四川省成都市武侯區(qū)四川大學附屬中學(西區(qū)學校)2022-2023學年九年級上學期期中數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

1. 如圖是一個“凹”字形幾何體，下列關(guān)于該幾何體的俯視圖畫法正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用三視圖畫法結(jié)合俯視圖的觀察角度得出答案．
【詳解】解：如圖所示，其俯視圖是：
．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了作三視圖，正確掌握俯視圖觀察角度是解題關(guān)鍵．
2. 已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是（）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定義及根的判別式列不等式a≠0且，從而求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：a≠0且，即
，
解得：且，
故選D．
【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．
3. 同一時刻，同一地點，在陽光下影長為0.4米的小王身高為1.6米，一棵樹的影長為3.2米，則這棵樹的高度為（）
A. 0.8米B. 6.4米C. 12.8米D. 25.6米
【答案】C
【解析】
【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個問題物體、影子、經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似．
【詳解】解：設(shè)樹的高度為h米
由題意可得：
解得：h＝12.8
故選：C．
【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于對相似三角形知識的熟練掌握．
4. 如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構(gòu)成，根據(jù)實際需要可以調(diào)節(jié)間的距離，若間的距離調(diào)節(jié)到60，菱形的邊長，則的度數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如圖（見解析），先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)全等的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．
【詳解】如圖，連接AC
四邊形ABCD是菱形
如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構(gòu)成，
是等邊三角形
故選：C．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識點，理解題意，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5. 如圖，四邊形的對角線，交于點O，且，，下列說法錯誤的是（）

A. 若，則是菱形B. 若，則是矩形
C. 若且，則是正方形D. 若，則是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)平行四邊形的判定證明是平行四邊形，再根據(jù)已知條件結(jié)合菱形、矩形及正方形的判定逐一判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
若，則四邊形是菱形，故A選項不符合題意；
若，則四邊形是矩形，故B選項不符合題意；
若且，則四邊形是正方形，故C選項不符合題意；
若，則四邊形是矩形，故D選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定、菱形的判定與矩形的判定、正方形的判定，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，兩個“E”字是位似圖形，位似中心點O，①號“E”與②號“E”的位似比為2：1．點P（﹣6，9）在①號“E”上，則點P在②號“E”上的對應(yīng)點Q的坐標為（）
A. （﹣3，）B. （﹣2，3）C. （﹣，3）D. （﹣3，2）
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算，得到答案．
【詳解】解：∵①號“E”與②號“E”是位似圖形，位似比為2：1，點P（﹣6，9），
∴點P在②號“E”上的對應(yīng)點Q的坐標為（﹣6×，9×），即（﹣3，），
故選：A．
【點睛】此題考查了位似變換的性質(zhì)：如果兩個圖形位似，那么任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比都等于位似比，任意一組對應(yīng)邊都互相平行（或在一條直線上），熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7. 如圖，中，P為邊AB上一點，下列選項中的條件，不能說明與相似的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要應(yīng)用兩三角形相似的判定定理，做題即可．
【詳解】解：、當，時，，故本選項不符合題意；
、當，時，，故本選項不符合題意；
、當，即時，結(jié)合可以判定，故本選項不符合題意；
、當時，不能判斷和相似．
故選：．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．
8. 在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y和y＝﹣kx+k（k≠0）的圖象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系作答，即可求解．
【詳解】解：A、當時，，反比例函數(shù)y位于第一、三象限，一次函數(shù)圖象經(jīng)過一、二、四象限，故本選項錯誤，不合題意；
B、當時，，反比例函數(shù)y位于第一、三象限，一次函數(shù)圖象經(jīng)過一、二、四象限，故本選項正確，符合題意；
C、當時，，反比例函數(shù)y位于第一、三象限，一次函數(shù)圖象經(jīng)過一、二、四象限，故本選項錯誤，不合題意；
D、當時，，反比例函數(shù)y位于第二、四象限，一次函數(shù)圖象經(jīng)過一、三、四象限，故本選項錯誤，不合題意；
故選：B
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（每小題4分，共20分）
9. 若（b+d≠0），則=________
【答案】
【解析】
【詳解】由題意得：b=3a，d=3c，
∴===.
故答案為.
10. 已知，則銳角α的度數(shù)是 ________．
【答案】50°
【解析】
【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是掌握特殊角的正弦值．根據(jù)題意由特殊角的正弦值，即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴銳角α的度數(shù)是，
故答案為：．
11. 如圖，某河堤的橫截面是梯形，，迎水面長26，且斜坡的坡比（即）為12:5，則河堤的高為__________．
【答案】24cm
【解析】
【分析】根據(jù)坡比（即）為12:5，設(shè)BE=12x，AE=5x，因為AB=26cm，根據(jù)勾股定理列出方程即可求解.
【詳解】解：設(shè)BE=12x，AE=5x，
∵AB=26cm，
∴
∴BE=2×12=24cm
故答案為：24cm.
【點睛】本題主要考查的是坡比以及勾股定理，找出圖中的直角三角形在根據(jù)勾股定理列出方程即可求解.
12. 如圖，在平面直角坐標系中，直線（為常數(shù)）與反比例函數(shù)，的圖象分別交于點A，B，連接，若的面積為，則的值是 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義求解即可,解題的關(guān)鍵是理解反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義．
【詳解】解：如圖，設(shè)直線（為常數(shù)）交軸于,
∵軸，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
13. 如圖，在矩形中，按以下步驟作圖：①分別以點和點為圓心的長為半徑作弧，兩弧相交于點和，②作直線交于，若,，則該矩形的周長為_______．
【答案】24
【解析】
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)．連接，如圖，利用基本作圖得到垂直平分，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，然后利用勾股定理計算出，從而得到矩形的周長．
【詳解】連接，如圖，
由作法得垂直平分，
在中，
所以該矩形的周長為．
故答案24．
三、解答題（本大題共5個小題，共48分）
14. （1）計算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本題考查實數(shù)的運算及解一元二次方程．
（1）根據(jù)非零數(shù)的零次冪等于1，特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的性質(zhì)，負整數(shù)指數(shù)冪的定義以及二次根式的性質(zhì)計算即可；
（2）用因式分解解即可．
【詳解】解：（1）原式
；
（2）
或
，．
15. 學校實施新課程改革以來，學生學習能力有了很大提高，陳老師為進一步了解本班學生自主學習、合作交流的現(xiàn)狀，把調(diào)查結(jié)果分成四類（A：特別好，B：好，C：一般，D：較差）．并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

