數(shù)學(xué)試題
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分．考試時(shí)間為120分鐘，考試結(jié)束后，將答題卡交回．
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生必須將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)．
2．選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．
3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效，
4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀．
第Ⅰ卷 選擇題（共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．集合，，則（ ）
A．B．C．D．R
2．以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為始邊的角，其終邊落在直線上，則有（ ）
A．B．C．D．
3．平面向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
4．已知口袋中有3個(gè)黑球和2個(gè)白球（除顏色外完全相同），現(xiàn)進(jìn)行不放回摸球，每次摸一個(gè)，則第一次摸到白球情況下，第三次又摸到白球的概率為（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則的極值點(diǎn)為（ ）
A．或B．C．或D．
6．某款卷筒衛(wèi)生紙繞在圓柱形空心紙筒上，紙筒直徑為20mm，衛(wèi)生紙厚度約為0.1mm，若未使用時(shí)直徑為80mm，則這個(gè)卷筒衛(wèi)生紙總長(zhǎng)度大約為（ ）（參考數(shù)據(jù)）
A．47mB．51mC．94mD．102m
7．已知P為棱長(zhǎng)為的正四面體各面所圍成的區(qū)域內(nèi)部（不在表面上）一動(dòng)點(diǎn)，記P到面，面，面，面的距離分別為，，，，若，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．
8．拋物線在其上一點(diǎn)處的切線方程為，點(diǎn)A，B為C上兩動(dòng)點(diǎn)，且，則的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．新高考模式下，化學(xué)、生物等學(xué)科實(shí)施賦分制，即通過某種數(shù)學(xué)模型將原始分換算為標(biāo)準(zhǔn)分．某校在一次高三模擬考試中實(shí)施賦分制的方式，其中應(yīng)用的換算模型為：，其中x為原始分，y為換算后的標(biāo)準(zhǔn)分．已知在本校2000名高三學(xué)生中某學(xué)科原始分最高得分為150分，最低得分為50分，經(jīng)換算后最高分為150分，最低分為80分．則以下說法正確的是（ ）
A．若學(xué)生甲本學(xué)科考試換算后的標(biāo)準(zhǔn)分為115分，則其原始得分為100分
B．若在原始分中學(xué)生乙的得分為中位數(shù)，則換算后學(xué)生乙的分?jǐn)?shù)仍為中位數(shù)
C．該校本學(xué)科高三全體學(xué)生得分的原始分與標(biāo)準(zhǔn)分的標(biāo)準(zhǔn)差相同
D．該校本學(xué)科高三全體學(xué)生得分的原始分的平均分低于標(biāo)準(zhǔn)分的平均分
10．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（ ）
A．，
B．不等式的解集為，
C．為的一個(gè)零點(diǎn)
D．若A，B，C為內(nèi)角，且，則或
11．對(duì)于數(shù)列（），定義為，，…，中最大值（）（），把數(shù)列稱為數(shù)列的“M值數(shù)列”．如數(shù)列2，2，3，7，6的“M值數(shù)列”為2，2，3，7，7，則（ ）
A．若數(shù)列是遞減數(shù)列，則為常數(shù)列
B．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則有
C．滿足為2，3，3，5，5的所有數(shù)列的個(gè)數(shù)為8
D．若，記為的前n項(xiàng)和，則
12．定義在R上的函數(shù)（且，），若存在實(shí)數(shù)m使得不等式恒成立，則下列敘述正確的是（ ）
A．若，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為
B．若，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為
C．若，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為
D．若，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為
第Ⅱ卷 非選擇題（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．
13．計(jì)算（i為虛數(shù)單位）的值為______．
14．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．
15．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，記．且，，當(dāng)，，則______．（用數(shù)字作答）
16．三棱錐中，，，，，點(diǎn)M，N分別在線段，上運(yùn)動(dòng)．若二面角的大小為，則的最小值為______．
四、解答題，本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（10分）
中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若為銳角三角形，求的取值范圍．
18．（12分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
19．（12分）
