數(shù)學試題
本試卷共4頁，共24個題。滿分120分，時間120分鐘。
注意事項：
1．答題前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、考生號和座號填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上?？荚嚱Y束后，將試卷和答題卡一并交回。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。答案寫在試卷上無效。
3．非選擇題必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應的位置，不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶。不按以上要求作答的答案無效。
第I卷選擇題部分（共24分）
一、選擇題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確選項的序號涂在答題卡的相應位置．
1．下面四個數(shù)中，最小的是（ ）
A．B．C．D．
2．2020年12月3日．中共中央政治局常務委員會召開會議，聽取脫貧攻堅總結評估匯報．中共中央總書記習近平主持會議并發(fā)表重要講話．指出經過8年持續(xù)奮斗，我們如期完成了新時代脫貧攻堅目標任務，現(xiàn)行標準下農村貧困人口全部脫貧，貧困縣全部摘帽，消除了絕對貧困和區(qū)域性整體貧困，近1億貧困人口實現(xiàn)脫貧，取得了令全世界刮目相看的重大勝利．將100000000用科學記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
3．如圖幾何體中，主視圖是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，將矩形紙片沿折疊，使點落到點處，等于（ ）
第4題圖
A．B．C．D．
5．如圖是護士統(tǒng)計一位病人的體溫變化圖，這位病人在16時的體溫約是（ ）
第5題圖
A．B．C．D．
6．如圖，是半圓的直徑，為線段上一個動點，連接，則的最小值為（ ）
第6題圖
A．B．1C．D．2
7．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
第7題圖
A．B．C．D．
8．正的邊長為，動點從點出發(fā)，以每秒的速度，沿的方向運動，到達點時停止，設運動時間為（秒），，則關于的函數(shù)的圖像大致為（ ）
第8題圖
A．B．C．D．
第II卷 非選擇題部分（共96分）
二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分，只要求把最后結果填寫在答題卡的相應區(qū)域內．
9．已知，則______．
10．若代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是______．
11．如圖，是一張撕掉一個角的四邊形紙片，根據(jù)圖中所標示的數(shù)據(jù)，可得被撕掉的大小為______．
第11題圖
12．如圖，兩半圓的圓心點、分別在直角的兩直角邊、上，直徑分別為、，如果兩半圓相外切，且，那么圖中陰影部分的面積為______．
第12題圖
13．設實數(shù)滿足：，則______．
14．直角坐標系中，函數(shù)和的圖象分別為直線，過上的點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點依次進行下去，則點的橫坐標為______．
第14題圖
三、解答題：本題共78分，把解答和證明過程寫在答題卡的相應區(qū)域內．
15．（6分）（1）解分式方程：；
（2）計算：
16．（5分）解不等式組，并在數(shù)軸上表示出其解集．
17．（5分）如圖，中，是上一個動點，于，交延長線于．
第17題圖
（1）試判斷、的大小關系，并說明理由；
（2）當點在的延長線上時，其他條件不變，（1）中的結論是否成立？不需說明理由．
18．（8分）已知：如圖，斜坡的坡度為，坡長為39米，在坡頂處的同一水平面上有一座古塔，在斜坡底處測得該塔的塔頂?shù)难鼋菫椋谄马斕帨y得該塔的塔頂?shù)难鼋菫椋螅?br>第18題圖
（1）坡頂?shù)降孛娴木嚯x；
（2）古塔的高度（結果精確到1米）．
（參考數(shù)據(jù)：）
