一、選擇題
1．已知集合,則( )
A.B.C.D.
2．若復(fù)數(shù)z滿足 , 其中i為虛數(shù)單位, 則( )
A.0B.-1C.D.1
3．下圖是遂寧市2022年4月至2023年3月每月最低氣溫與最高氣溫的折線統(tǒng)計圖: 已知每月最低氣溫與最高氣溫的線性相關(guān)系數(shù),則下列結(jié)論正確的是( )
A.月溫差(月最高氣溫 - 月最低氣溫) 的最大值出現(xiàn)在8月
B.每月最低氣溫與最高氣溫有較強的線性相關(guān)性, 且二者為線性負相關(guān)
C.每月最高氣溫與最低氣溫的平均值在4-8月逐月增加
D.9-12月的月溫差相對于5-8月,波動性更小
4．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,則( )
A.-18或18B.-18C.18D.2
5．的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知,,則( )
A.B.C.2D.3
6．下列說法不正確的是( )
A.若, 則
B.命題,則,
C.回歸直線方程為,則樣本點的中心可以為
D.在中, 角A, B, C的對邊分別為a,b,c則“”是“”的充要條件
7．已知實數(shù)x,y滿足,則的最小值為( )
A.B.-2C.-1D.1
8．函數(shù)的圖像大致為( )
A.B.
C.D.
9．已知函數(shù),,且的最小值為,則的值為( )
A.B.C.1D.2
10．如圖,正方體的棱長為2,線段上有兩個動點E,F(E在F的左邊),且,下列說法不正確的是( )
A.異面直線與所成角為
B.當E,F運動時,平面平面
C.當E,F運動時,存在點E, F使得
D.當E,F運動時, 三棱雉體積不變
11．已知為雙曲線的左焦點,過點的直線與圓 交于A,B兩點(A在,B之間), 與雙曲線E在第一象限的交點為P,若,(O為坐標原點), 則雙曲線E的離心率為( )
A.B.C.D.
12．已知定義在R上的函數(shù) 滿足: 當時,恒有,若對任意 , 恒成立,則ab的最大值為( )
A.B.C.eD.
二、填空題
13．已知向量,且,則_____________.
14．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),當 時,,則______________.
15．如圖,在 中,,,D是BC的中點,以AD為折痕把 折疊,使點____________.
16．已知點為拋物線的焦點,點,若第一象限內(nèi)的點P在拋物線C上,則的最大值為_____________.
三、解答題
17．習近平總書記在黨史學習教育動員大會上強調(diào): “回望過往的奮斗路,眺望前方的奮進路, 必須把黨的歷史學習好、總結(jié)好,把黨的成功經(jīng)驗傳承好、發(fā)揚好.”為慶祝建黨100周年, 某市積極開展 “青春心向黨, 建功新時代”系列主題活動. 該市某中學為了解學生對黨史的認知情況, 舉行了一次黨史知識競賽, 全校高一和高二共選拔100名學生參加, 其中高一年級50人, 高二年級50人. 并規(guī)定將分數(shù)不低于135分的得分者稱為 “黨史學習之星”, 這100名學生的成績 (滿分為150分) 情況如下表所示.
(1)能否有的把握認為學生獲得 “黨史學習之星” 與年級有關(guān)?
(2)獲得“黨史學習之星”的這60名學生中, 按高一和高二年級采用分層抽樣, 隨機抽取了 6人,再從這
6人中隨機抽取2人代表學校參加區(qū)里的黨史知識競賽, 求這2人中至少有一人是高二年級的概率.
參考公式:,其中.
18．已知等差數(shù)列滿足:,.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)記,求數(shù)列的前n項和.
19．如圖所示,在直四棱柱中,,且,,,M是的中點.
(1)證明;
(2)求點B到平面的距離.
20．已知橢圓的左右焦點分別是,，點P為橢圓短軸的端點,且的面積為4 ,過左焦點的直線l與橢圓C交于 A, B兩點(A,B不在x軸上).
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若點Q在橢圓C上,且(O為坐標原點), 求的取值范圍.
21．已知函數(shù),.
(1)若,求過點的切線方程;
(2)若在其定義域上沒有零點, 求a的取值范圍.
