一?單選題（每小題5分）
1. 已知集合，則（ ）
A B.
C. D.
2. 函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，則（ ）
A. 2B. C. 1D. 0
3. 函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B.
C D.
4. 函數(shù)的大致圖象是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)于任意均有成立，若，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A B.
C. D.
7. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)不同零點(diǎn)，，，，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
二?多選題（每小題6分）
9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分條件
B. “冪函數(shù)在上單調(diào)遞減”的充要條件為“”
C. 命題的否定為：
D. 已知一扇形的圓心角，且其所在圓的半徑，則扇形的弧長(zhǎng)為
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的一個(gè)周期為2B. 的定義域是
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
11. 已知關(guān)于的不等式的解集為，，，則（ ）
A.
B.
C. 的解集是
D. 的解集是或
三?填空題（每小題5分）
12. 已知，則__________.
13. 已知，且，則的最小值為_(kāi)_______.
14. 已知函數(shù)在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________．
四?解答題
15. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域．
16. 已知函數(shù)奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求關(guān)于的不等式的解集；
（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
高一數(shù)學(xué)寒假作業(yè)驗(yàn)收卷
（考試時(shí)間：16：30-17：30共一個(gè)小時(shí)，總分110分）
一?單選題（每小題5分）
1. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】先求出集合中元素范圍，再求交集即可.
【詳解】，
，
則.
故選：C.
2. 函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，則（ ）
A. 2B. C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】利用定義結(jié)合分段函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知.
故選：C
3. 函數(shù)定義域?yàn)椋? ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題可得，即可解出定義域.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以要使函數(shù)有意義，
則，解得且，
所以的定義域?yàn)椋?br>故選：B.
4. 函數(shù)的大致圖象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用單調(diào)性、最值結(jié)合圖象可得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，減函數(shù)，排除AD；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值2，故排除C.
B選項(xiàng)的圖象符合題意.
故選：B.
5. 下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二分法求零點(diǎn)的要求，逐一分析各選項(xiàng)即可得解.
【詳解】不能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)，要么沒(méi)有零點(diǎn)，要么零點(diǎn)兩側(cè)同號(hào)；
對(duì)于A，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，故可用二分法求零點(diǎn)；
對(duì)于B，有唯一零點(diǎn)，
但恒成立，故不可用二分法求零點(diǎn)；
對(duì)于C，有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在每個(gè)零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，故可用二分法求零點(diǎn)；
對(duì)于D，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，故可用二分法求零點(diǎn).
故選：B.
6. 函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)于任意均有成立，若，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意，可知在上單調(diào)遞減，又，所以,解不等式即可得解.
【詳解】由題意,，不失一般性不妨假設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，
又，所以,
解不等式得,則正實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：B.
7. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正弦的和差角公式展開(kāi)可計(jì)算出，把轉(zhuǎn)化成齊次式再運(yùn)用弦化切的思想即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?，得?br>顯然，所以，而，
故選：B
8. 已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得函數(shù)與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)與的圖象如圖所示，然后結(jié)合圖象逐個(gè)分析判斷即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以有四個(gè)不同的解，即函數(shù)與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
作出函數(shù)與的圖象如圖所示：
又時(shí)，，由圖象可得，故B不正確，
由，得或，所以由圖象可得，故A正確；
由圖象可得，所以，即，
即，所以，故C錯(cuò)誤；
又，關(guān)于對(duì)稱，故，故D錯(cuò)誤，
故選：A.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，然后作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象分析判斷，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.
二?多選題（每小題6分）
9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分條件
B. “冪函數(shù)在上單調(diào)遞減”的充要條件為“”
C. 命題的否定為：
D. 已知一扇形的圓心角，且其所在圓的半徑，則扇形的弧長(zhǎng)為
【答案】AD
【解析】
【分析】由充分必要條件舉例可得到A正確；由冪函數(shù)的單調(diào)性可得到B錯(cuò)誤；由全稱與特稱命題的性質(zhì)可得到C錯(cuò)誤；由弧長(zhǎng)公式可得到D正確.
【詳解】A：，可以是，所以充分性不成立；若，則恒成立，所以必要性成立，故A正確；
B：由題意可知，又冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故B錯(cuò)誤；
C：命題的否定為：，故C錯(cuò)誤；
D：扇形的圓心角，所以由弧長(zhǎng)公式可知弧長(zhǎng)為，故D正確.
故選：AD
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的一個(gè)周期為2B. 的定義域是
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，由可知其最小正周期，故A正確；
對(duì)于B，由可知，
故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由可知，
此時(shí)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；
對(duì)于D，由可知，
又上遞增，顯然，故D正確.
故選：ACD
11. 已知關(guān)于的不等式的解集為，，，則（ ）
A.
B.
C. 的解集是
D. 的解集是或
【答案】CD
【解析】
【分析】由題意可得1和5是方程的兩根，且，利用韋達(dá)定理可得與的關(guān)系，然后逐項(xiàng)判斷可得答案.
【詳解】由題意可得和5是方程的兩根，且，
由韋達(dá)定理可得，得，
對(duì)于A，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，不等式，即，即，得，
∴不等式的解集是，故C正確；
對(duì)于D，由不等式，得，即，
則，得或，即解集為或，故D正確.
故選：CD.
三?填空題（每小題5分）
12. 已知，則__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得，再結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又由.
故答案為：.
13. 已知，且，則的最小值為_(kāi)_______.
【答案】##
【解析】
【分析】構(gòu)造基本不等式“1”的代換，求出最小值.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
所以的最小值為 .
故答案為：
14. 已知函數(shù)在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求的取值范圍，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象，列式求的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)樵谏嫌星覂H有2個(gè)零點(diǎn)，所以，，解得．
故答案為：
四?解答題
15. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角恒等變換化簡(jiǎn)的解析式，再利用單調(diào)性質(zhì)求解；
（2）由圖象變換得解析式，再利用整體法求值域.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>令，得,
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．
【小問(wèn)2詳解】
將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到，
再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變得到，
當(dāng)，故，
所以值域?yàn)椋?br>16. 已知函數(shù)為奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求關(guān)于的不等式的解集；
（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）由奇函數(shù)定義計(jì)算即可得；
（2）可結(jié)合函數(shù)單調(diào)性計(jì)算，亦可借助換元法解不等式；
（3）計(jì)算出及的值域后，對(duì)任意的，總存在，使得成立即為的值域?yàn)榈闹涤虻淖蛹?，?jì)算即可得.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，
即在定義域上恒成立，
整理得，故；
【小問(wèn)2詳解】
解法一：由（Ⅰ）知，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，解得；
所以此時(shí)不等式的解集為；
解法二：因?yàn)椋?br>令，則可化簡(jiǎn)為，
即，即，
解得，即．
所以此時(shí)不等式的解集為．
【小問(wèn)3詳解】
由（Ⅰ）得在的值域，
又，，
設(shè)，，則，
當(dāng)時(shí)，取最小值為，當(dāng)時(shí)，取最大值為，
即在上的值域，
又對(duì)任意的，總存在，使得成立，即，
所以，解得．

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