在等差數(shù)列中，，．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若記為中落在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求的前k項(xiàng)和．
20．（12分）
如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，且，．
（Ⅰ）若O為的中點(diǎn)，證明：；
（Ⅱ）若，，點(diǎn)M滿足，求平面與平面所成角的余弦值．
21．（12分）
某檔電視節(jié)目舉行了關(guān)于“中國(guó)夢(mèng)”的知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)則如下：選手每?jī)扇艘唤M，同一組的兩人以搶答的方式答題，搶到并回答正確得1分，答錯(cuò)則對(duì)方得1分，比賽進(jìn)行到一方比另一方凈勝2分結(jié)束，且多得2分的一方最終勝出．已知甲、乙兩名選手分在同一組，兩人都參與每一次搶題，且每次搶到題的概率都為．甲、乙兩人每道題答對(duì)的概率分別為，，并且每道題兩人答對(duì)與否相互獨(dú)立．假設(shè)準(zhǔn)備的競(jìng)賽題足夠的多．
（Ⅰ）求第二題答完比賽結(jié)束的概率；
（Ⅱ）求知識(shí)競(jìng)賽結(jié)束時(shí)，搶答題目總數(shù)X的期望．
22．（12分）
已知橢圓的左右熊點(diǎn)分別為，，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，離心率為e且，點(diǎn)D為E上一動(dòng)點(diǎn)，的面積的最大值為，過的直線，分別與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），與直線交于M，N兩點(diǎn)，且M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為11．過坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線的垂線，垂足為H．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）問：平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)Q，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2024年河南省五市高三第一次聯(lián)考
（數(shù)學(xué)）參考答案
一、選擇：
二、選擇：
三、填空：
13．14．6015．101216．
四、解答題：
17．（Ⅰ）由條件，根據(jù)正弦定理可得
即
所以，也即
從而證得
（Ⅱ）若為銳角三角形，根據(jù)（Ⅰ）
則，得
式子
由
因此即為所求
18．（Ⅰ）根據(jù)條件則
當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)恒成立，因此在遞減；
當(dāng)時(shí)，由，解得；，解得
因此：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間；
時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為；
注：區(qū)間端點(diǎn)處可以是閉的
（Ⅱ）若有兩個(gè)零點(diǎn)，有（Ⅰ）可知且
則必有
即，解得
又因，
即
可得，
也即得在恒成立
從而可得在，區(qū)間上各有一個(gè)零點(diǎn)
綜上所述，若有兩個(gè)零點(diǎn)實(shí)數(shù)a的范圍為
19．（Ⅰ）記等差數(shù)列的公差為d，則由條件得
從而
即為所求
（Ⅱ）對(duì)任意，由，即
整理得
故，
從而得
則的前k項(xiàng)和為
20．（Ⅰ）取中點(diǎn)為E，
由條件則為梯形的中位線，則
又，則
且，根據(jù)線面垂直的判定定理可得面
得．
又由，則，，為梯形的兩腰，則與相交
即可得面，
又面，進(jìn)而得
（Ⅱ）取的中點(diǎn)為Q，由，，
則，，
因此為等邊三角形，
由（Ⅰ）知面，
如圖，分別以，，分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系
由，，則，
，，，，
又由
得，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
由
取，得，，得
同理可得平面的一個(gè)法向量為
記平面與平面所成的角的大小為，
則
21．（Ⅰ）由條件，每次搶題答題，甲得1分的概率為
每次搶答題乙得1分的概率為
若第二題答完比賽結(jié)束，則前兩次答題甲得2分或者乙得2分，因此第二題答完比賽結(jié)束事件發(fā)生的概率
（Ⅱ）根據(jù)題意，競(jìng)賽結(jié)束時(shí)搶答題目的總數(shù)X的所有可能取值為
記
由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，，且
則X的分布列可表示為：
解得
22．（Ⅰ）根據(jù)條件則，，
當(dāng)點(diǎn)D位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，面積的最大，且，
也即，
解得，或，
又，因此，，，
（Ⅱ）存在定點(diǎn)使得為定值
由題意過點(diǎn)P的直線與橢圓E交于A點(diǎn)，與直線交于M點(diǎn)，與橢圓E交于B點(diǎn)，與直線交于N點(diǎn)，設(shè)，，，．
根據(jù)條件則，且①
由條件則直線的斜率不為0，因此設(shè)直線的方程為
由①則
②
聯(lián)立，整理得，該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，則，由韋達(dá)定理可得，
代入②中
整理得，又，化簡(jiǎn)得
因此，即直線過定點(diǎn)
記直線過定點(diǎn)為
過原點(diǎn)O作直線的垂線，垂直為H，則點(diǎn)H在以為直徑的圓上，則的中點(diǎn)到H的距離等于為定值，因此存在定點(diǎn)即為的中點(diǎn)使得為定值．題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
C
B
D
A
B
A
題號(hào)
9
10
11
12
答案
ABD
BCD
AB
BD
X
2
4
6
……
2n
……
P
……
……

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