22．在直角坐標系xOy中, 已知曲線(為參數(shù),),在極坐標系中,曲線是以為圓心且過極點O的圓.
(1)分別寫出曲線普通方程和曲線的極坐標方程;
(2)直線 與曲線,分別交于M、N兩點(異于極點O),求.
23．已知函數(shù)，.
(1)若,求不等式的解集;
(2)已知, 若對任意,都存在，使得,求實數(shù)t的取值范圍.
參考答案
1．答案：A
解析：,解得 或,
則或,
則,故,
故選：A.
2．答案：D
解析：由得,
所以,
故選：D.
3．答案：C
解析：對選項A:月溫差 (月最高氣溫 - 月最低氣溫) 的最大值出現(xiàn)在 10 月, 錯誤;對選項 B:每月最低氣溫與最高氣溫有較強的線性相關(guān)性, 且二者為線性正相關(guān), 錯誤;
對選項C:每月最高氣溫與最低氣溫的平均值在4-8月分別為20.5,23,26.5,29,30,逐月增加,正確;
對選項D: 9-12 月的月溫差為20,31,24,21 ;5-8月的月溫差為18,17,16,16,9-12月的月溫差的波動性更大, 錯誤;
故選：C.
4．答案：C
解析：因為,是 的兩個實數(shù)根,
所以,,,又,
所以,,
因此,
故選：C.
5．答案：D
解析：，，，
由余弦定理可得:,
整理可得:，解得:或(舍去),
故選：D.
6．答案：B
解析：對于選項A,因為,所以, 所以, 故A正確;
對于選項B,根據(jù)命題的否定的定義,,故B錯誤;
對于選項C,把代入, 得,所以樣本點的中心可以為,故 正確;
對于選項D,當時,根據(jù)三角形中大邊對大角, 得,由正弦定理得;
當時,根據(jù)正弦定理,
得,所以.所以“ ”是“ ”的充要條件, 故D正確.
故選：B.
7．答案：A
解析：畫出可行域與目標函數(shù),
聯(lián)立 ,解得,
當直線過點 時,z取得最小值,,
故最小值為.
故選：A.
8．答案：B
解析：, 則 的定義域為R,
又，
所以為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,故排除CD,
當時,,故排除A.
故選：B.
9．答案：B
解析：,
是函數(shù)的最大值, 由題意可知,的最小值是個周期,
所以, 得.
故選：B.
10．答案：C
解析：對于A,如下圖所示:將平移到,連接,
易知在 中, 即為異面直線與所成的平面角,
由正方體的棱長為2 ,
利用勾股定理可知,
即為正三角形,所以異面直線與所成角為, 即A正確;
對于B,連接,如下圖所示:
由為正方體即可得,平面,
而平面
所以,又E,F在線段 上,所以;
又 為正方形,所以,即,
又，，平面,所以平面,
又平面,所以平面平面,即B正確;
對于C,易知點F不在平面內(nèi),
假設(shè), 又平面,平面, 所以平面,
顯然這與平面矛盾, 所以假設(shè)不成立, 即C錯誤;
對于D,當E,F運動時, 由等體積法可知三棱錐體積與三棱錐的體積相等,即;
易知三棱錐的底面積,易知 平面,
所以點A到平面的距離為,
所以,
即當E, F運動時, 三棱錐體積不變, 即D正確.
故選：C.
11．答案：D
解析：作 , 垂足為M,
因為,
所以,又 ,
所以M點為中點,另外,
所以,
所以,,
由雙曲線的定義有,所以 ,
所以,在 中,,
又,所以,化簡得.
故選：D.
12．答案：B
解析：因為時,恒有 ,
所以 在R上單調(diào)遞增,所以若 ,
則, 即,構(gòu)造函數(shù),
若,則在上恒成立, 而恒成立,
則,此時 ;若,則,單調(diào)遞增,
此時不可能恒有;若,由得,單調(diào)遞增,
得,單調(diào)遞減,所以,
即, 所以, 令,
令,得,
時,，單調(diào)遞增,
時,，單調(diào)遞減,所以,
所以的最大值為 .
綜上所述,的最大值為.
故選：B.
