一、單選題
1．某市高三年級男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布.現(xiàn)隨機選擇一名本市高三年級男生，則該男生身高不高于170cm的概率是（ ）參考數(shù)據(jù)：
A．0.6827B．0.34135C．0.3173D．0.15865
2．在中，，，則角A的大小為（ ）
A．B．或C．D．或
3．已知是等比數(shù)列，，且，是方程兩根，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知角α的終邊上有一點，則=（ ）
A．B．C．D．
5．設(shè)，為雙曲線：的左、右焦點，點為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線的漸近線于，兩點，且點，分別在第一、三象限，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
6．已知，則的值是（ ）
A．680B．C．1360D．
7．已知9名女生的身高平均值為162(單位：cm)，方差為26，若增加一名身高172(單位：cm)的女生，則這10名女生身高的方差為（ ）
A．32.4B．32.8C．31.4D．31.8
8．物理學(xué)家本·福特提出的定律：在b進制的大量隨機數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為.應(yīng)用此定律可以檢測某些經(jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯誤.若，則k的值為（ ）
A．7B．8C．9D．10
二、多選題
9．下列說法正確的是（ ）
A．，
B．
C．若，，則的最小值為1
D．若是關(guān)于x的方程的根，則
10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若相鄰兩條對稱軸的距離為，則
B．當(dāng)，時，的值域為
C．當(dāng)時，的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)解析式為
D．若在區(qū)間上有且僅有兩個零點，則
11．已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．隨著增大而減小
B．曲線的橫坐標取值范圍為
C．曲線與直線相交，且交點在第二象限
D．是曲線上任意一點，則的取值范圍為
三、填空題
12．已知向量，，若與垂直，則= .
13．某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個相同的四面體得到的(如圖)，則該幾何體共有 個面；若被截正方體的棱長是60cm，那么該幾何體的表面積是 cm2.
14．函數(shù)的定義域為，對任意的，，恒有成立.請寫出滿足上述條件的函數(shù)的一個解析式 .
四、解答題
15．如圖，四邊形是圓柱底面的內(nèi)接矩形，是圓柱的母線.
(1)證明：在側(cè)棱上存在點，使平面；
(2)在（1）的條件下，設(shè)二面角為，，，求三棱錐的體積.
16．在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列，且傳輸相互獨立.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為：發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1.的概率為.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的.
(1)已知接收的信號為1，且，求發(fā)送的信號是0的概率；
(2)現(xiàn)有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1).已知發(fā)送1，若采用三次傳輸方案譯碼為1的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為1的概率，求β的取值范圍.
17．己知橢圓的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于，兩點，當(dāng)直線與軸垂直時，直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在與點不同的定點，使得恒成立?若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
18．已知關(guān)于的方程有三個根，分別為，，，且.
(1)求的取值范圍；
(2)設(shè)，證明：隨著的增大而減小.
19．將2024表示成5個正整數(shù)，，，，之和，得到方程①，稱五元有序數(shù)組為方程①的解，對于上述的五元有序數(shù)組，當(dāng)時，若，則稱是密集的一組解.
(1)方程①是否存在一組解，使得等于同一常數(shù)?若存在，請求出該常數(shù)；若不存在，請說明理由；
(2)方程①的解中共有多少組是密集的?
(3)記，問是否存在最小值?若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.
參考答案：
1．D
【分析】由正態(tài)分布的對稱性及特殊區(qū)間的概率求解即可.
【詳解】由題意，，
且，
所以.
故選：D
2．D
【分析】
利用正弦定理求得角C，根據(jù)三角形內(nèi)角和，即可求得答案.
【詳解】由題意知中，，，
故，即，
由于，故，則或，
故A的大小為或，
故選：D
3．C
【分析】
根據(jù)等比數(shù)列下標和性質(zhì)計算可得.
【詳解】在是等比數(shù)列，，，又，所以，
又，是方程兩根，
所以.
故選：C
4．A
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得的值，再利用誘導(dǎo)公式，即可求得答案.
【詳解】由題意知角α的終邊上有一點，則，
故，則，
故選：A
5．C
【分析】
根據(jù)已知條件得出漸近線與圓的方程，確定直線與圓的交點，根據(jù)交點坐標結(jié)合，由此可知，根據(jù)，確定，再根據(jù)雙曲線性質(zhì)，得到、關(guān)系式即可求得雙曲線的離心率.
