由 長沙市一中 常德市一中 湖南師大附中 雙峰縣一中 桑植縣一中
武岡市一中 湘潭市一中 岳陽市一中 株洲市二中 聯(lián)合命題
炎德文化審校、制作
命題學校：長沙市一中 審題學校：雙峰縣一中
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.對兩個變量和進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)，下列統(tǒng)計量的數(shù)值能夠刻畫其經(jīng)驗回歸方程的擬合效果的是（ ）
A.平均數(shù) B.相關(guān)系數(shù) C.決定系數(shù) D.方差
2.已知是等比數(shù)列，是其前項和.若，則的值為（ ）
A.2 B.4 C. D.
3.關(guān)于復數(shù)與其共軛復數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.在復平面內(nèi)，表示復數(shù)和的點關(guān)于虛軸對稱
B.
C.必為實數(shù)，必為純虛數(shù)
D.若復數(shù)為實系數(shù)一元二次方程的一根，則也必是該方程的根
4.已知為雙曲線上一動點，則到點和到直線的距離之比為（ ）
A.1 B. C. D.2
5.如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（ ）
A. B. C. D.
6.某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為3%，某人存入大額存款元，按照復利計算10年后得到的本利和為，下列各數(shù)中與最接近的是（ ）

7.已知函數(shù)，若沿軸方向平移的圖象，總能保證平移后的曲線與直線在區(qū)間上至少有2個交點，至多有3個交點，則正實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
8.過點的動直線與圓交于兩點，在線段上取一點，使得，已知線段的最小值為，則的值為（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.下列函數(shù)的圖象與直線相切的有（ ）
A. B.
C. D.
10.在中，角所對的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.
B.若，則為直角三角形
C.若為銳角三角形，的最小值為1
D.若為銳角三角形，則的取值范圍為
11.如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，是線段的中點，則（ ）
A.若點滿足，則動點的軌跡長度為
B.三棱錐體積的最大值為
C.當直線與所成的角為時，點的軌跡長度為
D.當在底面上運動，且溚足平面時，線段長度最大值為
三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12.對于非空集合，定義函數(shù)已知集合，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍為__________.
13.已知橢圓與雙曲線，橢圓的短軸長與長軸長之比大于，則雙曲線離心率的取值范圍為__________.
14.函數(shù)在范圍內(nèi)極值點的個數(shù)為__________.
四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
15.（木小題滿分15分）
如圖所示，半圓柱的軸截面為平面，是圓柱底面的直徑，為底面圓心，為一條母線，為的中點，且.
（1）求證：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
16.（本小題滿分15分）
猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有A，B，C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三首歌曲中各隨機選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對應的獎勵基金.假設甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲的概率及猜對時獲得相應的獎勵基金如下表：
（1）求甲按“”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率；
（2）甲決定按“”或者“”兩種順序猜歌名，請你計算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎勵基金的期望；為了得到更多的獎勵基金，請你給出合理的選擇建議，并說明理由.
17.（本小題滿分15分）
已函數(shù)，其圖象的對稱中心為.
（1）求的值；
（2）判斷函數(shù)的零點個數(shù).
18.（本小題滿分17分）
已知數(shù)列的前項和為，滿足；數(shù)列滿足，其中.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）對于給定的正整數(shù)，在和之間插入個數(shù)，使，成等差數(shù)列.
（i）求；
（ii）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.
19.（本小題滿分17分）
直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點的直線，直線的包絡曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.
（1）若圓是直線族的包絡曲線，求滿足的關(guān)系式；
（2）若點不在線族：的任意一條直線上，求的取值范和直線族的包絡曲線；
（3）在（2）的條件下，過曲線上兩點作曲線的切線，其交點為.已知點，若三點不共線，探究是否成立？請說明理由.
湖南省2024屆高三九校聯(lián)盟第二次聯(lián)考
數(shù)學參考答案
命題學校：長沙市一中 審題學校：雙峰縣一中
一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的每個這項中，只有一項是符合題目要求的）
1.C 【解析】平均致與方差是用來反饋數(shù)據(jù)集中趨勢與波動程度大小的就計量：變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)”的絕對值總大，則變量y和x之間線性相關(guān)關(guān)系越強；用決定系數(shù)R來刻畫回歸效果，R越大說明擬合效果總好：綜上選C
2.C 【解析】，化簡得，整理得，又，.故選C.
3.D 【解析】對于選項A，表示復數(shù)和的點關(guān)于實軸對稱，故錯誤：對于選項B?選項C，當時均不成立，故錯誤.故選D
4.C 【解析】取雙曲線上一點，則，故選C.
5.B 【解析】將四面體補形成長方體，長?寬?高分別為，外接球直徑等于體對角線長故，所以外接球表面積為.故選.
6.D 【解析】存入大額存款元，按照復利計算，可得每年末本利和是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，所認，可得，故選D.
7.A 【解析】由題知，，若沿軸方向平移，考點其任意性，不妨設得到的函數(shù)，令，即，由正弦曲線性質(zhì)知，至少有2解，至多有3解，則自變量的區(qū)間長度在到之間，耶，那，選A.
8.A 【解析】圓心，半徑為2，所以圓與解相切，設切點為.則，連接，則，則.
設的中點為，連接，則，
語圓心列直線的距離為，則.
由可得，
因為.所以.
因此，解得：，故選A.
二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.AC 【解析】選項A中，與相切于點；選項B中，與沒有交點；選項C中，與相切于點；選項D中，與有三個交點，，，均不是切點.
10.ABD 【解析】對于中，由正弦定理得，由，得
.即，由，則，故，所以或，即或（舍去），即正確：
對于，結(jié)合和正弦定理知，又，數(shù)，B正確；
對于，在銳角中，，即.