13．答案：-7
解析：由題設(shè), 且,
所以, 則.
故答案為：-7.
14．答案：12
解析：是奇函數(shù),所以.
15．答案：
解析：如圖,由題意,當平面 平面,
，D是的中點,, 即,,兩兩垂直,
又,,,,.
如圖,作長方體,則三棱錐的外接球,
設(shè)長方體的外接球的半徑為R,
則,
.當三棱錐體積最大時,
其外接球的體積為.
故答案為：.
16．答案：
解析：點為拋物線C的交點, 拋物線C的標準方程為,
拋物線C的準線 過點,
過點P向拋物線C的準線l作垂線, 垂足為Q,由拋物線定義知,,
當P在第一象限時, ,
由題意,為直線PM的傾斜角, 且,
當最大時,取最小值,取最大值,
易知直線的斜率存在且為正,設(shè)直線的方程為,
當最大時, 直線與拋物線C相切,
,消去y,化簡得,,
令, 解得 ,
又,,
的最大值為.
故答案為：.
17．答案：(1)有 的把握認為學生得 “黨史學習之星”與年級有關(guān)
(2)
解析：(1)根據(jù)列聯(lián)表代入計算可得：
所以有的把握認為學生得 “黨史學習之星”與年級有關(guān).
(2)由題意可知, 所抽取的6名學生高一年級有4人, 記為,，，，
高二年級有2人,設(shè)為甲、乙.
從這6人中隨機抽取2人的所有基本事件有 ,，，,,
,，，，，，，，共15個，
其中至少有一人是高二年級基本事件有，，，，，，，，，共9個.
故至少有一人是高二年級的概率.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d.
,
,
解得
.
(2)
.
19．答案：(1)見解析
(2)
解析：(1)如圖、連接,
，，
，，
平面,，
又，平面,
平面，.
(2)連接，.
由已知可得,
，，
設(shè)點B到平面的距離為h,
由(1)知平面,
三棱錐的體積，
即,
解得, 即點B到平面的距離為.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)由已知 得 ,
又$，，
所以橢圓的標準方程為.
(2)由(1)知的坐標為 ,
①當直線l的斜率不存在時, ,則
②當直線l的斜率存在且不為0時, 設(shè)直線l的方程為 且,
聯(lián)立,得,
設(shè),,則,,
,
設(shè)點,則,即,代入橢圓方程得 ,
解得,所以,
所以,
又, 所以的取值范圍是.
綜上所述,的取值范圍是.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)當時,,
設(shè)過點 的切線方程為,
,代入切線方程得,
因為l過點,所以,即,
令,
所以單調(diào)遞減,又,所以 有唯一零點 ,
即原方程的根為 ,
代回切線方程得
故過點的切線方程為.
(2)因為在上連續(xù), 又,
所以要使無零點,需使在其定義域上恒成立.
則原問題轉(zhuǎn)化為 , 求a的取值范圍,
令,所以單調(diào)遞增,
又由式得,所以 , 即 恒成立
令,令 得,
當 時,,單調(diào)遞增; 當 時,單調(diào)遞堿,
所以 是的極大值點,,所以 , 即 .
綜上所述,a的取值范圍為.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)由曲線(為參數(shù), ,消去參數(shù) ,
得
所以曲線的直角坐標方程為
因為曲線是以 為圓心的圓, 且過極點O,所以圓心為,半徑為1,
故的直角坐標方程為:,即 ,
將 代入可得: 圓的極坐標方程為.
(2)因為曲線的直角坐標方程為.
即,將
代入化簡可得的極坐標方程為:,
所以的極坐標方程為;的極坐標方程為;
因為M、N是直線 與曲線,的兩個交點,
不妨設(shè),由(1)得,
所以,從而.
23．答案：(1)
(2)
解析：(1)當時,,
當時, 即，;
當時, 即，;
當時, 即，,
綜上可得不等式的解集為.
(2),
當且僅當時取等號,
，
又，且,
當且僅當,即，時等號成立,
所以
根據(jù)題意可得, 解得 或,
t的取值范圍是.
獲得“黨史學習之星”
未獲得“黨史學習之星”
總計
高一年級
40
10
50
高二年級
20
30
50
總計
60
40
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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