19．（8分）學校需要購進甲、乙兩種筆記本電腦，每臺甲種電腦的價格比每臺乙種電腦的價格少0.2萬元，用12萬元購買的甲種電腦數(shù)量與用20萬元購買的乙種電腦的數(shù)量相同．
（1）求每臺甲種電腦、每臺乙種電腦的價格分別為多少萬元；
（2）學校計劃用不超過34.5萬元購進甲、乙兩種電腦共80臺，其中乙種電腦的數(shù)量不少于甲種電腦數(shù)量的1.5倍，學校有哪幾種購買方案？哪種方案最省錢？
20．（8分）如果一個點的橫縱坐標均為常數(shù)，那么我們把這樣的點稱為確定的點，簡稱定點，比如點就是一個定點．在一次函數(shù)（是常數(shù)）的圖像中，由于，當即時，無論為何值，一定等于2，我們就說直線一定經過定點．
（1）已知拋物線（是常數(shù)），無論取何值，該拋物線都經過定點，請直接寫出點的坐標；
（2）已知拋物線（是常數(shù)）．
①無論取何值，該拋物線都經過定點，求出點的坐標；
②若在的范圍內，至少存在一個的值，使，直接寫出的取值范圍．
21．（6分）為了解某校八年級男生在體能測試中引體向上項目的情況，隨機抽查了部分男生引體向上項目的測試成績，繪制如圖統(tǒng)計圖，請根據(jù)相關信息，解答下列問題：
第21題圖
（1）本次接受隨機抽樣調查的男生人數(shù)為______，圖①中的值為______；本次調查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為______，中位數(shù)為______．
（2）若規(guī)定引體向上6次及以上為該項目良好，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計該校320名男生中該項目良好的人數(shù)．
22．（10分）如圖，在中，，以為直徑的與邊分別交于，兩點，過點作于點．
（1）判斷與的位置關系，并說明理由；
（2）求證：為的中點；
（3）若，求的長．
23．（10分）小明在學習過程中，對一個問題做如下探究．
【習題回顧】如圖1，在中，是角平分線，是高，相交于點．求證：；
【變式思考】如圖2，在中，是邊上的高，若的外角的平分線交的延長線于點，其反向延長線與邊的延長線交于點，判斷與還相等嗎？并說明理由；
【探究延伸】如圖3，在中，在上存在一點，使得，角平分線交于點，交于點．的外角的平分線所在直線與的延長線交于點，請直接寫出與之間的數(shù)量關系．
24．（12分）如圖，已知拋物線與一直線相交于兩點，與軸交于點，其頂點為．
（1）求拋物線及直線的函數(shù)關系式；
（2）若是拋物線上位于直線上方的一個動點，設點的橫坐標為；
①當時，求點的坐標；
②是否存在點，使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
數(shù)學
參考答案：
1．C
【分析】直接利用正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于負數(shù)，兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的，反而小即可求解．
【詳解】解：，，，
，
最小的是．
故選：C．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，熟知正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于負數(shù)，兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的，反而小是解題的關鍵．
2．C
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．
【詳解】解：100000000＝1.0×108，
故選：C．
【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要定a的值以及n的值．
3．A
【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．
【詳解】解：A．該圓錐主視圖是等腰三角形，故符合題意；
B．該圓柱主視圖是矩形，故不符合題意；
C．該正方體主視圖是正方形，故不符合題意；
D．該三棱柱的主視圖是矩形，故不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了簡單幾何體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖．
4．B