【詳解】
根據(jù)已知條件，雙曲線的漸近線方程為交于、兩點，
以為直徑的圓的方程為，直線與圓方程聯(lián)立有：
解得，，所以，所以，，
所以垂直于軸，設(shè)為雙曲線右頂點，垂直于軸，所以，
又因為，所以，所以，，
所以，所以，即.
故選：C
6．B
【分析】利用賦值法，分別令和，將得到的兩式相加，結(jié)合等比數(shù)列的求和，即可求得答案.
【詳解】令，則，即
令，則，
即，
兩式相加可得，
故選：B
7．A
【分析】
根據(jù)給定條件，利用平均數(shù)、方差的計算公式計算得解.
【詳解】令9名女生的身高為，依題意，，，
因此增加一名女生后身高的平均值為，
所以這10名女生身高的方差為
.
故選：A
8．C
【分析】
結(jié)合條件及對數(shù)的運算法則計算即可.
【詳解】，
而，故．
故選：C．
9．ACD
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算結(jié)合復(fù)數(shù)的模的計算，可判斷A；根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)可判斷B；設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式，可得，以及，結(jié)合x的范圍可判斷C；將代入方程，結(jié)合復(fù)數(shù)的相等，求出p，即可判斷D.
【詳解】對于A，，設(shè)復(fù)數(shù)，則，，
故，A正確；
對于B，由于，故，B錯誤；
對于C，，設(shè)，由于，則，
故，
由，得，則，
故當(dāng)時，的最小值為1，C正確；
對于D，是關(guān)于x的方程的根，
故，即，
故，D正確，
故選：ACD
10．BCD
【分析】
根據(jù)三角恒等變換化簡，進而根據(jù)周期可判斷A，根據(jù)整體法求解函數(shù)的值域判斷B，根據(jù)函數(shù)圖象的平移可判斷C，根據(jù)零點個數(shù)確定不等式滿足的條件可判斷D.
【詳解】
，
對于A，若相鄰兩條對稱軸的距離為，則,故，A錯誤，
對于B，當(dāng)，，當(dāng)時，，
則的值域為，B正確，
對于C，當(dāng)，，
的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)解析式為
，C正確，
對于D，當(dāng)時，，
若在區(qū)間上有且僅有兩個零點，則，解得，故D正確，
故選：BCD
11．AD
【分析】首先對、分類討論分別得到曲線方程，畫出曲線圖形，數(shù)形結(jié)合判斷A、B，由雙曲線的漸近線與的關(guān)系判斷C，由點到直線的距離公式得到，即點到直線的距離的倍，求出直線與曲線相切時的值，再由兩平行線將的距離公式求出的最大值，即可判斷D.
【詳解】因為曲線，
當(dāng)，時，則曲線為橢圓的一部分；
當(dāng)，時，則曲線為雙曲線的一部分，
且雙曲線的漸近線為；
當(dāng)，時，則曲線為雙曲線的一部分，
且雙曲線的漸近線為；
可得曲線的圖形如下所示：
由圖可知隨著增大而減小，故A正確；
曲線的橫坐標取值范圍為，故B錯誤；
因為，所以曲線與直線相交，且交點在第四象限，故C錯誤；
因為，即點到直線的距離的倍，
當(dāng)直線與曲線相切時，
由，消去整理得，
則，解得（舍去）或，
又與的距離，
所以，
所以的取值范圍為，故D正確；
故選：AD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是分析出曲線的圖形，D選項的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.
12．/
【分析】
首先求出的坐標，再依題意可得，即可得到方程，解得即可.
【詳解】因為，，所以，
又與垂直，所以，解得.
故答案為：
13． 14
【分析】由題意知，截去的八個四面體是全等的正三棱錐，8個底面三角形，再加上6個小正方形，所以該幾何體共有14個面；再根據(jù)面積公式即可求出表面積.
【詳解】由題意知，截去的八個四面體是全等的正三棱錐，8個底面三角形，
再加上6個小正方形，所以該幾何體共有14個面；
如果被截正方體的棱長是，那么石凳的表面積是
.
故答案為：14，.
14．（答案不唯一）
【分析】
本題屬于開放性問題，只需找到符合題意的函數(shù)解析式即可，不妨令，根據(jù)兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式證明即可.
【詳解】依題意不妨令，
則，
又
，
所以，故符合題意.
同理可證明，，，也符合題意.
