注 意 事 項(xiàng)
考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求
1．本試卷共4頁(yè)，包含［選擇題（1~12））填空題（第13題～第16題，共80分）、解答題（第17～22題，共70分）。本次考試時(shí)間120分鐘，滿分150分、考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回。
2．答題前，請(qǐng)考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、座位號(hào)、考試證號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆寫在答題卡上相應(yīng)的位置，并將考試證號(hào)用2B鉛筆正確填涂在答題卡的相應(yīng)位置。
3．答題時(shí)請(qǐng)用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡指定區(qū)域作答。在試卷或草稿紙上作答一律無效。
4．如有作圖需要，可用2B鉛筆作圖，并請(qǐng)加黑加粗，描寫清楚
一、單選題：本大題共10小題，每題5分，共50分。在每小題提供的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1. 直線的傾斜角為
A. B. C. D.
2. 某中學(xué)有高中生3500人，初中生1500人．為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為
A．100 B．150 C．200 D．250
3．在△ABC中，若，則
A．B． C． D．或
4. 對(duì)一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度（單位：毫米）進(jìn)行抽樣檢測(cè)，樣本容量為200，下圖為檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間[25，30）的為一等品，在區(qū)間[20，25）和[30，35）的為二等品，其余均為三等品，則樣本中三等品的件數(shù)為
（第4題）
A． B．
C． D．
5. 已知直線與直線垂直，
則實(shí)數(shù)的值是
A． B．C．或 D．或
6. 給出下列四個(gè)說法，其中正確的是
A. 線段在平面內(nèi)，則直線不在平面內(nèi)； B. 三條平行直線共面；
C. 兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則一定有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)； D. 空間三點(diǎn)確定一個(gè)平面.
7. 已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)
A．B． C．或 D．或
8. 兩圓與的公切線條數(shù)為
A.1 B.2 C.3 D.4
9. 數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．己知的頂點(diǎn)，，且，則的歐拉線方程為
A． B．
C． D．
10.如圖，直三棱柱中，，則異面直線和所成角的余弦值為
A． B．
C． D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共2小題，每小題5分，共10分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分。
11. 已知角是的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立的有
A． B．
C．若,則 D． 若，則是等腰三角形
12. 正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)，則下列說法正確的是
A．∥平面 B．平面
C．異面直線與所成角為 D．平面截正方體所得截面為等腰梯形
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
13. 一組數(shù)據(jù)：的方差為 ▲ ．
14．已知兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓的方程為 ▲ ．
15. 如右圖，從高的電視塔塔頂測(cè)得地面上某兩點(diǎn)B，C的俯角分別為30°和45°，∠BAC＝45°，則兩點(diǎn)間的距離為 ▲ ．（俯角：在垂直面內(nèi)視線與水平線的夾角）
16．平面四邊形的對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部，已知，， ，，當(dāng)變化時(shí)，則的最大值為 ▲ ．
四、解答題：本大題共6小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答. 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，且為銳角.
求：（1）的值；
（2）△ABC的面積.
18．（本小題滿分12分）
如圖在長(zhǎng)方體中，分別為的中點(diǎn)，,.
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
19．（本小題滿分12分）
已知直線，圓.
（1）求證：直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí)，求此時(shí)直線的方程.
20．（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐中，點(diǎn)分別是側(cè)棱上的點(diǎn)，且底面.
（1）求證：；
（2）若底面，，，求證：.
21. （本小題滿分12分）
根據(jù)國(guó)際海洋安全規(guī)定：兩國(guó)軍艦正常狀況下（聯(lián)合軍演除外）,在公海上的安全距離為20 mile（即距離不得小于20 mile)，否則違反了國(guó)際海洋安全規(guī)定. 如圖，在某公海區(qū)域有兩條相交成的直航線，交點(diǎn)是O，現(xiàn)有兩國(guó)的軍艦甲，乙分別在上的處，起初，后來軍艦甲沿的方向，乙軍艦沿的方向，同時(shí)以的速度航行.
（1）起初兩軍艦的距離為多少？
（2）試判斷這兩艘軍艦是否會(huì)違反國(guó)際海洋安全規(guī)定？并說明理由.
22．（本小題滿分12分）
已知圓和點(diǎn).
（1）過點(diǎn)向圓引切線，求切線的方程；
（2）求以點(diǎn)為圓心，且被直線截得的弦長(zhǎng)為8的圓的方程；
（3）設(shè)P為（2）中圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓引切線，切點(diǎn)為，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
2019～2020學(xué)年度第二學(xué)期高一期中考試
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分。在每小題提供的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1. 2. 3. 4. 5. 6.C 7. 8. 9. 10.
二、多選題：多項(xiàng)選擇題：本題共2小題，每小題5分，共10分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分。
11. 12.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
13. 14. 15. 16.
四、解答題：本大題共6小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答. 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 解：（1）在△ABC中，由正弦定理有：
，解得； ……………………4分
（2）因?yàn)?，且為銳角，所以，
在△ABC中，由余弦定理有：
，解得；
所以△ABC的面積為. ……………………10分
18. 解：（1）連接,在中，由分別為的中點(diǎn)，
可得：，
在長(zhǎng)方體中， ，，
因此四邊形為平行四邊形，所以
所以,
平面，平面，
所以平面； ……………………6分
（2）在長(zhǎng)方體中，連
平面，所以在平面中的射影為，
所以為直線與平面所成角
由題意知：
在中，，
即直線與平面所成角的正弦值為. ……………………12分
19. 解：（1）直線可化為：
，可得
所以直線過定點(diǎn). ……………………6分
（2）由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)直線時(shí)，弦長(zhǎng)最短，
因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的斜率為，
此時(shí)直線的方程為. ……………………12分
20. 解：（1）因?yàn)?/平面，平面，平面平面，
由線面平行的性質(zhì)定理，可得//. ……………………5分
（2）在三角形ABC中，因?yàn)?，且?br>由正弦定理可得，解得.
得，即；
又平面，平面，故可得，
又平面，且，
可得平面，又因?yàn)槠矫妫?br>則；又因?yàn)?/，
得，即證 .……………………12分
21解：（1）連結(jié)，在中，
由余弦定理得
所以：起初兩軍艦的距離為. …………4分
（2）設(shè)小時(shí)后，甲、乙兩軍艦分別運(yùn)動(dòng)到，連結(jié)
當(dāng)時(shí)，
…………………6分
當(dāng)時(shí)，同理可求得 …………………7分
所以經(jīng)過小時(shí)后，甲、乙兩軍艦距離（） …8分
因?yàn)?br>因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，甲、乙兩軍艦距離最小為20. ……………10分
又，所以甲、乙這兩艘軍艦不會(huì)違法國(guó)際海洋安全規(guī)定. ……12分
22. 解：（1）若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線方程為，為圓的切線；
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，
即kx－y＋k－4＝0，
圓心到切線的距離為，解得，
直線方程為
綜上切線的方程為或， ……………………3分
（2）點(diǎn)到直線的距離為，
圓被直線截得的弦長(zhǎng)為8，，
圓的方程為， ……………………6分
（3）假設(shè)存在定點(diǎn)，使得為定值， 設(shè)，，
點(diǎn)在圓上，
，則
為圓的切線，
，，
，
即
整理得
若使對(duì)任意恒成立，則，
，代入得，
化簡(jiǎn)整理得，解得或，
或，
存在定點(diǎn)，此時(shí)為定值或定點(diǎn)，
此時(shí)為定值. ……………………12分
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