1．（3分）9的算術(shù)平方根是
A．B．C．3D．
2．（3分）若，則
A．6B．C．1D．
3．（3分）計(jì)算：
A．2B．C．D．
4．（3分）若直線是常數(shù)，經(jīng)過(guò)第一、第三象限，則的值可為
A．B．C．D．2
5．（3分）如圖，是等邊的邊上的高，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則
A．B．C．D．
6．（3分）方程的解為
A．B．C．D．
7．（3分）如圖，將矩形紙片對(duì)折，使邊與，與分別重合，展開(kāi)后得到四邊形．若，，則四邊形的面積為
A．2B．4C．5D．6
8．（3分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)家群體是一個(gè)長(zhǎng)壽群體，某研究小組隨機(jī)抽取了收錄約2200位數(shù)學(xué)家的《數(shù)學(xué)家傳略辭典》中部分90歲及以上的長(zhǎng)壽數(shù)學(xué)家的年齡為樣本，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理與分析，統(tǒng)計(jì)圖表（部分?jǐn)?shù)據(jù)）如下，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是
A．該小組共統(tǒng)計(jì)了100名數(shù)學(xué)家的年齡
B．統(tǒng)計(jì)表中的值為5
C．長(zhǎng)壽數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)最多
D．《數(shù)學(xué)家傳略辭典》中收錄的數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)估計(jì)有110人
9．（3分）如圖1，漢代初期的《淮南萬(wàn)畢術(shù)》是中國(guó)古代有關(guān)物理、化學(xué)的重要文獻(xiàn)，書中記載了我國(guó)古代學(xué)者在科學(xué)領(lǐng)域做過(guò)的一些探索及成就．其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見(jiàn)四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)；反射角等于入射角”．為了探清一口深井的底部情況，運(yùn)用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當(dāng)太陽(yáng)光線與地面所成夾角時(shí)，要使太陽(yáng)光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡與地面的夾角
A．B．C．D．
10．（3分）如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為4，為邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，線段的長(zhǎng)為，與的函數(shù)圖象如圖2所示，則點(diǎn)的坐標(biāo)為
A．，B．C．，D．
二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分．
11．（3分）因式分解： ．
12．（3分）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 （寫出一個(gè)滿足條件的值）．
13．（3分）近年來(lái)，我國(guó)科技工作者踐行“科技強(qiáng)國(guó)”使命，不斷取得世界級(jí)的科技成果．如由我國(guó)研制的中國(guó)首臺(tái)作業(yè)型全海深自主遙控潛水器“海斗一號(hào)”，最大下潛深度10907米，填補(bǔ)了中國(guó)水下萬(wàn)米作業(yè)型無(wú)人潛水器的空白；由我國(guó)自主研發(fā)的極目一號(hào)Ⅲ型浮空艇“大白鯨”，升空高度至海拔9050米，創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界紀(jì)錄．如果把海平面以上9050米記作“米”，那么海平面以下10907米記作 ．
14．（3分）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，則 ．
15．（3分）如圖，菱形中，，，，垂足分別為，，若，則 ．
16．（3分）如圖1，我國(guó)是世界上最早制造使用水車的國(guó)家．1556年蘭州人段續(xù)的第一架水車創(chuàng)制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐．而今，蘭州水車博覽園是百里黃河風(fēng)情線上的標(biāo)志性景觀，是蘭州“水車之都”的象征．如圖2是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的輻條（圓的半徑）長(zhǎng)約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長(zhǎng)方體形狀的水斗，當(dāng)水流沖動(dòng)水車輪刮板時(shí)，驅(qū)使水車徐徐轉(zhuǎn)動(dòng)，水斗依次舀滿河水在點(diǎn)處離開(kāi)水面，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)上升至輪子上方處，斗口開(kāi)始翻轉(zhuǎn)向下，將水傾入木槽，由木槽導(dǎo)入水渠，進(jìn)而灌溉，那么水斗從處（舀水）轉(zhuǎn)動(dòng)到處（倒水）所經(jīng)過(guò)的路程是 米．（結(jié)果保留
三、解答題：本大題共6小題，共32分．解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（4分）計(jì)算：．
18．（4分）解不等式組：．
19．（4分）化簡(jiǎn)：．
20．（6分）1672年，丹麥數(shù)學(xué)家莫爾在他的著作《歐幾里得作圖》中指出：只用圓規(guī)可以完成一切尺規(guī)作圖．1797年，意大利數(shù)學(xué)家馬斯凱羅尼又獨(dú)立發(fā)現(xiàn)此結(jié)論，并寫在他的著作《圓規(guī)的幾何學(xué)》中．請(qǐng)你利用數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下面的作圖題：
