由題可得，，由，得，∴且，即.
13.由圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形知底面圓直徑為2，在中，由正弦定理得：，∴.由點在線段上且平面，∴且，∴，∴，設(shè)三棱錐的外接球半徑，∴，∴三棱錐的外接球的表面積為.
14.由，得，設(shè)，則，，，由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）
解：（1）由題：因為，，……………………………………（1分）
所以經(jīng)驗證，符合題意.…………………………（3分）
又，………………………………………………（5分）
所以.…………………………………………………………（6分）
（2）因為，令，解得.……………………………………（7分）
當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：
…………………………………………………………………………………………（10分）
所以當(dāng)時，有最小值，且，…………………………………………（12分）
無最大值.………………………………………………………………………………（13分）
16.（本小題滿分15分）
解：（1）由題意，因為，，
所以對“村超”滿意且年齡不超過35周歲的游客人數(shù)為人，
對“村超”滿意的游客人數(shù)為人.…………………………………………（4分）
所以填寫列聯(lián)表為：
……………………………………………………………………………………（7分）
（2）零假設(shè)為：游客對“村超”的滿意度與年齡無關(guān)聯(lián).……………………（9分）
則由.…………………（13分）
依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為成立，即游客對“村超”的滿意度與年齡無關(guān)聯(lián).
17.（本小題滿分15分）
（1）證明：在正四棱錐中，四邊形是正方形，連接，，如圖2，
圖2
∵為中點，∴，，…………………………………………（1分）
∵，，，
則，，………………………………………………………………（3分）
故四邊形為平行四邊形，所以，……………………………………（4分）
同理，，……………………………………………………………………（5分）
∴.………………………………………………………………………（6分）
（2）解：由題意可知，平面，，，故以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3.
圖3
……………………………………………………………………………………（7分）
∵，，，，
∴，
又∵，
∴，，
，，
，，.…………………………………………（9分）
設(shè)向量，則；……（11分）
設(shè)向量，則；…………（13分）
設(shè)二面角為，，.………………（15分）
18.（本小題滿分17分）
解：（1）易知直線的斜率存在，可設(shè)，，，
聯(lián)立方程，…………（3分）
假設(shè)是線段中點，則解得，……………………（5分）
則當(dāng)時，上述方程化為，此時方程無解，
這與直線與雙曲線相交于，兩點矛盾，
故不存在點是線段的中點.……………………………………………………（7分）
（2）由題意知，
由（1）式知方程有兩個不同的正根，，
則…………………………（9分）
即.…………………………………………………………（11分）
由，.
令，則，（其中，……………………（12分）
將點坐標(biāo)代入雙曲線中，整理得，
同理可得，
故，為關(guān)于的二次方程的兩實根，
由韋達(dá)定理得，，…………………………………………（14分）
所以，…………………………………………（15分）
令，易知在上單調(diào)遞減，且，………………（16分）
∴，
即的取值范圍為.………………………………………………（17分）
19.（本小題滿分17分）
解：（1）對于數(shù)列：1，3，7，9，13，15；
可得：一階差分?jǐn)?shù)列為2，4，2，4，2，不滿足，所以不是“絕對差異數(shù)列”；…………（2分）
二階差分?jǐn)?shù)列為，，2，，滿足，所以是“累差不變數(shù)列”.……………………（4分）
（2）∵，∴，∴，
∵，∴是首項為7，公差為4的等差數(shù)列，………………………………………（6分）
∵，
∴是首項為4，公差為0的等差數(shù)列.…………………………………………………（8分）
（3）由題意得，對，都有，
所以，………………………………………………………………………………（9分）
∴，
∴，∴是等差數(shù)列，…………………………………………（10分）
設(shè)的公差為，則，
當(dāng)時，，與矛盾.……………………………………………………（11分）
當(dāng)，時，，與數(shù)列的各項均為正數(shù)矛盾，故，…………（12分）
由等差數(shù)列前項和公式可得，
∴，
，
∵，，
∴，
則當(dāng)時，不等式恒成立，…………………………………………（14分）
另一方面，當(dāng)時，令，，
則，
，
則
，
∵，，
∴當(dāng)時，，即有，與恒成立矛盾.……（16分）
綜上所述，的最大值為2.……………………………………………………………………（17分）年齡
滿意度
合計
滿意
不滿意
年齡不超過35周歲
年齡超過35周歲
合計
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
B
C
D
D
A
題號
9
10
11
答案
ACD
AD
ABD
題號
12
13
14
答案
；（第一空2分，第二空3分）
0
-
0
+
單調(diào)遞減
0
單調(diào)遞增
年齡
滿意度
合計
滿意
不滿意
年齡不超過35周歲
160
40
200
年齡超過35周歲
140
60
200
合計
300
100
400

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