1．答卷前，考生務必將自己的考生號、姓名、考點學校、考場號及座位號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知拋物線的標準方程是，則它的準線方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線方程與準線的關系，可得答案.
【詳解】因為，所以，所以拋物線的準線方程為.
故選：A.
2. 已知集合，則下列命題正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合A，根據(jù)集合的運算與集合關系判斷.
【詳解】因為，所以，
對A：，故錯誤；
對B：，故正確；
對C：，故錯誤；
對D：，故錯誤；
故選：B
3. 若函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】當時，則，
則，解得，
此時，
當時，所以，符合題意.
所以.
故選：C
4. 已知數(shù)列的前n項和為，則（ ）
A. 81B. 162C. 243D. 486
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用列式計算即得.
【詳解】數(shù)列的前n項和為，所以.
故選：B
5. 若，則（ ）
A. B. 40C. 41D. 82
【答案】C
【解析】
【分析】利用賦值法求出、，從而解得.
【詳解】因為，
令，可得，
令，可得，
兩式相加可得.
故選：C
6. 已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程.
詳解】函數(shù)，求導得，則，而，
所以所求切線方程為，即.
故選：D
7. 若直線經(jīng)過點，則直線l在x軸和y軸上的截距之和取最小值時，（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再結合基本不等式即可得到當取最小值的條件，即可得到結果.
【詳解】因為直線經(jīng)過點，則，
則，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以直線l在x軸和y軸上的截距之和取最小值為，
此時，則.
故選：D
8. 已知經(jīng)過圓錐的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出圓錐的軸的截面，根據(jù)題意推出上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的半徑之比為，從而可得上部分圓錐的體積與圓錐的體積之比為，從而可得解．
【詳解】如圖，作出圓錐的軸截面，
設上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的球心分別為，，半徑分別為，，
即，，
根據(jù)題意可知為正三角形，易知，圓錐的底面半徑，
，又，
，，
上部分圓錐的底面半徑為，高為，
又圓錐的底面半徑為，高為，
上部分圓錐的體積與圓錐的體積之比為，
上、下兩部分幾何體的體積之比是．
故選：C．
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是找到上、下底面的半徑的關系，從而得到兩圓錐的體積之比.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知復數(shù)，（其中是虛數(shù)單位，，），若為純虛數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，再根據(jù)復數(shù)的概念得到條件.
【詳解】因為，，
所以，
又為純虛數(shù)，所以，即且.
故選：AC
10. 為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：
根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結論中正確的是（ ）
A. 該地農(nóng)戶家庭年收入的極差為12
B. 估計該地農(nóng)戶家庭年收入的75%分位數(shù)約為9
C. 估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
D. 估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值超過6.5萬元
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，求出極差、75%分位數(shù)、平均數(shù)判斷ABD；求出數(shù)據(jù)在內(nèi)的頻率判斷C.
【詳解】觀察頻率分布直方圖，
對于A，該地農(nóng)戶家庭年收入的極差約為，A錯誤；
對于B，數(shù)據(jù)在的頻率為，
數(shù)據(jù)在的頻率為，因此75%分位數(shù)，，解得，B正確；
對于C，數(shù)據(jù)在內(nèi)的頻率為，C正確；
對于D，庭年收入的平均值
（萬元），D正確.
故選：BCD
11. 高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函數(shù)為，表示不超過x的最大整數(shù)，例如，．下列命題中正確的有（ ）
A. ，
B. ，，
C. ，
D. ，
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)給定的定義，結合存在量詞命題、全稱量詞命題的真假判斷方法逐項分析即得.
【詳解】對于A，當時，，當時，，而，
因此，A錯誤；
對于B，，，令，則，，
因此，B正確；
對于C，取，，則，，
顯然，C錯誤；
對于D，，當時，，當時，，而，
因此，此時，D正確.
故選：BD
【點睛】方法點睛：判斷全稱量詞命題為真、存在量詞命題為假必須推理論證；判斷全稱量詞命題為假、存在量詞命題為真只需舉例說明.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則
________；________.
【答案】 ①. 0 ②. 3
【解析】
【分析】根據(jù)坐標求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標運算直接計算即可.
【詳解】以交點為坐標原點，建立直角坐標系如圖所示：
則，
，，
.
故答案為：0；3.
13. 袋中有個紅球，個黃球，個綠球．現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，則______．
【答案】
【解析】
【分析】記取出的兩個球都是紅球為事件，則，即可求出，從而得到的可能取值為、、，求出所對應的概率，即可求出數(shù)學期望.
【詳解】依題意、為非負整數(shù)，記取出的兩個球都是紅球為事件，則，
所以，解得或（舍去），
所以可能取值為、、，
則，，，
所以.
故答案為：
14. 已知過雙曲線左焦點且傾斜角為60°的直線與C交于點A，與y軸交于點B，且A是的中點，則C的離心率為______.
【答案】##
【解析】
【分析】先利用斜率和點求出直線的方程，令得B的坐標，利用中點坐標關系求出點A的坐標，將A的坐標代入雙曲線方程，結合離心率定義及范圍，計算即可求解.