故，C錯誤；
對于，在銳角中，由.
由對勾函數(shù)性質(zhì)知，，D正確；故選ABD.
11.CD 【解析】對，易知平面平面，故動點的軌跡為矩形，動點的軌跡長度為，所認錯誤；
對因為，而的面積為定值，要使三棱錐的體積最大，當且僅當點到平面距離最大，易知，點是正方體意向到平面距離最大的點，錯誤；
對C：連接AC，，以B為圓心，為半徑畫弧，如圖1所示，
當點在線段和弧上時，直線與所成的角為，
又，
弧長度，故點的軌跡長度為，故正確；
對D；取的中點分別為，
連接，如圖2所示，
因為面面，故面，
，面面，故面；
又面，故平面面；
又，故平面與平面是同一個平面.
則點的軌跡為線段：
在三角形中，
則，故三角形是以為直角的直角三角形；
故，故長度的最大值為，故正確.故選：.
三?填空題（本大題共3小題，年小題5分，共15分）
12. 【解析】由題知：可取，若.則，即集合，得，郎的取值范圍為.
13. 【解析】因為.
14.2 【解析】.
當時，；當時，；
當時，和均為單調(diào)減函數(shù)，又在上是單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知為減函數(shù)，又，故函數(shù)在該區(qū)間上存在一個零點，該零點為函數(shù)的極值點；
從而函數(shù)在內(nèi)一共有2個極值點.
四?解答題（本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15.【解析】（1）由是直徑可知，則是是等腰直角三角形，故，
由圓柱的特征可知平面，又平面，所以，
因為平面，則平面，
而平面，則，
因為，則，
，
所以，
因為平面，
所以平面，又平面，故.
（2）由題意及（1）易知兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標系，
則，所以
，
由（1）知平面，故平面的一個法向量是
設是平面的一個法向量，
則有取，所以
設平面與平面夾角為，
所以，
則平面與平面夾角的余弦值為.
16.【解析】1）設“甲按‘A，B，C’的順序猜歌名至少猜對兩首歌名”為事件E，
則；
則的所有可能取值為，
所以；
則的所有可能取值為，
所以.
參考答案一：由于，
由于，所以應該安裝“”的順序猜歌名.
參考答案二：甲按“C，B，A”的順序猜歌名時，獲得0元的概率為0.5，大于按照“A，B，C”的順序猜歌名時獲得0元的概率，所以應孩按照“A，B，C”的順序猜歌名.
其他合理答案均給分，
17.【解析】（1）圖為函教的圖象關(guān)于點中心付稱，故為奪函數(shù)，
從而有，即.
，
.
所以解得故；
（2）法一：由（1）可知，，
當時，為單調(diào)增函教，，
，
函數(shù)有且僅有一個零點；
當時，有兩個正根，滿足，且，
數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，
函數(shù)有且僅有一個零點；
當時，有兩個零點
當時，有兩個根，滿足，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
函致有且僅有三個零點；
綜上，當時，函數(shù)有三個零點；當時，函數(shù)有兩個零點；當時，函數(shù)有一個零點
法二：由（1）可知，，今，則
可以轉(zhuǎn)化為與兩個這數(shù)圖象交點的個數(shù)，
今，則，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當單調(diào)遞增時，趁于；
當x趨于1且比1小時，趨于+∞：當x趨于1且比1大時，趨于：
當單調(diào)遞增時，趨于.
所以，當時，有三個交點；當時，有兩個交點；當時，有一個交點.
綜上，當時，函數(shù)有三個零點；當時，函數(shù)有兩個零點；當時，函數(shù)有一個零點.
注意，如果是保留參數(shù)b，則答案為：
當時，函數(shù)有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點；當時，函數(shù)有三個零點.
18.【解析】（1）由①，當時，②，
①-②得，
當時，，
是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故，
由③.由
得，又④.
④-③得，
的所有奇數(shù)項構(gòu)成首項為1，公差為2的等差數(shù)列：所有偶數(shù)項構(gòu)成首項為2，公差為2的等差數(shù)列.
得.
綜上：；
（2）（i）在和之間新入個數(shù)，使成等差數(shù)列，
設公差為，則，
則.
⑤
則⑥
⑤-⑥得：，
（ii）由（1），又，
由已知，
假設是數(shù)量列或中的一項，
不妨設，
因為，所以，而，
所以不可能是數(shù)列中的項.
假設是中的項，則.
當時，有，即，令，
當時，；當時，，由知無解.
當時，有，即.所以存在使得是數(shù)列中的第3項.
故存在正整數(shù)使得是數(shù)列中的第3項.
19.【解析】（1）由定義可知，與相切，則圓的圓心到直線的距離等于1，則，叔.
（2）點不在直線族的任意一條直線上，所以無論取何值時，無解.
將整理成關(guān)于的一元二次方程；
.
若該方程無解，則，即.
證明：在上任取一點在該點處的切線斜率為，于是可以得到在點處的切線方程為：，即.
今直線族中，則直線為，
所以該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線，
而對任意那是拋物線在點處的切線.
所以直線族的包絡曲線為.
（3）法一：已知，設，則.
.
由（2）知，在點處的切線方程為；同理在點處的切線方程為.
，所以.
因此，
同理：.
所以，
即，所以成立.
法二：過分別作準線的垂線，連接.
因為.
顯然.
又由拋物線定義得：，故為線段的中垂線，得到，即.
同理可知，
所以，即.
則.
所以成立.
歌曲
猜對的概率
0.8
0.5
0.5
獲得的獎勵基金金額/元
1000
2000
3000
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
D
C
B
D
A
A
題號
9
10
11
答案
AC
ABD
CD

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