【分析】根據(jù)折疊的性質得出，再根據(jù)矩形的性質得出AD//BC，從而得出即可得出結論
【詳解】解：∵將矩形紙片沿折疊，使點落到點處
∴，AD//BC；
∴，；
∴
故選：B
【點睛】本題主要考查的是翻折的性質、矩形的性質，熟練掌握相關的性質是解題的關鍵
5．C
【分析】直接根據(jù)統(tǒng)計圖得出15時到18時病人的體溫呈上升趨勢，求出15時到18時的平均體溫，進而得出答案．
【詳解】解：由圖象可得：15時到18時病人的體溫呈上升趨勢，
從38.5℃到39.2℃，
故16時約為：38.5+（39.2-38.5）÷3≈38.7（℃），
故選：C．
【點睛】此題主要考查了折線統(tǒng)計圖，求平均數(shù)，從統(tǒng)計圖獲取正確信息是解題關鍵．
6．A
【分析】過O點作于F，如圖，利用等腰三角形的性質和三角形內角和計算出， 再利用圓周角定理得到，則，利用等腰直角三角形的性質得到，然后根據(jù)垂線段最短求解．
【詳解】解：過O點作于F，如圖，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值為．
故選∶ A．
【點睛】本題考查了圓周角定理∶在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了等腰三角形的性質，勾股定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．
7．A
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向上，與軸交于負半軸，得，，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸可得，從而即可得到一次函數(shù)經過一、二、三象限，反比例函數(shù)經過二、四象限，即可得到答案．
【詳解】解：二次函數(shù)的圖象開口向上，與軸交于負半軸，
，，
二次函數(shù)的對稱軸為，
，
一次函數(shù)經過一、二、三象限，反比例函數(shù)經過二、四象限，
故選：A．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖形、一次函數(shù)的圖形、反比例函數(shù)的圖形，根據(jù)二次函數(shù)的圖象得到，，，是解題的關鍵．
8．C
【分析】需要分類討論：①當0≤x≤3，即點P在線段AB上時，根據(jù)余弦定理知csA，所以將相關線段的長度代入該等式，即可求得y與x的函數(shù)關系式，然后根據(jù)函數(shù)關系式確定該函數(shù)的圖像．②當3＜x≤6，即點P在線段BC上時，y與x的函數(shù)關系式是y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6），根據(jù)該函數(shù)關系式可以確定該函數(shù)的圖像．
【詳解】解：∵正△ABC的邊長為3cm，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AC＝3cm．
①當0≤x≤3時，即點P在線段AB上時，AP＝xcm（0≤x≤3）；
根據(jù)余弦定理知csA，
即
解得，y＝x2﹣3x+9（0≤x≤3）；
該函數(shù)圖像是開口向上的拋物線；
②當3＜x≤6時，即點P在線段BC上時，PC＝（6﹣x）cm（3＜x≤6）；
則y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6），
∴該函數(shù)的圖像是在3＜x≤6上的拋物線；
故選：C．
【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖像．解題的關鍵是需要對點P的位置進行分類討論，以防錯選．
9．
【分析】先利用平方差公式計算，再將整體代入即可；
【詳解】解：∵，，
∴原式=
；
故答案為：9
【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值，平方差公式，熟練掌握平方差公式和整體代入的思想是解題的關鍵
10．
【分析】根據(jù)分式有意義的條件求出的取值范圍即可．
【詳解】解：依題意得：．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不等于零是解答此題的關鍵．
11．100°
【分析】先求出∠ABC度數(shù)，再求出四邊形的內角和，再代入求出即可．
【詳解】解：，
.
，，，
.
故答案為：100°.