【詳解】由題意，，所以直線的方程為，
令得，因為A是中點，所以，
將點代入得，
結合化簡得，所以，
所以或，所以或，
又，所以，所以.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知橢圓的左，右焦點分別為，，上頂點為，且．
（1）求的離心率；
（2）射線與交于點，且，求的周長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，可得，的關系，進而求出橢圓的離心率；
（2）由（1）可得與，與的關系，設直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得點的坐標，求出的表達式，由題意可得，的值，由橢圓的性質(zhì)可得的周長為，即求出三角形的周長．
【小問1詳解】
依題意可得上頂點，左，右焦點分別為，，
所以，，
又，
所以，即，即，
所以，所以離心率；
【小問2詳解】
由（1）可得，，則橢圓方程為，
射線的方程為，
聯(lián)立，整理可得，
解得或，則，即，
所以，解得，則，
所以的周長．
16. 記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求；
（2）若，再從條件①，條件②，條件③中選擇一個條件作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，并求的面積．
條件① ：；條件② ：；條件③ ：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】（1）；
（2）答案見解析.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結合同角公式計算即得.
（2）選擇條件①，利用余弦定理及三角形面積公式計算求解；選擇條件②，利用正弦定理計算判斷三角形不唯一；選擇條件③，利用正弦定理計算判斷，再求出三角形面積.
【小問1詳解】
由得：，而，
則，為銳角，又，解得，
所以且為銳角.
小問2詳解】
若選條件①，由，為銳角，得，
由余弦定理得，又，則，
解得唯一確定，所以.
若選條件②，由正弦定理得，則，
由，得，因此角有兩解，分別對應兩個三角形，不符合題意.
若選條件③，由，為銳角，得，
又，得，，則，
因此唯一確定，
由正弦定理得，則，所以.
17. 在四棱錐中，平面底面，．
（1）是否一定成立？若是，請證明，若不是，請給出理由；
（2）若是正三角形，且是正三棱錐，，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）不一定，理由見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）過點作的垂線交于點，由面面垂直的性質(zhì)得到底面，舉出反例當，即點與點重合時，均可得得到.
（2）依題意可得點為的中點，再由線面垂直的性質(zhì)得到，從而得到平面，設，則為的中點，作，則底面，如圖建立空間直角坐標，利用空間向量法計算可得.
【小問1詳解】
因為平面底面，過點作的垂線交于點，
又平面底面，平面，所以底面，
若，則點與點重合，即底面，
所以垂直平面內(nèi)任意直線，即與無論何種位置關系，都有，
所以不一定成立.
【小問2詳解】
因為是正三角形，則點為的中點，
由（1）底面，又底面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，又是正三棱錐，即為等邊三角形，
設，則為的中點，作，則底面，
如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，
所以，，，，
設平面的法向量為，則，取，
設平面的法向量為，則，取，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
18. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值；
（2）函數(shù)；若方程在上存在實根，試比較與的大?。?br>【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性與極值；
（2）利用導數(shù)說明的單調(diào)性，即可得到，，令，則方程在，上存在實根，結合（1）中函數(shù)的單調(diào)性，可得，即，則，令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而得解.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，
又，
當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無極值，
當時，令，解得，
所以當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增，
所以當時，取到極小值，無極大值，
綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增，無極值，
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值為，無極大值．
【小問2詳解】
因為，，
則，
令，解得或（舍），
所以當時，單調(diào)遞增，
所以，即，
令，，則，
若方程在上存在實根，
則方程在，上存在實根，
當時在上單調(diào)，則在上有解，
即應該在上有解，但是在上無解，不合題意，
所以在上不單調(diào)，即，
由（1）知，即，
所以，，
令，，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以．
【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
19. 在密碼學領域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應用就是在RSA加密算法中的應用．設p，q是兩個正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱p，q互素．對于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，記為．
（1）試求，，，的值；
（2）設n是一個正整數(shù)，p，q是兩個不同的素數(shù)．試求，與φ（p）和φ（q）的關系；
（3）RSA算法是一種非對稱加密算法，它使用了兩個不同的密鑰：公鑰和私鑰．具體而言：
①準備兩個不同的、足夠大的素數(shù)p，q；
②計算，歐拉函數(shù)；
③求正整數(shù)k，使得kq除以的余數(shù)是1；
④其中稱為公鑰，稱為私鑰．
已知計算機工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是．若滿足題意的正整數(shù)k從小到大排列得到一列數(shù)記為數(shù)列，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1）；
（2），；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用歐拉函數(shù)的定義直接求值.
（2）利用歐拉函數(shù)的定義求出，進而分析計算.
（3）根據(jù)給定信息求出，再利用差角的正切公式，借助裂項求和法求解即得.
小問1詳解】
由歐拉函數(shù)的定義知，不越過3且與3互素的正整數(shù)有1，2，則，
不越過9且與9互素的正整數(shù)有1，2，4，5，7，8，則，
不越過7且與7互素的正整數(shù)有1，2，3，4，5，6，則，
不越過21且與21互素的正整數(shù)有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，則，
所以.
【小問2詳解】
在不大于的正整數(shù)中，只有3的倍數(shù)不與互素，而3的倍數(shù)有個，
因此.
由，是兩個不同的素數(shù)，得，
在不超過的正整數(shù)中，的倍數(shù)有個，的倍數(shù)有個，
于是，
所以.
【小問3詳解】
計算機工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是，則，從而
由（2）得，，
即正整數(shù)滿足的條件為：，
，令，則，
令，則，
取，則，于是，
因此，即，
，
.
【點睛】關鍵點睛：數(shù)列求和，利用差角的正切變式進行裂項是求解的關鍵.

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