故答案為：（答案不唯一）
15．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點，連接交于，連接，即可證明，從而得證；
（2）設(shè)，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，即可求出，再根據(jù)錐體的體積公式計算可得.
【詳解】（1）取的中點，連接交于，連接，
因為為矩形，所以為的中點，
所以，又平面，平面，
所以平面，
（2）設(shè)，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，
所以，，，
又平面的法向量可以為，設(shè)平面的法向量為，
則，取，
因為二面角為，所以，解得（負值舍去），
所以，
所以，
又點到平面的距離，
所以.
16．(1)
(2)
【分析】
（1）由題意確定發(fā)送的信號為0、1的概率以及接收信號為0、1的概率，根據(jù)全概率公式可求出已知接收的信號為1的概率，根據(jù)條件概率的計算公式，即可求得答案；
（2）分別求出采用三次傳輸方案譯碼為1的概率和采用單次傳輸方案譯碼為1的概率，由題意列出不等式，解不等式，即可求得答案.
【詳解】（1）設(shè)A：發(fā)送的信號為1，B：接收到的信號為1，
則：發(fā)送的信號為0，：接收到的信號為0，
則，
故
，
故；
（2）
采用三次傳輸方案譯碼為1的概率為，
采用單次傳輸方案譯碼為1的概率為，
由題意得
而，故，
故.
17．(1)
(2)存在定點，使得恒成立
【分析】
（1）由離心率及過點列方程組求解.
（2）先討論直線水平與豎直情況，求出，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點，證得三點共線得到成立.
【詳解】（1）依題意可得點在橢圓上，
所以，解得，所以橢圓的方程為.
（2）當(dāng)垂直于軸時，設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，如果存在點滿足條件，
則有，即，所以點在軸上，設(shè)，
當(dāng)與軸重合時，設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，不妨設(shè)，，
則由，即，解得或，
所以若存在不同于點的定點滿足條件，則點的坐標為；
下面證明：對任意的直線，均有，
當(dāng)不平行于軸且不垂直于軸時，設(shè)直線方程為，，，
聯(lián)立，消去，得，
因為直線恒過橢圓內(nèi)定點，故恒成立，
所以，，
所以，
易知點關(guān)于軸的對稱點的坐標為，
又，，
所以，則三點共線，所以；
綜上：存在與點不同的定點，使恒成立.
【點睛】
方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達定理求解.
18．(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)在各段的單調(diào)性，即可畫出函數(shù)圖象，從而求出的取值范圍；
（2）由（1）可知，且，使得，則，再由，得到，令，則，從而得到，，再令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性即可.
【詳解】（1）令，
當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，所以時，
時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，當(dāng)時，且時，
當(dāng)時，
則的圖象如下所示：
因為關(guān)于的方程有三個根，即與有三個交點，
由圖可知，即實數(shù)的取值范圍為.
（2）由（1）可知，又，，
且在上單調(diào)遞增，所以，使得，
所以，
由，所以，即，
令，則，
所以，，
令，，
則，令，，
所以，即在上單調(diào)遞減，
所以，
又，即，所以，
即，所以，
所以在上單調(diào)遞減，
即隨著的增大而減小.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第一問關(guān)鍵是由導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的圖象，第二問關(guān)鍵是得到，.
19．(1)不存在，理由見解析
(2)
(3)存在，最小值為.
【分析】（1）若等于同一常數(shù)，則構(gòu)成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列下標和性質(zhì)得到，推出矛盾即可得解；
（2）依題意時，即當(dāng)時，，則，，即可求出，，，，中有個，個，從而得解；
（3）由方差公式得到（為方差），從而得到當(dāng)方差取最小值時取最小值，從而推出是密集，即可求出的最小值.
【詳解】（1）若等于同一常數(shù)，
根據(jù)等差數(shù)列的定義可得構(gòu)成等差數(shù)列，所以，
解得，與矛盾，
所以不存在一組解，使得等于同一常數(shù)；
（2）因為，
依題意時，即當(dāng)時，，
所以，，
設(shè)有個，則有個，由，解得，
所以，，，，中有個，個，
所以方程①的解共有組.
（3）因為平均數(shù)，
又方差，即，
所以，因為為常數(shù)，所以當(dāng)方差取最小值時取最小值，
又當(dāng)時，即，方程無正整數(shù)解，故舍去；
當(dāng)時，即是密集時，取得最小值，
且.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于新定義問題關(guān)鍵是理解題意，第三問的關(guān)鍵是方差公式的應(yīng)用.

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