一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合的交集運(yùn)算直接求解.
【詳解】，，，
故選：A.
2. 已知函數(shù)，則（ ）
A. B. 3C. D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，可得答案.
【詳解】，.
故選：D.
3. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上是增函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)奇偶性的定義即可求解.
【詳解】解：對(duì)A：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，不具有奇偶性，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)B：因?yàn)?，所以為奇函?shù)，又根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)知在上是增函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)C：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)D：因?yàn)樵谏蠝p函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：B.
4. 已知命題，則 的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題求解.
【詳解】全稱命題的否定為特稱命題,方法是：變量詞，否結(jié)論.
的否定是： .
故選:
5. 5張卡片上分別寫有數(shù)字0，1，2，3，4，從中任意抽取一張，抽到的卡片上的數(shù)字為奇數(shù)的概率是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；
【詳解】解：5張卡片中卡片上的數(shù)字為奇數(shù)的有張，從中任意抽取一張，抽到的卡片上的數(shù)字為奇數(shù)的概率是；
故選：C
6. 設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】解：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
故選：C.
7. 函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因?yàn)闉樵龊瘮?shù),故代入?yún)^(qū)間端點(diǎn)逐個(gè)計(jì)算,左負(fù)右正即可.
【詳解】因?yàn)闉樵龊瘮?shù),且,
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).
故選B
【點(diǎn)睛】本題主要考查零點(diǎn)存性定理.屬于基礎(chǔ)題型.
8. 若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本題可根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增列出不等式組，然后通過計(jì)算即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)時(shí)，既要注意每一個(gè)區(qū)間內(nèi)的函數(shù)的單調(diào)性，也要注意相鄰兩個(gè)區(qū)間的函數(shù)解析式之間的關(guān)系.
二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 對(duì)于樣本數(shù)據(jù)5，2，7，9，8，11，說法正確的是（ ）
A. 中位數(shù)為7B. 中位數(shù)為7.5C. 極差為9D. 方差為2
【答案】BC
【解析】
【分析】AB選項(xiàng)，將數(shù)據(jù)從小到大排列，從而利用中位數(shù)的定義進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，利用極差的定義計(jì)算即可；D選項(xiàng)，先計(jì)算出平均數(shù)，從而計(jì)算出方差.
【詳解】AB選項(xiàng)，按照從小到大排序如下：2,5,7,8,9,11，共6個(gè)數(shù)據(jù)，所以第3和第4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為中位數(shù)，即，A錯(cuò)誤，B正確；
C選項(xiàng)，極差為，C正確；
D選項(xiàng)，平均數(shù)為，故方差為，D錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一函數(shù)的是（ ）
A. B. y=t+1C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】函數(shù)的定義域是.選項(xiàng)AC函數(shù)與已知函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)，選項(xiàng)BD滿足同一函數(shù)的定義，所以是同一函數(shù).
【詳解】解：兩個(gè)函數(shù)只有定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同，兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù).
函數(shù)的定義域是.
的定義域?yàn)榕c的定義域不同，所以不是同一函數(shù)；
與的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域都相同，所以兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)；
與的定義域不同，所以兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；
與的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域都相同，所以函數(shù)為同一函數(shù).
故選：BD．
11. 甲、乙兩人進(jìn)行1次投籃，已知他們命中的概率分別為和，且他們是否命中相互獨(dú)立，則（ ）
A. 恰好有1人命中的概率為B. 恰好有1人命中的概率為
C. 至少有1人命中的概率為D. 至少有1人命中的概率為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式求得正確答案.
【詳解】由題可知，恰有1人命中的概率為，A正確，B不正確．
2人均未命中的概率為，故至少有1人命中的概率為，C正確，D不正確．
故選：AC
12. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的定義域?yàn)锽. 函數(shù)是偶函數(shù)
C. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D. 函數(shù)值域?yàn)?br>【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)有意義求解函數(shù)的定義域，進(jìn)而判斷AC選項(xiàng)；結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷B選項(xiàng)；結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)值域，進(jìn)而判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，由，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蔄C錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由A知函數(shù)的定義域?yàn)?，又?br>所以函數(shù)是偶函數(shù)，故B正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋瑒t，
所以函數(shù)值域?yàn)椋蔇正確.
故選：BD.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 如果事件A與事件B互斥，，那么_________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率公式即可得解.
【詳解】因?yàn)槭录嗀與事件B互斥，，
所以.
故答案為：.
14. 已知集合，若，則實(shí)數(shù)________．
【答案】
【解析】
【分析】利用元素與集合的關(guān)系可得出關(guān)于的等式，解之即可.
【詳解】因?yàn)榧?，若，則，解得.
故答案為：.