【點睛】本題考查了多邊形的內角和外角，能求出四邊形的內角和是即此題的關鍵，注意：邊數(shù)為n的多邊形的內角和=（n-2）×180°．
12．/
【分析】本題考查求圖形面積，不規(guī)則圖形的面積一般要轉化為一些規(guī)則圖形的面積的和差來求解．利用勾股定理求出的半徑，證明弓形，弓形，利用割補法將陰影部分面積轉化成，即可求解．
【詳解】解：
如圖，連接，，，
設半徑為，則，
是等腰直角三角形，
，，
兩半圓相外切，
，
在中，由勾股定理得，
解得：，
，、為兩半圓直徑，
，
，，
弓形，弓形，
．
故答案為：．
13．9
【分析】由，得到，代入原式利用平方差公式化簡，約分后將代入計算即可求出值．
【詳解】解：由，得到，且，
代入得：原式
故答案為：9
【點睛】此題考查了因式分解的應用，分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
14．
【分析】據(jù)題意可以發(fā)現(xiàn)題目中各點的坐標變化規(guī)律，依此規(guī)律即可得出結論．
【詳解】解：點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，
與橫坐標相同，與縱坐標相同，
當時，，
，
當時，則，
，
，
當時，，
，，
同理可得：，，，
的橫坐標為，
，
點的橫坐標為：，
故答案為： ．
【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，找出題目中點的橫坐標的變化規(guī)律．
15．(1)，理由見解析
(2)成立
【分析】（1）由等邊對等角，得，由直角三角形兩銳角互余得，，結合對頂角相等，得出結論．
（２）由等邊對等角，得，由直角三角形兩銳角互余得，，結合對頂角相等，得出結論．
【詳解】（1）解：；
理由：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：成立．
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；

【點睛】本題考查等腰三角形等邊對等角，直角三角形兩銳角互余，對頂角相等；由相關定理導出角之間的數(shù)量關系是解題的關鍵．
16．(1)x=-1；(2) 2+2
【分析】（1）先把方程兩邊同乘以（x+2）（x-2）得到整式方程x+2-4=x2-4，再解此整式方程，然后進行檢驗確定原方程的解；
（2）根據(jù)零指數(shù)冪、負整數(shù)整數(shù)冪和特殊角的三角函數(shù)值得到原式，然后去絕對值后合并即可．
【詳解】解：（1）去分母得x+2﹣4＝x2﹣4，
整理得x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1，
檢驗：當x＝2時，（x+2）（x﹣2）＝0，則x＝2是原方程的增根；
當x＝﹣1時，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以原方程的解為x＝﹣1；
（2）原式＝﹣1+3++1+|1﹣|
＝﹣1+3++1+﹣1
＝2+2．
【點睛】本題考查了分式方程當?shù)慕夥ê蛯崝?shù)的混合計算，分式方程先去分母再解整式方程，最后檢驗．實數(shù)運算關鍵是利用負指數(shù)冪法則．特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪進行運算.
17．，數(shù)軸見解析
【分析】分別解不等式組中的兩個不等式，再在數(shù)軸上表示兩個不等式的解集，再利用數(shù)軸確定解集的公共部分即可．
【詳解】解：
解①得，
解②得，
解集在數(shù)軸上表示為：

∴不等式組的解集為．
【點睛】本題考查的是一元一次不等式組的解法，掌握解不等式組的方法與步驟是解本題的關鍵．
18．(1)15米
(2)28米
【分析】（1）過點A作，垂足為點H，根據(jù)坡度的定義可得，設米，則米，由勾股定理可得（米），則，求出a的值，即可得出答案．
（2）延長交于點D，可得，設米，則米，進而可得米，在中，，求出x的值，即可得出答案．
【詳解】（1）解：（1）過點A作，垂足為點H，
∵斜坡的坡度為，
∴，
設米，則米，
由勾股定理得，（米），
∴，
解得，
∴米．
答：坡頂A到地面的距離為15米．
（2）解：延長交于點D，由題意得，米，，
∵，
∴，
設米，則米，
由（1）可得（米），
∴米，
在中，，
解得，
經檢驗，是原方程的解且符合題意．
古塔的高度約為28米．
【點睛】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關鍵．
19．（1）每臺甲種電腦的價格為0.3萬元、每臺乙種電腦的價格為0.5萬元；（2）見解析
