第Ⅰ卷（選擇題）
一．選擇題（共12小題，每小題5分，總分，60分）
1. 已知集合 ， ，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式，化簡集合，求出，再和求交集，即可得出結(jié)果.
【詳解】由得或，則或，因此；
又，則.
故選：C.
【點睛】本題主要考查集合的交集和補集運算，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.
2. 設(shè)p，q是兩個命題，則“p，q均為假命題”是“為假命題”的（ ）條件．
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)且命題的真假性的判斷，即可求解.
【詳解】若為假命題，則p，q至少有一個為假命題，
故“p，q均為假命題”是“為假命題”的充分不必要條件，
故選：A．
3. 函數(shù)的定義域是（ ）
A. (2，3)B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用對數(shù)的真數(shù)大于0，分母不為0，即可求解.
【詳解】由題意得:,解得：，
故選：D
【點睛】本題考查求函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.
4. 已知函數(shù)，則函數(shù)的減區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得的定義域，然后根據(jù)復合函數(shù)同增異減確定的減區(qū)間.
【詳解】由解得或，
所以定義域為.
函數(shù)的開口向上，對稱軸為，
函數(shù)在上遞減，
根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知函數(shù)的減區(qū)間是.
故選：C
5. 已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)減函數(shù)：若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可解不等式．
【詳解】由已知，解得，
故選：D
6. 冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則m的值為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 2或4
【答案】C
【解析】
【分析】利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)求解即可
【詳解】且
解得
故選：C
7. 已知，則的解析式為（ ）
A. ，且B. ，且C. ，且D. ，且
【答案】C
【解析】
【分析】利用換元法求得的解析式.
【詳解】依題意，所以且，即且，
令，則且，
所以（且），
所以的解析式為（且）.
故選：C
【點睛】本小題主要考查函數(shù)解析式的求法，屬于基礎(chǔ)題.
8. 函數(shù)的圖象的大致形狀是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分類討論與，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】因，
當時，，由于，所以在上單調(diào)遞增，排除BD；
當時，，由于，所以在上單調(diào)遞減，排除A；
而C選項滿足上述性質(zhì)，故C正確.
故選：C.
9. 已知函數(shù)，其定義域是，，則下列說法正確的是
A. 有最大值，無最小值B. 有最大值，最小值
C. 有最大值，無最小值D. 有最大值2，最小值
【答案】A
【解析】
【分析】將化為，判斷在，的單調(diào)性，即可得到最值．
【詳解】解：函數(shù)
即有在，遞減，
則處取得最大值，且為，
由取不到，即最小值取不到．
故選：．
【點睛】本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用單調(diào)性，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
10. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù) a的取值范圍是
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函數(shù)單調(diào)性的定義，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，可以得到函數(shù)在每一個子區(qū)間上都是單調(diào)遞減的，且當時，，求解即可．
【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得.
故選C.
【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性．嚴格根據(jù)定義解答，本題保證隨的增大而減小，故解答本題的關(guān)鍵是的最小值大于等于的最大值．
11. 已知函數(shù)，若，，，則的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用導數(shù)得出的單調(diào)性，利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出，結(jié)合單調(diào)性，即可得出的大小關(guān)系.
【詳解】由得，函數(shù)在上單調(diào)遞減
，，，且
即
故選A
【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，屬于中等題.
12. 已知函數(shù)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】試題分析：設(shè)，則，
，所以，所以答案為D.
考點：1.對數(shù)函數(shù)運算律；2.換元法.
第Ⅱ卷（非選擇題）
二．填空題（共4小題，每小題5分，總分20分）
13. 已知是奇函數(shù)，當時，，則時，______.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可推出當時，，，因為為奇函數(shù)，可得當時，的解析式.
【詳解】當時，，又因為當 x＞0 時，f（x）＝x（2﹣x），
所以，因為為奇函數(shù)，所以，
所以當時，，
故答案為：.
14. 設(shè)m為實數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間 (?∞,2)上是單調(diào)減函數(shù)，則m的取值范圍是_______________．
【答案】m≤?4
【解析】
【分析】
求出二次函數(shù)的對稱軸，根據(jù)題意得到不等式，解不等式即可求出m的取值范圍.
【詳解】為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為直線,要使得函數(shù)在(?∞,2)上遞減，則，解得.
故答案為：
【點睛】本題考查了已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.
15. 已知是定義在的函數(shù)，滿足，當時，，則________.
【答案】
【解析】
【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)得出，結(jié)合周期性，即可得出的值.
【詳解】，且
，，則，則函數(shù)的周期為2
故答案為：
【點睛】本題主要考查了由抽象函數(shù)的周期求函數(shù)值，涉及了對數(shù)的運算，屬于中檔題.
16. 已知函數(shù)與，若對任意的，都存在，使得，則實數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，轉(zhuǎn)化條件為、，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.
【詳解】因為，所以即，
函數(shù)的圖象開口朝上，對稱軸為，
①當，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
即，
所以，解得；
②當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
即，
所以，解得；
③當時，，，
所以，解得；
④當時，，，
所以，解得；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】解決本題的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為、，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)討論即可得解.
