一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．3B．C．4D．10
3．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．51B．34C．17D．1
4．已知，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．已知拋物線的焦點為是拋物線在第一象限部分上一點，若，則拋物線在點A處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，則（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．是奇函數(shù)B．
C．在上遞增D．在上遞增
8．木桶效應(yīng)，也可稱為短板效應(yīng)，是說一只水桶能裝多少水取決于它最短的那塊木板.如果一只桶的木板中有一塊不齊或者某塊木板有破洞，這只桶就無法盛滿水，此時我們可以傾斜木桶，設(shè)法讓桶裝水更多.如圖，棱長為2的正方體容器，在頂點和棱的中點處各有一個小洞（小洞面積忽略不計），為了保持平衡，以為軸轉(zhuǎn)動正方體，則用此容器裝水，最多能裝水的體積（ ）

A．4B．C．6D．
二、多選題
9．已知空間中兩條不同的直線和兩個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
10．已知圓與直線交于兩點，設(shè)的面積為，則下列說法正確的是（ ）
A．有最大值2
B．無最小值
C．若，則
D．若，則
11．某環(huán)保局對轄區(qū)內(nèi)甲?乙兩個地區(qū)的環(huán)境治理情況進行檢查督導(dǎo)，若連續(xù)10天，每天空氣質(zhì)量指數(shù)（單位：）不超過100，則認為該地區(qū)環(huán)境治理達標，否則認為該地區(qū)環(huán)境治理不達標.已知甲乙兩地區(qū)連續(xù)10天檢查所得數(shù)據(jù)特征是：甲地區(qū)平均數(shù)為80，方差為40，乙地區(qū)平均數(shù)為70，方差為90.則下列推斷一定正確的是（ ）
A．甲乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是75
B．甲乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個數(shù)據(jù)的方差是65
C．甲地區(qū)環(huán)境治理達標
D．乙地區(qū)環(huán)境治理達標
12．已知直線是曲線上任一點處的切線，直線是曲線上點處的切線，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．當時，
B．存在，使得
C．若與交于點時，且三角形為等邊三角形，則
D．若與曲線相切，切點為，則
三、填空題
13．已知向量滿足，且，則向量夾角的余弦值為 .
14．的展開式中的系數(shù)是 .
15．“南昌之星”摩天輪半徑為80米，建成時為世界第一高摩天輪，成為南昌地標建筑之一.已知摩天輪轉(zhuǎn)一圈的時間為30分鐘，甲乙兩人相差10分鐘坐上摩天輪，那么在摩天輪上，他們離地面高度差的絕對值的取值范圍是 .
16．用平面截圓錐面，可以截出橢圓?雙曲線?拋物線，那它們是不是符合圓錐曲線的定義呢？比利時數(shù)學(xué)家旦德林用一個雙球模型給出了證明.如圖1，在一個圓錐中放入兩個球，使得它們都與圓錐面相切，一個平面過圓錐母線上的點且與兩個球都相切，切點分別記為.這個平面截圓錐面得到交線是上任意一點，過點的母線與兩個球分別相切于點，因此有，而是圖中兩個圓錐母線長的差，是一個定值，因此曲線是一個橢圓.如圖2，兩個對頂圓錐中，各有一個球，這兩個球的半徑相等且與圓錐面相切，已知這兩個圓錐的母線與軸夾角的正切值為，球的半徑為4，平面與圓錐的軸平行，且與這兩個球相切于兩點，記平面與圓錐側(cè)面相交所得曲線為，則曲線的離心率為 .
四、解答題
17．已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)求的最大值.
18．對于各項均不為零的數(shù)列，我們定義：數(shù)列為數(shù)列的“比分數(shù)列”.已知數(shù)列滿足，且的“比分數(shù)列”與的“2-比分數(shù)列”是同一個數(shù)列.
(1)若是公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和；
(2)若是公差為2的等差數(shù)列，求.
19．如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊，，交于點.
(1)求；
(2)求.