（1）本次調(diào)查中，陳老師一共調(diào)查了名學生；
（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；扇形統(tǒng)計圖中D類學生所對應(yīng)的圓心角是度；
（3）為了共同進步，陳老師從被調(diào)查的A類和D類學生中分別選取一名學生進行“兵教兵”互助學習，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）20 （2）36；補充條形統(tǒng)計圖見詳解
（3）列表見解析，
【解析】
【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖．
（1）由題意可得：陳老師一共調(diào)查學生：（名）；
（2）由題意可得：C類女生：（名），D類男生：（名），繼而可補全條形統(tǒng)計圖；
（3）首先根據(jù)題意列出表格，再利用表格求得所有等可能的結(jié)果與恰好選中一名男生和一名女生的情況，繼而求得答案．
【小問1詳解】
陳老師一共調(diào)查學生：（名）；
故答案為：20
【小問2詳解】
C類學生人數(shù)：（名），
C類女生人數(shù)：（名），
D類學生占的百分比：，
D類學生人數(shù)：（名），
D類男生人數(shù)：（名），，
補充條形統(tǒng)計圖如圖，

故答案為：36；
【小問3詳解】
列表如下，A類學生中的兩名女生分別記為和，
共有6種等可能的結(jié)果，其中符合條件的有3種，所以所選兩位同學恰好是一位男生和一位女生的概率為．
16. 某校開展綜合實踐活動，測量太陽能路燈電池板離地面的高度，如圖，已知測角器的高度為米，在測點A處安置測角器，測得點M的仰角，在與A點相距米的測點D處安置測角器，測得點M的仰角（點A，D與N在同一條直線上），求電池板離地面的高度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）．
【答案】8米
【解析】
【分析】本題考查了仰角和俯角的應(yīng)用，過延長交于點F，設(shè)米，構(gòu)造出直角三角形，并正確解直角三角形求解即可．
【詳解】解：如圖，延長交于點F，
設(shè)米，
根據(jù)題意，得到四邊形是矩形，四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴（米），（米），
在中，，
∴，
解得
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
∴（米），
答：電池板離地面高度約為8米．
17. 如圖，在中，是邊上中線，點是的中點，過點作交的延長線于，交于，連接，
（1）求證：；
（2）若，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）證明見解析
（2）四邊形是菱形，理由見解析
【解析】
【分析】（1）由“”證得，即可得出結(jié)論；
（2）先證明四邊形是平行四邊形，再證明鄰邊相等，即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
證明：∵點是的中點，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：四邊形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
∵是邊上的中線，
∴，
∴，
又，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，是邊上的中線，
∴，
∴四邊形是菱形．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定是解題的關(guān)鍵．
18. 如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于，且，過點作軸于點，連接．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，以及點的坐標；
（2）將沿軸向左平移，對應(yīng)得，當反比例函數(shù)圖象經(jīng)過的中點時；求的面積
（3）在第二象限內(nèi)點上方的雙曲線上求一點，使得．
【答案】（1），，點
（2）
（3）
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)的綜合知識．
（1）利用待定系數(shù)法求解析式，將已知點代入即可；
（2）由平移的性質(zhì)可得的中點的縱坐標，由，可求點坐標，由三角形的面積公式可求解；
（3）由勾股定理可求點E坐標，利用待定系數(shù)法可求直線的解析式，聯(lián)立方程組可求解．
【小問1詳解】
一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于
，
，
一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)的解析式為
由得
，
【小問2詳解】
如圖，連接，
軸
的中點坐標為
將沿軸向左平移，對應(yīng)得
的中點的縱坐標為
平移的長度為
;
【小問3詳解】
如圖，過點作軸于，作，交雙曲線于點，
,
,
,即點P為所求