三．解答題（共6小題，第17題10分，其余每題12分，總分70分）
17. 已知集合或，，
（1）求，；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) (2)
【解析】
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)集合的交集的概念得到，，進而得到結(jié)果；（2）∵ ∴，分情況列出表達式即可.
解析：
（1）

（2）∵ ∴
Ⅰ）當時，∴即
Ⅱ）當時，∴ ∴
綜上所述：的取值范圍是
18. 設(shè)p：實數(shù)x滿足，q：實數(shù)x滿足．
（1）若，且p和q均為真命題，求實數(shù)x取值范圍；
（2）若且是的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式求解p，q為真命題時的范圍，即可求解，
（2）根據(jù)充分不必要條件，即可列不等式求解.
【小問1詳解】
當時，由，得，
解得，即p為真命題時，實數(shù)x的取值范圍是
由，解得，
即q為真命題時，實數(shù)x的取值范圍是．
所以若p，q均為真命題，則實數(shù)x的取值范圍為．
【小問2詳解】
由，得，
因為，所以，故p：．
若是的充分不必要條件，則q是p的充分不必要條件，
所以，解可得．故實數(shù)a的取值范圍是
19. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，.
（1）求函數(shù)的解析式，并畫出函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和值域；
（3）討論方程解的個數(shù).
【答案】（1），圖象答案見解析；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為?，函數(shù)的值域為；（3）答案見解析.
【解析】
【分析】（1）由偶函數(shù)的定義即可求得時的函數(shù)f(x)的解析式，進而得到解；
（2）畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（3）函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得解.
【詳解】解：（1）因為時，，設(shè)，則，
，
又函數(shù)為偶函數(shù)，，
故函數(shù)的解析式為.
函數(shù)圖像如圖：
（2）由函數(shù)的圖象可知，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為?，
函數(shù)的值域為.
（3）方程的實數(shù)根的個數(shù)就是函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)，
由函數(shù)的圖象可知，
當時，方程的解的個數(shù)為0；
當，或時，方程的解的個數(shù)為2；
當時，方程的解的個數(shù)為3；
當時，方程的解的個數(shù)為4.
【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解析式的問題，考查了利用數(shù)形結(jié)合求單調(diào)區(qū)間以及值域問題.屬于中檔題.注意方程的根的個數(shù)常常轉(zhuǎn)化為一個確定的函數(shù)的圖象和一條變動的直線的交點個數(shù)問題.
20. 已知函數(shù)
（1）若，求的值域；
（2）當時，求的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）把代入中,得到是關(guān)于的二次函數(shù),
根據(jù)定義域求值域即可.
（2）令,將表示為關(guān)于的二次函數(shù),分,,
三種情況討論,即可得出最小值.
【詳解】解：（1）當時,
則
因為,所以,.
（2）令,因為,故,
函數(shù)可化為,
當時,；
當時,；
當時,；
綜上,
【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì),考查了換元法、分類討論思想、邏輯推理能力與計算能力.
21. 已知函數(shù)f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）記函數(shù)g（x）= +3x，求函數(shù)g（x）的值域；
（3）若不等式 f（x）＞m有解，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）見解析；（2）函數(shù)g（x）的值域是（﹣6， ]；（3）實數(shù)m的取值范圍為{m|m＜lg4}.
【解析】
【詳解】試題分析：（1）利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）的定義域；推導出f（﹣x）=lg（2﹣x）+lg（2+x）=f（x），由此得到f（x）是偶函數(shù)． （2）由﹣2＜x＜2，得f（x）=lg（4﹣x2），從而函數(shù)g（x）=﹣x2+3x+4，由此能求出函數(shù)g（x）的值域．（3）由不等式f（x）＞m有解，得到m＜f（x）max，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．
試題解析：
（1）∵函數(shù)f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x），
∴，解得﹣2＜x＜2．
∴函數(shù)f（x）的定義域為（﹣2，2）．
∵f（﹣x）=lg（2﹣x）+lg（2+x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．
（2）∵﹣2＜x＜2，
∴f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）=lg（4﹣x2）．
∵g（x）=10f（x）+3x，
∴函數(shù)g（x）=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+，（﹣2＜x＜2），
∴g（x）max=g（）=，g（x）min→g（﹣2）=﹣6，
∴函數(shù)g（x）的值域是（﹣6，]．
（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，
令t=4﹣x2，由于﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4
∴f（x）的最大值為lg4．
∴實數(shù)m的取值范圍為{m|m＜lg4}．
22. 定義在正實數(shù)集上的函數(shù)滿足下列條件：
①存在常數(shù)，使得；②對任意實數(shù)，當時，恒有．
（1）求證：對于任意正實數(shù)、，；
（2）證明：在上是單調(diào)減函數(shù)；
（3）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件②，即可求由，求解，
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可求解，
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合基本不等式求解最值，即可求.
【小問1詳解】
證明：令，，
則，
所以，即證；
【小問2詳解】
證明：設(shè)，則必，滿足，
由（1）知，
故，即，
所以在上是單調(diào)減函數(shù)．
【小問3詳解】
令，則，
故，
即，由于
所以，又，故．

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