【分析】（1）設每臺甲種電腦的價格為x萬元，則每臺乙種電腦的價格為（x+0.2）萬元，根據(jù)用12萬元購買的甲種電腦的數(shù)量與用20萬元購買的乙種電腦的數(shù)量相同，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；
（2）設購買乙種電腦m臺，則購買甲種電腦（80-m）臺，根據(jù)“購買兩種電腦的總費用不超過34.5萬元，且購進乙種電腦的數(shù)量不少于甲種電腦數(shù)量的1.5倍”，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結合m為整數(shù)即可得出各購買方案．
【詳解】解：（1）設每臺甲種電腦的價格為x萬元，則每臺乙種電腦的價格為（x+0.2）萬元，
根據(jù)題意得：，
解得：x=0.3，
經檢驗，x=0.3是原分式方程的解，且符合題意，
∴x+0.2=0.3+0.2=0.5．
答：每臺甲種電腦的價格為0.3萬元、每臺乙種電腦的價格為0.5萬元．
（2）設購買乙種電腦m臺，則購買甲種電腦（80-m）臺，
根據(jù)題意得：，
解得：48≤m≤．
又∵m為整數(shù)，
∴m可以取48，49，50，51，52．
∴學校有5種購買方案，
方案1：購買甲種電腦32臺，乙種電腦48臺，需要32×0.3+48×0.5=33.6萬元，
方案2：購買甲種電腦31臺，乙種電腦49臺，需要31×0.3+49×0.5=33.8萬元，
方案3：購買甲種電腦30臺，乙種電腦50臺，需要30×0.3+50×0.5=34萬元，
方案4：購買甲種電腦29臺，乙種電腦51臺，需要29×0.3+51×0.5=34.2萬元，
方案5：購買甲種電腦28臺，乙種電腦52臺，需要28×0.3+52×0.5=34.4萬元，
故方案1最省錢．
【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．
20．(1)
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)“定點”的定義結合函數(shù)的解析式，可知當時，函數(shù)值y與a的取值無關，可得此時點A的坐標；
（2）①將拋物線的解析式進行整理得，可得“定點D”的坐標為；②設拋物線與y軸交于點B，當時，由函數(shù)圖像可知，需滿足點B在x軸的上方，列不等式求出m的取值范圍即可；當時，由函數(shù)的圖像可知，拋物線與x軸的另一個交點在點D的右側，可見此時不存在符合條件的x值．
【詳解】（1）解：∵拋物線，當時，，
∴無論為何值一定等于,
∴拋物線一定過定點，
∴．
（2）解：①,
當，即時，,
∴無論為何值一定等于0,
∴拋物線一定過定點．
∴．
②∵
∴拋物線與軸有兩個不同的交點．
當時，拋物線開口向下，且對稱軸．
圖像如下圖，不合題意．

當時，拋物線開口向上，且對稱軸，與軸交點，
由圖像可知，只需滿足點在軸的上方，則在的范圍內，至少存在一個的值，使，
∴，
∴．
綜上所述，的取值范圍是．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質，列不等式求自變量的取值范圍，含參數(shù)的二次函數(shù)問題的求解等知識點，結合二次函數(shù)的圖像探究函數(shù)圖像經過的定點以及定點對函數(shù)自變量取值范圍是解題的關鍵．
21．(1)40，25，5.8，6
(2)176人
【分析】本題考查了數(shù)據(jù)的分析．
（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖中的各組數(shù)據(jù)即可求出本次接受隨機抽樣調查的男生人數(shù)，由條形統(tǒng)計圖可知測試成績?yōu)?次的人數(shù)和被調查的總人數(shù)，由此可求出m的值，再根據(jù)平均數(shù)的計算方法及中位數(shù)的計算方法求出平均數(shù)和中位數(shù)即可．
（2）利用該校男生總人數(shù)引體向上6次及以上的男生所占的百分比，即可求出該校320名男生中該項目良好的人數(shù)．
掌握平均數(shù)、中位數(shù)的概念及計算方法，能夠把扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖結合起來分析數(shù)據(jù)是解題的關鍵．
【詳解】（1）（名），
，即，
平均數(shù)為（次），
將這40名男生引體向上的次數(shù)從小到大排列后，處在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)是次，因此中位數(shù)是6次，
故答案為：40，25，5.8，6
（2）（人），
答：該校320名男生中該項目良好的人數(shù)大約為176人.