四邊形是矩形
,
設(shè)直線的解析式為
直線的解析式為
由得
點在第二象限
．
四、填空題（每小題4分，共20分）
19. 已知a，b是方程的兩個實數(shù)根，則的值是 _________．
【答案】2022
【解析】
【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系，可得出，再將其代入中，即可求出結(jié)論．
【詳解】解：∵a是方程的兩個實數(shù)根，
∴，
∴．
∵a，b是方程的兩個實數(shù)根，
∴，
∴．
故答案為：2022．
20. 已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0，從-1，2，3三個數(shù)中任取一個數(shù)，作為方程中b的值，再從剩下的兩個數(shù)中任取一個數(shù)作為方程中c的值，能使該一元二次方程有實數(shù)根的概率是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先利用樹狀圖展示所有6種等可能的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)判別式的意義得到當b=2，c=-1；b=3，c=-1；b=3，c=2時，該一元二次方程有實數(shù)根，然后根據(jù)概率公式計算．
【詳解】解：畫樹狀圖為：
，
共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，
因為b2-4c≥0，
所以能使該一元二次方程有實數(shù)根占3種，
b=2，c=-1；
b=3，c=-1；
b=3，c=2，
所以能使該一元二次方程有實數(shù)根的概率=，
故答案為：．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．也考查了根的判別式．
21. 符合黃金分割比例形式的圖形很容易使人產(chǎn)生視覺上的美感．如圖所示的五角星中，AD＝BC，且C、D兩點都是AB的黃金分割點，若CD＝1，則AB的長是_______________．
【答案】＋2
【解析】
【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得：，，從而可AC+BD=AB+CD=（﹣1）AB，故可求得AB的長．
【詳解】∵C、D兩點都是AB的黃金分割點，
∴AC＝AB，BD＝AB，
∴AC＋BD＝（﹣1）AB，
即AB＋CD＝（﹣1）AB，
∵CD=1，
∴AB＝＋2，
故答案為：＋2．
【點睛】本題考查黃金分割的含義，關(guān)鍵是根據(jù)C、D都是黃金分割點，從而得出AB+CD=（﹣1）AB．
22. 如圖，M為雙曲線（）上的一點，分別交直線于點D、C兩點．若直線與y軸交于點A，與x軸交于點B，則的值為_____．
【答案】6
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象是雙曲線，圖象上的點的橫縱坐標的積是定值k，即．
過點M作x軸、y軸的垂線，垂足分別為G、H，作軸于E，軸于F，先證明為等腰直角三角形，則判斷和都為等腰直角三角形，所以，，則，設(shè)，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到，從而得到的值．
【詳解】解：過點M作x軸、y軸的垂線，垂足分別為G、H，作軸于E，軸于F，
則四邊形，四邊形都是矩形，
∴，
∵直線與y軸交于點A，與x軸交于點B，
∴，，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴和都為等腰直角三角形，
∴，，
∴，
設(shè)，則，
故
∴．
故答案為：6．
23. 如圖，在中，，，，點D為邊上一個動點，以為邊在的上方作正方形，則的最小值是 __________________，此時的長為 __________________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，先作于M，證明，可得，設(shè)，根據(jù)勾股定理求出邊長，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可，正確理解題意，搞清楚數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：作于M，如圖所示：
，
∴，
在正方形中，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∵中，，
由勾股定理得：，
∴，
∴在中，
根據(jù)勾股定理可得：，
即
當時取最小值為：，
即的最小值為，
故答案為：；．
五、解答題（3個小題，共30分）
24. 直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價每降低5元，日銷售量增加10件．
（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應(yīng)定為多少元？