20．甲公司現(xiàn)有資金200萬元，考慮一項投資計劃，假定影響投資收益的唯一因素是投資期間的經(jīng)濟形勢，若投資期間經(jīng)濟形勢好，投資有的收益率，若投資期間經(jīng)濟形勢不好，投資有的損益率；如果不執(zhí)行該投資計劃，損失為1萬元.現(xiàn)有兩個方案，方案一：執(zhí)行投資計劃；方案二：聘請投資咨詢公司乙分析投資期間的經(jīng)濟形勢，聘請費用為5000元，若投資咨詢公司乙預(yù)測投資期間經(jīng)濟形勢好，則執(zhí)行投資計劃；若投資咨詢公司乙預(yù)測投資期間經(jīng)濟形勢不好，則不執(zhí)行該計劃.根據(jù)以往的資料表明，投資咨詢公司乙預(yù)測不一定正確，投資期間經(jīng)濟形勢好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟形勢好的概率是0.8；投資期間經(jīng)濟形勢不好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟形勢不好的概率是0.7.假設(shè)根據(jù)權(quán)威資料可以確定，投資期間經(jīng)濟形勢好的概率是，經(jīng)濟形勢不好的概率是.
(1)求投資咨詢公司乙預(yù)測投資期間經(jīng)濟形勢好的概率；
(2)根據(jù)獲得利潤的期望值的大小，甲公司應(yīng)該執(zhí)行哪個方案？說明理由.
21．如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，已知為棱的中點，在底面的投影為線段的中點，是棱上一點.

(1)若，求證：平面；
(2)若，確定點的位置，并求二面角的余弦值.
22．已知橢圓的離心率為，左右兩頂點分別為，過點作斜率為的動直線與橢圓相交于兩點.當時，點到直線的距離為.

(1)求橢圓的標準方程；
(2)設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為，設(shè)直線與直線相交于點，設(shè)直線的斜率為，試探究是否為定值，若為定值，求出定值并說明理由.
參考答案：
1．C
【分析】先求出集合，再由交集的定義求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以，
所以.
故選：C.
2．B
【分析】先由復(fù)數(shù)的乘法和除法運算化簡復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.
【詳解】由可得：，
所以，
所以.
故選：B.
3．C
【分析】由題意列方程組可求出，，再由等差數(shù)列的前項和公式求解即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，
所以由可得：，
解得：，
所以.
故選：C.
4．A
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合對數(shù)函數(shù)定義域和基本不等式求最值，利用集合包含關(guān)系可得.
【詳解】由，得，
設(shè)，
由的否定為，
令，當且僅當時，又，即等號成立，
若，則，
若，則，
設(shè)，因為，所以且，
所以是的充分不必要條件
故選：A
5．A
【分析】設(shè)，根據(jù)拋物線的定義求得，，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出切線斜率，由點斜式寫出方程即可
【詳解】設(shè)，
由，得，所以拋物線的準線方程，
由拋物線的定義可得，得代入，得，
又A是拋物線在第一象限部分上一點，所以
由，得，所以，
所以拋物線在點A處的切線方程斜率為，
所以拋物線在點A處的切線方程為，即，
故選：A
6．D
【分析】由對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，即可得出答案.
【詳解】因為
，所以.
故選：D.
7．B
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可判A；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性并求出最值判斷B、C、D
【詳解】因為，所以定義域關(guān)于原點對稱，
且，
所以是奇函數(shù)；故A對；
令，所以在單調(diào)遞增，
所以，即，又在單調(diào)遞增，
所以在單調(diào)遞增，故D對；
因為是奇函數(shù)，所以在上遞增，故C對，
綜上，，則，故B錯；
故選： B
8．C
【分析】作出輔助線，得到為菱形，從而得到多能裝入的體積為長方體的體積加上長方體的體積的一半，結(jié)合正方體的體積求出答案.
【詳解】棱長為2的正方體的體積為，

在上分別取，使得，
又為棱的中點，故由勾股定理得，
故四邊形為菱形，故四點共面，
取的中點，連接，
則平面將長方體的體積平分，
故以為軸轉(zhuǎn)動正方體，則用此容器裝水，
則最多能裝入的體積為長方體的體積加上長方體的體積的一半，
故最多能裝水的體積.
故選：C
9．BC
【分析】根據(jù)線面平行的判定判斷選項A；根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及線面平行的定義判斷選項B；根據(jù)線面垂直的定義判斷選項C；根據(jù)面面垂直性質(zhì)判斷選項D
【詳解】若，則或，故A錯；
若，則m與平面無交點，故，故B對；
若，則m垂直于內(nèi)的任一條直線，所以，故C對；
若，則n與可能平行或相交或在內(nèi)，故D錯；
故選：BC
10．ABD
【分析】設(shè)出點線距離，求出面積取值范圍判斷AB，利用圓的對稱性判斷C，將D轉(zhuǎn)化為逆否命題再判斷即可.