22．【習題回顧】證明見解析；【變式思考】相等；理由見解析；【探究延伸】．
【分析】習題回顧：根據(jù)角平分線的定義及三角形外角的性質求解即可；
變式思考：根據(jù)角平分線的性質和直角三角形的性質可得到結果；
探究延伸：由題可知，證明，即可得結論．
【詳解】習題回顧
證明：∵，是高，
∴，，
∴．
∵是角平分線，
∴．
∵，，
∴；
變式思考
解：相等；理由：∵為的平分線，
∴．
∵為邊上的高，，
∴．
又∵， ，
∴，
∴，
∴；
探究延伸
解：．理由如下：
∵C，A，G三點共線，AE，AN分別為的平分線，
．
，
，，，，
．
【點睛】本題主要考查了三角形的內角和定理和三角形外角性質，利用角平分線的性質是解題的關鍵．
23．（1）y＝﹣x2+2x+3，y＝x+1；（2）①P（1，4）；②存在，P（，）
【分析】（1）設直線AC的函數(shù)關系式為y＝kx+n，A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c和y＝kx+n即可得答案；
（2）①過N作直線AC的平行線與拋物線交點即為P；
②構相似造三角形，設P橫坐標為t，用t表示相關線段列方程即可得出P的坐標．
【詳解】解：（1）設直線AC的函數(shù)關系式為y＝kx+n，將A（﹣1，0），C（2，3）代入得：
，解得，
∴直線AC的函數(shù)關系式為y＝x+1，
將A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，解得，
∴拋物線函數(shù)關系式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）①在函數(shù)關系式y(tǒng)＝﹣x2+2x+3中令x＝0得y＝3，
∴N（0，3），
過N作AC的平行線與拋物線交點即為P，設所作直線為y＝x+m，
將N（0，3）代入y＝x+m得3＝m，
∴所作平行線為y＝x+3，
由得（與N重合舍去）或，
∴P（1，4），
②若△ACP是以AC為斜邊的直角三角形，
過A作AEy軸，過C作CFy軸，過P作EFx軸，交點分別為E、F，如答圖：
∵∠APC＝90°，
∴∠EPA＝90°﹣∠FPC＝∠PCF，
而∠E＝∠F＝90°，
∴△AEP∽△PFC，
∴，
∵點P的橫坐標為t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），
又A（﹣1，0），C（2，3），
∴AE＝﹣t2+2t+3，PF＝2﹣t，EP＝t﹣（﹣1）＝t+1，CF＝（﹣t2+2t+3）﹣3＝﹣t2+2t，
∴，解得t＝或t＝，
∵P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，
∴﹣1＜t＜2，
∴t＝，
∴P（，）．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何綜合，掌握待定系數(shù)法和相似三角形的判定及性質是關鍵．
24．（1）與相切，理由見解析；（2）詳見解析；（3）．
【分析】（1）連結、，如圖1，先利用AB是圓的直徑得到，再根據(jù)等腰三角形的性質得，然后利用三角形中位線定理可得，而，進一步即可證得結論；
（2）連結，如圖2，根據(jù)圓內接四邊形的性質和等腰三角形的性質可得，從而DE=DC，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質即可證得結論；
（3）易得，利用余弦的定義，分別在和中計算出AC與CH的長，則CE即可求出，然后計算即可得到的長．
【詳解】解：（1）與相切．理由如下：
連結、，如圖1，∵為直徑，∴，即，
∵，∴，
而，∴為的中位線，∴，
∵，∴，∴為的切線；
（2）證明：連結，如圖2，
∵四邊形為的內接四邊形，∴，
∵，∴，∴，∴DE=DC.
∵，∴，即為的中點；
（3）解：如圖2，在中，∵，，∴.
在中，∵，∴，∴，
∴．
【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理的推論、切線的判定定理、三角形中位線定理、圓內接四邊形的性質、等腰三角形的判定與性質和銳角三角函數(shù)的知識，考查的知識點多，綜合性強，正確添加輔助線、熟練掌握相關知識是解題的關鍵．

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