如圖，已知，是上一點(diǎn)，只用圓規(guī)將的圓周四等分．（按如下步驟完成，保留作圖痕跡）
①以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑，自點(diǎn)起，在上逆時(shí)針?lè)较蝽槾谓厝。?br>②分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于上方點(diǎn)；
③以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于，兩點(diǎn)．即點(diǎn)，，，將的圓周四等分．
21．（6分）為傳承紅色文化，激發(fā)革命精神，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情感，某校組織七年級(jí)學(xué)生開(kāi)展“講好紅色故事，傳承紅色基因”為主題的研學(xué)之旅，策劃了三條紅色線路讓學(xué)生選擇：．南梁精神紅色記憶之旅（華池縣）；．長(zhǎng)征會(huì)師勝利之旅（會(huì)寧縣）；．西路軍紅色征程之旅（高臺(tái)縣），且每人只能選擇一條線路．小亮和小剛兩人用抽卡片的方式確定一條自己要去的線路．他們準(zhǔn)備了3張不透明的卡片，正面分別寫上字母，，，卡片除正面字母不同外其余均相同，將3張卡片正面向下洗勻，小亮先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下字母后正面向下放回，洗勻后小剛再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張卡片．
（1）求小亮從中隨機(jī)抽到卡片的概率；
（2）請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表的方法，求兩人都抽到卡片的概率．
22．（8分）如圖1，某人的一器官后面處長(zhǎng)了一個(gè)新生物，現(xiàn)需檢測(cè)其到皮膚的距離（圖．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測(cè)技術(shù)，檢測(cè)射線可避開(kāi)器官?gòu)膫?cè)面測(cè)量．某醫(yī)療小組制定方案，通過(guò)醫(yī)療儀器的測(cè)量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計(jì)算出新生物到皮膚的距離方案如下：
請(qǐng)你根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算新生物處到皮膚的距離．（結(jié)果精確到
（參考數(shù)據(jù)：，，，，，
四、解答題：本大題共5小題，共40分．解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
23．（7分）某校八年級(jí)共有200名學(xué)生，為了解八年級(jí)學(xué)生地理學(xué)科的學(xué)習(xí)情況，從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的八年級(jí)上、下兩個(gè)學(xué)期期末地理成績(jī)進(jìn)行整理和分析（兩次測(cè)試試卷滿分均為35分，難度系數(shù)相同；成績(jī)用表示，分成6個(gè)等級(jí)：．；．；．；．；．；．．下面給出了部分信息：
．八年級(jí)學(xué)生上、下兩個(gè)學(xué)期期末地理成績(jī)的統(tǒng)計(jì)圖如圖：
．八年級(jí)學(xué)生上學(xué)期期末地理成績(jī)?cè)冢@一組的成績(jī)是：15，15，15，15，15，16，16，16，18，18；
．八年級(jí)學(xué)生上、下兩個(gè)學(xué)期期末地理成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下：
根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
（1）填空： ；
（2）若為優(yōu)秀，則這200名學(xué)生八年級(jí)下學(xué)期期末地理成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的約有 人；
（3）你認(rèn)為該校八年級(jí)學(xué)生的期末地理成績(jī)下學(xué)期比上學(xué)期有沒(méi)有提高？請(qǐng)說(shuō)明理由．
24．（7分）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）用的代數(shù)式表示；
（3）當(dāng)?shù)拿娣e為9時(shí)，求一次函數(shù)的表達(dá)式．
25．（8分）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，是上的一點(diǎn)，平分，，垂足為，與相交于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）當(dāng)?shù)陌霃綖?，時(shí)，求的長(zhǎng)．
26．（8分）【模型建立】
（1）如圖1，和都是等邊三角形，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上．
①求證：；
②用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【模型遷移】
（3）在（2）的條件下，若，，求的值．
27．（10分）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1中過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，連接，，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)相同的速度沿軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接，，求的最小值．
2023年甘肅省武威市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)．
1．（3分）9的算術(shù)平方根是
A．B．C．3D．
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求出答案．
【解答】解：9的算術(shù)平方根是3，
故選：．
2．（3分）若，則