15. 已知，則 _________________
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念直接求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?，解得?br>故答案為：
16. 已知15個(gè)數(shù)，，…，的平均數(shù)為6，方差為9，現(xiàn)從中剔除，，，，這5個(gè)數(shù)，且剔除的這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為8，方差為5，則剩余的10個(gè)數(shù)，，…，的方差__________．
【答案】8
【解析】
【分析】先求出剩余10個(gè)數(shù)的平均數(shù)，進(jìn)而根據(jù)方差公式得出的值，即可得出答案.
【詳解】由題意知，，，
所以，
所以剩余的10個(gè)數(shù)的平均數(shù)為．
根據(jù)方差公式得，
，，
即，，
所以，
所以剩余的10個(gè)數(shù)的方差為．
故答案為：8.
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 計(jì)算：
（1）
（2）
【答案】（1）； （2）．
【解析】
【分析】
（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出；
（2）利用根式與指數(shù)冪的互化、指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)恒等式化簡求值．
【詳解】解：（1）；
（2）
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查根式與指數(shù)式的互化，考查對(duì)數(shù)恒等式，屬于基礎(chǔ)題．
18. 解關(guān)于的不等式.
【答案】若，解集為；若，解集為；若，解集為
【解析】
【分析】找到不等式兩個(gè)根和，通過討論和1的大小解不等式即可．
【詳解】不等式兩個(gè)根為和．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
綜上所述：若，解集為；若，解集為；若，解集為
【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)解不等式，關(guān)鍵點(diǎn)比較兩個(gè)根的大小就能較易寫出解集，屬于簡單題目．
19. 已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|m－4≤x≤3m＋1}．
（1）求A；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，求m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解出即可；
（2）由題意知若“”是“”的充分不必要條件則集合是集合的真子集，從而求出m的取值范圍，討論即可.
【小問1詳解】
由，
所以，即集合.
【小問2詳解】
若“”是“”的充分不必要條件
則集合是集合的真子集，
由集合不是空集，故集合也不是空集
所以有
當(dāng)，滿足題意，
當(dāng)，滿足題意，
故，即m的取值范圍為：.
20. 某校組織全體學(xué)生參加“數(shù)學(xué)以我為傲”知識(shí)競賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：
（1）試估計(jì)這100名學(xué)生得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）；
（2）現(xiàn)在按分層抽樣的方法在[80，90）和[90，100]兩組中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人參加這次競賽的交流會(huì)，求兩人都在[90，100]的概率．
【答案】（1）70.5
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接代入平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；
（2）根據(jù)分層抽樣在分組中抽取的人數(shù)為人，在分組中抽取的人數(shù)為2人，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，可得這100名學(xué)生得分的平均數(shù)：
分．
【小問2詳解】
在和兩組中的人數(shù)分別為：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，
所以在分組中抽取的人數(shù)為人，記為a，b，c，
在分組中抽取的人數(shù)為2人，記為1，2，
所以這5人中隨機(jī)抽取2人的情況有：，共10種取法，
其中兩人得分都在的情況只有，共有1種，
所以兩人得分都在的概率為．
21. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）用定義證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求出，再由求出，即可得到函數(shù)解析式，再檢驗(yàn)即可；
（2）利用作差法證明即可.
【小問1詳解】
函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，
，而，解得，
，則的定義域?yàn)榍遥?br>即為奇函數(shù)，符合題意.
【小問2詳解】
函數(shù)上單調(diào)遞增，證明如下：
任意且，
則，
因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以?br>所以，即，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)；
22. 某企業(yè)生產(chǎn)某種電子設(shè)備的年固定成本為500（萬元），每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入成本（萬元），當(dāng)年產(chǎn)量不足60臺(tái)時(shí)，（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于60臺(tái)時(shí)，，若每臺(tái)售價(jià)為100（萬元）時(shí)，該廠當(dāng)年生產(chǎn)的該電子設(shè)備能全部銷售完.
（1）寫出年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一電子設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤最大？
【答案】（1）；（2）年產(chǎn)量為70臺(tái)時(shí)，該企業(yè)的設(shè)備的生產(chǎn)中所獲得利潤最大為1300（萬元）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)年利潤的定義，銷售收入減固定成本為500（萬元）減每生產(chǎn)x臺(tái)，投入成本（萬元）求解。
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求每一段的最大值，取最大的為分段函數(shù)的最大值.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，有
當(dāng)時(shí)，有，
∴；
（2）由（1）可得：當(dāng)時(shí)，有，
∴時(shí)，y取得最大值為1100（萬元），
當(dāng)時(shí)，有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）
即當(dāng)時(shí)y取得最大值為1300（萬元）
綜上可得：年產(chǎn)量為70臺(tái)時(shí)，該企業(yè)的設(shè)備的生產(chǎn)中所獲得利潤最大為1300（萬元）.
【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，還考查了數(shù)學(xué)建模和解模的能力，屬于中檔題.

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