1．本試卷一共25道題，答卷時間120分鐘；
2．所有試題在答題卡上作答，在試卷作答無效；
3．所有試題在答題框內(nèi)作答，超出答題框否則無效；
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．的倒數(shù)是（ ）
A．B．2024C．D．
2．“墻角數(shù)枝梅，凌寒獨(dú)自開．遙知不是雪，為有暗香來．”出自宋代詩人王安石的《梅花》．梅花的花粉直徑約為，用科學(xué)記數(shù)法表示為，則的值為（ ）
A．B．C．4D．5
3．如圖，俯視圖是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，直線，直角三角形如圖放置，，若，則的度數(shù)為（ ）
A．28° B．38° C．26°D．30°
6．小明、小華、小亮、小雨4位同學(xué)在射箭訓(xùn)練中的平均成績相同，他們的方差分別是，，，，你認(rèn)為誰在訓(xùn)練中的發(fā)揮更穩(wěn)定（ ）
A．小明B．小華C．小亮D．小雨
7．如果不等式的解集為，則必須滿足（ ）
A．B．C．D．
8．如右下圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點(diǎn)，，都在橫線上，若線段，則線段的長是（ ）
A．2B．4C．1D．
9．如右圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則的度數(shù)為（ ）
A．40°B．70°C．110°D．140°
10．如圖，在中，，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且垂直于，直線從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時停止運(yùn)動，分別與、（）相交于點(diǎn)，，若運(yùn)動過程中的面積是，直線的運(yùn)動時間是則與之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題（本大題6小題，每小題4分，共24分）
11．分解因式：______．
12．計算：______．
13．若式子有意義，則的取值范圍是______．
14．如右上圖，禁令標(biāo)志是交通標(biāo)志中的一種，是對車輛加以禁止或限制的標(biāo)志，如禁止通行、禁止停車、禁止左轉(zhuǎn)彎、禁止鳴喇叭、限制速度、限制重量等．如圖，該禁令標(biāo)志的內(nèi)角和是______．
15．若單項式的與是同類項，則______．
16．如圖，的半徑為4，圓心的坐標(biāo)為，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，，且、與軸分別交于、兩點(diǎn)．若點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則當(dāng)取最大值時，點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
三、解答題（一）（本大題3小題，每小題6分，共18分）
17．計算：．
18．先化簡，再求值：，其中．
19．小紅的爸爸積極參加社區(qū)抗疫志愿服務(wù)工作．根據(jù)社區(qū)的安排，志愿者被隨機(jī)分到組（體溫檢測）、組（便民代購）、組（環(huán)境消殺）．
（1）小紅的爸爸被分到組的概率是______；
（2）某中學(xué)王老師也參加了該社區(qū)的志愿者隊伍，他和小紅爸爸被分到同一組的概率是多少？（請用畫樹狀圖或列表的方法寫出分析過程）
四、解答題（二）（本大題3小題，每小題7分，共21分）
20．已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）若方程有兩個實數(shù)根，求的范圍；
（2）若方程的兩個實數(shù)根為，，且，求的值．
21．如圖，在四邊形中，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，連接．
（1）求證：四邊形為矩形；
（2）若，，，求的長．
22．茂名博雅中學(xué)為構(gòu)建書香校園，擬購進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購置的圖書．已知每個甲種書柜的進(jìn)價比每個乙種書柜的進(jìn)價高10%，用3300元購進(jìn)的甲種書柜的數(shù)量比用4500元購進(jìn)的乙種書柜的數(shù)量少5臺．
（1）求甲、乙兩種書柜的進(jìn)價；
（2）若該校擬購進(jìn)這兩種規(guī)格的書柜共60個，其中乙種書柜的數(shù)量不大于甲種書柜數(shù)量的2倍．請您幫該校設(shè)計一種購買方案，使得花費(fèi)最少，并求出最少花費(fèi)多少錢．
五、解答題（三）（本大題3小題，每小題9分，共27分）
23．如圖，為的直徑，為延長線上一點(diǎn)，是的切線，為切點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若，，求的長．
24．如圖，二次函數(shù)（），與時的函數(shù)值相等，其圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)．
備用圖1 備用圖2
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）在第一象限的拋物線上求點(diǎn)，使得最大．
（3）點(diǎn)是拋物線上軸上方一點(diǎn)，若，求點(diǎn)坐標(biāo)．
25．在中，．將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角小于，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)．
圖1 圖2 圖3
（1）如圖1，求證；
（2）當(dāng)時，
①如圖2，若，，求線段的長；
②如圖3，連接，，延長交于點(diǎn)，判斷是否為線段的中點(diǎn)，并說明理由．
2024年春季學(xué)期初三級第一次摸底考試（數(shù)學(xué)）
參考答案
一、選擇題（共10小題）
1．C 2．B 3．C 4．D 5．A 6．A 7．D 8．A 9．D
10．B．
圖1
二、填空題（共6小題）
11． 12． 13． 14．1080° 15．6
16．
三、解答題（共8小題）
17．解：原式．
18．解：原式
，
當(dāng)時，原式．
19．解：（1）共有3種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，被分到“組”的有1種，因此被分到“組”的概率為；
（2）用列表法表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：
共有9種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中“他與小紅的爸爸”在同一組的有3種，
．
20．解：（1）關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，；
（2）關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根為、，
，，，，，
，符合題意．
21．（1）證明：，，四邊形是平行四邊形．
，平行四邊形是矩形；
（2）解：，，，，
四邊形是矩形，，，
，，
，，
，，，即，．
22．解：（1）設(shè)每個乙種書柜的進(jìn)價為元，則每個甲種書柜的進(jìn)價為元，
根據(jù)題意得，，解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的根，（元）．
故每個甲種書柜的進(jìn)價為330元，每個乙種書柜的進(jìn)價為300元；
（2）設(shè)購進(jìn)甲種書柜個，則購進(jìn)乙種書柜個，購進(jìn)兩種書柜的總成本為元．
根據(jù)題意得，，解得（），
．隨的增大而增大，當(dāng)時，（元）．
故購進(jìn)甲種書柜20個，購進(jìn)乙種書柜40個時花費(fèi)最少，費(fèi)用為18600元．
23．解：（1）連接，
，，
是的切線，為切點(diǎn)，，，
，，：
（2），，，，，，
，
，設(shè)，，，，
，，，，，
．
24．解：（1）與時的函數(shù)值相等，
，
解方程，得．
把代入二次函數(shù)（），
二次函數(shù)的解析式為：．
（2）如圖過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)．
把代入，得為：，
解，得，．點(diǎn)，，
又，直線：，
設(shè)點(diǎn)．
把代入，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
．
，
當(dāng)時，有最大值，最大值為4，所以點(diǎn)的坐標(biāo)，
（3）如圖．將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，則，取的中點(diǎn)，作直線交拋物線于，則，
，，直線的解析式為，
由，解得或，．
25．（1）證明：連接，如圖1，
圖1
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，，
，，；
（2）解：①連接，如圖2．
圖2
，，，．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，．
由（1）知，，．
，，，，
，；
②是線段的中點(diǎn)．理由如下：
連接，延長和交于點(diǎn)，如圖3，
圖3
在和中，
，，．
，，．
．
在和中，
，，，即是線段的中點(diǎn)．
小紅爸爸
王老師

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