A．6B．C．1D．
【分析】直接利用比例的性質(zhì)，內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積即可得出答案．
【解答】解：，
．
故選：．
3．（3分）計(jì)算：
A．2B．C．D．
【分析】直接利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再合并同類項(xiàng)得出答案．
【解答】解：原式
．
故選：．
4．（3分）若直線是常數(shù)，經(jīng)過(guò)第一、第三象限，則的值可為
A．B．C．D．2
【分析】正比例函數(shù)是常數(shù)，的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，則．
【解答】解：直線是常數(shù)，經(jīng)過(guò)第一、第三象限，
．
故選：．
5．（3分）如圖，是等邊的邊上的高，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊三角形三線合一可得，再根據(jù)作圖可知，進(jìn)一步可得的度數(shù)．
【解答】解：在等邊中，，
是邊上的高，
平分，
，
，
，
故選：．
6．（3分）方程的解為
A．B．C．D．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，
故原方程的解是．
故選：．
7．（3分）如圖，將矩形紙片對(duì)折，使邊與，與分別重合，展開(kāi)后得到四邊形．若，，則四邊形的面積為
A．2B．4C．5D．6
【分析】由折疊可知，，，，由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得，，由平行線的性質(zhì)可得，，，，，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形可知四邊形為菱形，最后利用菱形的面積公式計(jì)算即可求解．
【解答】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，
四邊形為矩形，
，，，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，，，
，，
，，，，，
四邊形為菱形，
．
故選：．
8．（3分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)家群體是一個(gè)長(zhǎng)壽群體，某研究小組隨機(jī)抽取了收錄約2200位數(shù)學(xué)家的《數(shù)學(xué)家傳略辭典》中部分90歲及以上的長(zhǎng)壽數(shù)學(xué)家的年齡為樣本，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理與分析，統(tǒng)計(jì)圖表（部分?jǐn)?shù)據(jù)）如下，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是
A．該小組共統(tǒng)計(jì)了100名數(shù)學(xué)家的年齡
B．統(tǒng)計(jì)表中的值為5
C．長(zhǎng)壽數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)最多
D．《數(shù)學(xué)家傳略辭典》中收錄的數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)估計(jì)有110人
【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖給出的數(shù)據(jù)分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案．
【解答】解：、該小組共統(tǒng)計(jì)的人數(shù)為：（人，故不符合題意；
、統(tǒng)計(jì)表中的值為（人，故不符合題意；
、長(zhǎng)壽數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)為，長(zhǎng)壽數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)為（人，所以長(zhǎng)壽數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)最多，故不符合題意；
、《數(shù)學(xué)家傳略辭典》中收錄的數(shù)學(xué)家年齡在歲的人數(shù)估計(jì)有（人，故符合題意．
故選：．
9．（3分）如圖1，漢代初期的《淮南萬(wàn)畢術(shù)》是中國(guó)古代有關(guān)物理、化學(xué)的重要文獻(xiàn)，書中記載了我國(guó)古代學(xué)者在科學(xué)領(lǐng)域做過(guò)的一些探索及成就．其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見(jiàn)四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)；反射角等于入射角”．為了探清一口深井的底部情況，運(yùn)用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當(dāng)太陽(yáng)光線與地面所成夾角時(shí)，要使太陽(yáng)光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡與地面的夾角
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)，得，所以，再根據(jù)，得，即可得．
【解答】解：如圖，
，
，
，
，
，
，
．
故選：．
10．（3分）如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為4，為邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，線段的長(zhǎng)為，與的函數(shù)圖象如圖2所示，則點(diǎn)的坐標(biāo)為
A．，B．C．，D．
【分析】根據(jù)圖2確定點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)為的長(zhǎng)度，然后求值即可．
【解答】解：由題意可知，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，的值先減小后增大，