（2）小明的線下實體商店也銷售同款小商品，標價為每件62.5元．為提高市場競爭力，促進線下銷售，小明決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過（1）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？
【答案】（1）50元；（2）八折
【解析】
【分析】（1）設(shè)每件的售價定為x元，根據(jù)利潤不變，列出關(guān)于x的一元二次方程，求解即可；
（2）設(shè)該商品至少打m折，根據(jù)銷售價格不超過（1）中的售價列出一元一次不等式，解不等式即可．
【詳解】解：（1）設(shè)每件的售價定為x元，
則有：，
解得：(舍)，
答：每件售價為50元；
（2）設(shè)該商品至少打m折，
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：至少打八折銷售價格不超過50元．
【點睛】本題主要考查一元二次方程的實際應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，找準等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵．
25. 如圖，正方形的邊長為4，點E，F(xiàn)分別在，上，且，的延長線交的延長線于點，的延長線交的延長線于點，連接，，．
（1）填空： ______ ；（填“”或“”或“”）
（2）線段什么關(guān)系？請說明理由；
（3）當是等腰三角形時，求的長．
【答案】（1）
（2），理由見解答
（3）2或或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，利用外角的性質(zhì)和已知條件即可求出；
（2）證明得出結(jié)論；
（3）根據(jù)是等腰三角形分類討論：當時，先證，即可求出，，再利用平行可得：，再利用與的和為4即可求出；當時，方法同上；當時，先證，在上取一點，使得，可證，設(shè)，則，再利用勾股定理即可求出，再利用與的和為即可求出．
【小問1詳解】
解：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，，
∴．
故答案為：．
【小問2詳解】
解：，理由如下：
∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴．
【小問3詳解】
解：如圖1中，當時，
∵
∴
∴
∵
∴
在和中
∴，
可得，，
∵，
∴，
∴．
如圖2中，當時，
∵
∴
∴
∵
∴
在和中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
如圖3中，當時，
由（2）中，
∴，
∴
∴
∴．
在上取一點，使得，
∴，
∵，
∴，
∴，設(shè)，則，
∴，
解得：，
∴，
綜上所述，滿足條件的的值為或或．
【點睛】此題考查的是正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的定義，分類討論，解決此題的關(guān)鍵是畫出每種分類討論下的圖形，利用已知條件推出各個邊或角之間的關(guān)系，利用相似或勾股定理求邊．
26. 如圖，在矩形中，，，是上的一個動點．

（1）如圖1，連接，是對角線的中點，連接．當時，求的長；
（2）如圖2，連接，，過點作交于點，連接，與交于點．當平分時，求的長
（3）如圖3，連接，點在上，將矩形沿直線折疊，折疊后點落在上的點處，過點作于點，與交于點，且．求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出，進而求出，再判斷出，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出，進而求出，再判斷出，進而求出，最后用勾股定理即可得出結(jié)論；
（3）先求出，再求出，根據(jù)勾股定理求出，，再判斷出，，列比例式，并根據(jù)同高三角形面積的比等于對應(yīng)底邊的比，可得結(jié)論．
【小問1詳解】
如圖1，連接，

在矩形中，，，，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
是中點，
，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，
即：；
【小問2詳解】
如圖2，在矩形中，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如圖2，過點作于，

，
，，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，
在中，；
【小問3詳解】
如圖3，在矩形中，，

，，
，
，
，
由折疊知，，，，
，
設(shè)，
，
根據(jù)勾股定理得，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點睛】此題是四邊形和相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的定義，熟練掌握判定兩三角形相似的方法是解本題的關(guān)鍵．
．
女
女
男A
男D
女男D
女男D
男A男D
女D
女女D
女女D
男A女D

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