當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，的值逐漸減小，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)為的長(zhǎng)度，
，，
，
，，
故選：．
二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分．
11．（3分）因式分解： ．
【分析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式．
【解答】解：
．
故答案為：．
12．（3分）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 0（答案不唯一） （寫出一個(gè)滿足條件的值）．
【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出△，解之即可得出的取值范圍，任取其內(nèi)的一個(gè)數(shù)即可．
【解答】解：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
△，
解得：．
故答案為：0（答案不唯一）．
13．（3分）近年來(lái)，我國(guó)科技工作者踐行“科技強(qiáng)國(guó)”使命，不斷取得世界級(jí)的科技成果．如由我國(guó)研制的中國(guó)首臺(tái)作業(yè)型全海深自主遙控潛水器“海斗一號(hào)”，最大下潛深度10907米，填補(bǔ)了中國(guó)水下萬(wàn)米作業(yè)型無(wú)人潛水器的空白；由我國(guó)自主研發(fā)的極目一號(hào)Ⅲ型浮空艇“大白鯨”，升空高度至海拔9050米，創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界紀(jì)錄．如果把海平面以上9050米記作“米”，那么海平面以下10907米記作 米 ．
【分析】根據(jù)正數(shù)與負(fù)數(shù)的實(shí)際意義即可得出答案．
【解答】解：海平面以上9050米記作“米”，
海平面以下10907米記作“米”，
故答案為：米．
14．（3分）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，則 35 ．
【分析】根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：是的直徑，
，
，
，
故答案為：35．
15．（3分）如圖，菱形中，，，，垂足分別為，，若，則 ． ．
【分析】連接交于，則， 根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，求得，根據(jù)勾股定理得到，求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
【解答】解：連接交于，
則，
四邊形是菱形，
，，，
，
是等邊三角形，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案為：．
16．（3分）如圖1，我國(guó)是世界上最早制造使用水車的國(guó)家．1556年蘭州人段續(xù)的第一架水車創(chuàng)制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐．而今，蘭州水車博覽園是百里黃河風(fēng)情線上的標(biāo)志性景觀，是蘭州“水車之都”的象征．如圖2是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的輻條（圓的半徑）長(zhǎng)約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長(zhǎng)方體形狀的水斗，當(dāng)水流沖動(dòng)水車輪刮板時(shí)，驅(qū)使水車徐徐轉(zhuǎn)動(dòng)，水斗依次舀滿河水在點(diǎn)處離開(kāi)水面，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)上升至輪子上方處，斗口開(kāi)始翻轉(zhuǎn)向下，將水傾入木槽，由木槽導(dǎo)入水渠，進(jìn)而灌溉，那么水斗從處（舀水）轉(zhuǎn)動(dòng)到處（倒水）所經(jīng)過(guò)的路程是 米．（結(jié)果保留
【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式直接代入數(shù)值求解．
【解答】解：（米．
故答案為：．
三、解答題：本大題共6小題，共32分．解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（4分）計(jì)算：．
【分析】直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：原式
．
18．（4分）解不等式組：．
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【解答】解：由得：，
由得：，
則不等式組的解集為．
19．（4分）化簡(jiǎn)：．
【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則，先算乘除再算加減，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：原式
．
20．（6分）1672年，丹麥數(shù)學(xué)家莫爾在他的著作《歐幾里得作圖》中指出：只用圓規(guī)可以完成一切尺規(guī)作圖．1797年，意大利數(shù)學(xué)家馬斯凱羅尼又獨(dú)立發(fā)現(xiàn)此結(jié)論，并寫在他的著作《圓規(guī)的幾何學(xué)》中．請(qǐng)你利用數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下面的作圖題：
如圖，已知，是上一點(diǎn)，只用圓規(guī)將的圓周四等分．（按如下步驟完成，保留作圖痕跡）
①以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑，自點(diǎn)起，在上逆時(shí)針?lè)较蝽槾谓厝。?br>②分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于上方點(diǎn)；
③以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于，兩點(diǎn)．即點(diǎn)，，，將的圓周四等分．
【分析】根據(jù)題中的步驟作圖．
【解答】解：如圖：點(diǎn)、、即為所求．
21．（6分）為傳承紅色文化，激發(fā)革命精神，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情感，某校組織七年級(jí)學(xué)生開(kāi)展“講好紅色故事，傳承紅色基因”為主題的研學(xué)之旅，策劃了三條紅色線路讓學(xué)生選擇：．南梁精神紅色記憶之旅（華池縣）；．長(zhǎng)征會(huì)師勝利之旅（會(huì)寧縣）；．西路軍紅色征程之旅（高臺(tái)縣），且每人只能選擇一條線路．小亮和小剛兩人用抽卡片的方式確定一條自己要去的線路．他們準(zhǔn)備了3張不透明的卡片，正面分別寫上字母，，，卡片除正面字母不同外其余均相同，將3張卡片正面向下洗勻，小亮先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下字母后正面向下放回，洗勻后小剛再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張卡片．
（1）求小亮從中隨機(jī)抽到卡片的概率；
（2）請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表的方法，求兩人都抽到卡片的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹(shù)狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中小亮和小剛兩人都抽到卡片的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小亮從中隨機(jī)抽到卡片的概率為；
（2）畫樹(shù)狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中小亮和小剛兩人都抽到卡片的結(jié)果有1種，
兩人都抽到卡片的概率是．
22．（8分）如圖1，某人的一器官后面處長(zhǎng)了一個(gè)新生物，現(xiàn)需檢測(cè)其到皮膚的距離（圖．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測(cè)技術(shù)，檢測(cè)射線可避開(kāi)器官?gòu)膫?cè)面測(cè)量．某醫(yī)療小組制定方案，通過(guò)醫(yī)療儀器的測(cè)量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計(jì)算出新生物到皮膚的距離方案如下：
請(qǐng)你根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算新生物處到皮膚的距離．（結(jié)果精確到
（參考數(shù)據(jù)：，，，，，
【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，設(shè)，則，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
設(shè)，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
新生物處到皮膚的距離約為．
四、解答題：本大題共5小題，共40分．解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
23．（7分）某校八年級(jí)共有200名學(xué)生，為了解八年級(jí)學(xué)生地理學(xué)科的學(xué)習(xí)情況，從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的八年級(jí)上、下兩個(gè)學(xué)期期末地理成績(jī)進(jìn)行整理和分析（兩次測(cè)試試卷滿分均為35分，難度系數(shù)相同；成績(jī)用表示，分成6個(gè)等級(jí)：．；．；．；．；．；．．下面給出了部分信息：
．八年級(jí)學(xué)生上、下兩個(gè)學(xué)期期末地理成績(jī)的統(tǒng)計(jì)圖如圖：
．八年級(jí)學(xué)生上學(xué)期期末地理成績(jī)?cè)冢@一組的成績(jī)是：15，15，15，15，15，16，16，16，18，18；
．八年級(jí)學(xué)生上、下兩個(gè)學(xué)期期末地理成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下：
根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
（1）填空： 16 ；
（2）若為優(yōu)秀，則這200名學(xué)生八年級(jí)下學(xué)期期末地理成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的約有 人；
（3）你認(rèn)為該校八年級(jí)學(xué)生的期末地理成績(jī)下學(xué)期比上學(xué)期有沒(méi)有提高？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義可得的值；
（2）用200乘樣本中下學(xué)期期末地理成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生所占比例即可；
（3）比較平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)可得答案．
【解答】解：（1）把八年級(jí)上學(xué)期40名學(xué)生的地理成績(jī)從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別為16，16，故中位數(shù)．
故答案為：16；
（2）（人，
即這200名學(xué)生八年級(jí)下學(xué)期期末地理成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的約有35人．
故答案為：35；
（3）該校八年級(jí)學(xué)生的期末地理成績(jī)下學(xué)期比上學(xué)期有提高，理由如下：
因?yàn)樵撔０四昙?jí)學(xué)生的期末地理成績(jī)下學(xué)期的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)均比上學(xué)期大，所以該校八年級(jí)學(xué)生的期末地理成績(jī)下學(xué)期比上學(xué)期有提高．
24．（7分）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）用的代數(shù)式表示；
（3）當(dāng)?shù)拿娣e為9時(shí)，求一次函數(shù)的表達(dá)式．
【分析】（1）由反比例函數(shù)的解析式即可求得的的坐標(biāo)；
（2）把代入即可求得用的代數(shù)式表示的式子；
（3）利用三角形面積求得的值，進(jìn)一步求得的值．
【解答】解：（1）反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，
，
；
（3）的面積為9，
，
，
，
，
，
一次函數(shù)的表達(dá)式是．
25．（8分）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，是上的一點(diǎn)，平分，，垂足為，與相交于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）當(dāng)?shù)陌霃綖?，時(shí)，求的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)“過(guò)半徑的外端垂直于半徑的直線是圓的切線”進(jìn)行證明；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的意義及勾股定理求解．
【解答】（1）證明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是圓的半徑，
是的切線；
（2）解：是的直徑，
，
，
，
，
，
，
解得：，
．
26．（8分）【模型建立】
（1）如圖1，和都是等邊三角形，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上．
①求證：；
②用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【模型遷移】
（3）在（2）的條件下，若，，求的值．
【分析】（1）①根據(jù)和都是等邊三角形推出判定和全等，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和對(duì)稱的性質(zhì)即可推出線段，，的數(shù)量關(guān)系；
（2）過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)推出判定，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和對(duì)稱性即可推出線段，，的數(shù)量關(guān)系；
（3）過(guò)點(diǎn)作于，推出是等腰直角三角形，求出、、的長(zhǎng)后即可求出的值．
【解答】（1）證明：①和都是等邊三角形，
，，，
，
，
；
②解：．
理由如下：
是等邊三角形，
，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
，
，
；
（2）．
理由如下：
如圖1，過(guò)點(diǎn)作于，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
，
又，
，
又，
是等腰直角三角形，
又是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即：．
（3）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作于，
又，
是等腰直角三角形，
又，
，，
，，
，
又，
，
在中，由勾股定理得：，
．
27．（10分）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1中過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，連接，，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)相同的速度沿軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接，，求的最小值．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中，即可求解．
（2）作輔助線，根據(jù)題意，求出的長(zhǎng)，，，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證．
（3）作出圖，證明，的最小值為，根據(jù)勾股定理求出即可解答．
【解答】解：（1）拋物線過(guò)點(diǎn)，
，
，
．
答：拋物線的表達(dá)式為．
（2）四邊形是平行四邊形，理由如下：
如圖1，作交軸于點(diǎn)，連接、，
點(diǎn)在上，
，，
連接，
，
．
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
，
軸，軸，
，
四邊形是平行四邊形．
（3）如圖2，由題意得，，連接，
在上方作，使得，，
，，
，
，
，，，
，
，
（當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)最短），
的最小值為，
，
，
即的最小值為．
答：的最小值為．年齡范圍（歲
人數(shù)（人
25
■
■
11
10
課題
檢測(cè)新生物到皮膚的距離
工具
醫(yī)療儀器等
示意圖
說(shuō)明
如圖2，新生物在處，先在皮膚上選擇最大限度地避開(kāi)器官的處照射新生物，檢測(cè)射線與皮膚的夾角為；再在皮膚上選擇距離處的處照射新生物，檢測(cè)射線與皮膚的夾角為．
測(cè)量數(shù)據(jù)
，，
學(xué)期
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
八年級(jí)上學(xué)期
17.7
15
八年級(jí)下學(xué)期
18.2
19
18.5
年齡范圍（歲
人數(shù)（人
25
■
■
11
10
課題
檢測(cè)新生物到皮膚的距離
工具
醫(yī)療儀器等
示意圖
說(shuō)明
如圖2，新生物在處，先在皮膚上選擇最大限度地避開(kāi)器官的處照射新生物，檢測(cè)射線與皮膚的夾角為；再在皮膚上選擇距離處的處照射新生物，檢測(cè)射線與皮膚的夾角為．
測(cè)量數(shù)據(jù)
，，
學(xué)期
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
八年級(jí)上學(xué)期
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