【詳解】
由題意得必過，如圖，取中點為，
故，設(shè)為，
故，易知，即，
故，令，而，
由二次函數(shù)性質(zhì)得當時，取得最大值，此時，故A正確，
由二次函數(shù)性質(zhì)得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
易知當時，， 當時，，故，則B正確
對于C，作關(guān)于軸的對稱點，關(guān)于軸的對稱點，連接，，
由圓的對稱性知，故不論取何值，必有，故C錯誤，
易知D的逆否命題為若，則，
故欲判斷D的真假性，判斷其逆否命題真假性即可，
顯然當時，則，故D正確，
故選：ABD
11．ACD
【分析】根據(jù)條件分別求出平均數(shù)和方差判斷選項A、B；根據(jù)條件判斷甲乙地區(qū)的每天空氣質(zhì)量指數(shù)判斷選項C、D
【詳解】甲地區(qū)平均數(shù)為80，乙地區(qū)平均數(shù)為70，則甲乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，故A對；
設(shè)甲乙兩地區(qū)連續(xù)10天檢查所得數(shù)據(jù)分別為和，
所以，得，
，得，
由，
由，
甲乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個數(shù)據(jù)的方差是
，
甲地區(qū)平均數(shù)為80，方差為40，如果這10天中有一天空氣質(zhì)量指數(shù)大于100，那么它的方差就一定大于，
所以能確定甲地區(qū)連續(xù)10天，每天空氣質(zhì)量指數(shù)不超過100，所以甲地區(qū)環(huán)境治理達標，故C對；
乙地區(qū)平均數(shù)為70，方差為90，如果這10天中有一天空氣質(zhì)量指數(shù)大于100，那么它的方差就一定大于，
所以能確定乙地區(qū)連續(xù)10天，每天空氣質(zhì)量指數(shù)不超過100，所以乙地區(qū)環(huán)境治理達標，
故選：ACD
12．ACD
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出兩直線斜率可判斷選項A、B；根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系及和差角公式求出，判斷選項C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率判斷選項D
【詳解】由題意得，由，
得，如圖，可知與交點是
可得，
，
由，得，所以直線的斜率為，
由，得，所以直線的斜率為，
即直線的斜率等于直線的斜率，所以，故A對；
因為，
所以不存在，使得，故B錯；
如圖，設(shè)的傾斜角分別為，
因為三角形為等邊三角形，所以，
又，
所以，
整理得，所以，
因為在曲線上，所以，所以，故C對；
若與曲線相切，切點為，則，
即，又在上，所以，所以，即，故D對；
故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點點睛:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線斜率，結(jié)合兩直線平行和垂直的斜率關(guān)系進行判斷各項.
13．
【分析】由向量的夾角和模長公式求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以向量夾角的余弦值為：.
故答案為：.
14．160
【分析】根據(jù)二項式展開，然后在與相乘，找到這一項即可.
【詳解】由于題目要求的系數(shù)，
所以對于的展開項中，沒有這一項.
所以只需要求出的項在與相乘即可.
，故系數(shù)為160.
故答案為:160.
15．
【分析】由已知設(shè)甲乙兩人坐上摩天輪的時間分別為，，得到甲乙兩人坐上摩天輪轉(zhuǎn)過的角度，分別列出甲乙離地面的高度，，然后得到，由的取值范圍即可求解.
【詳解】設(shè)甲乙兩人坐上摩天輪的時間分別為，，
則甲乙兩人坐上摩天輪轉(zhuǎn)過的角度分別為，，
則甲距離地面的高度為，
乙距離地面的高度為，
則
因為，所以，所以，
即.
故答案為：.
16．/
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)求出，由題意求出，根據(jù)旦德林雙球模型和雙曲線定義可得，求出a、c即可
【詳解】如圖，是圓錐與球的切點，是球心，P是截口上任一點，
連接，則，所以，，
所以是矩形，
連接，則，
因為圓錐的母線與軸夾角的正切值為，即，
所以，
根據(jù)對稱性得 ,
所以，故兩圓的公切線長為6
連接，PA，OP，設(shè)OP與球的切線交于K，與球的切線交于H，則，
所以 ，得，
在中，，
所以，得
曲線的離心率為
故答案為：
17．(1)；
(2).
【分析】（1）求導(dǎo)得，令可求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由（1）易判斷在時單增，在時單減，進而求出.
【詳解】（1），令，得，即，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減，
所以，即的最大值為.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）利用已知求出通項公式，再求前項和即可.
（2）利用累乘法求通項公式即可.
【詳解】（1）由題意知，
因為，且是公比為2的等比數(shù)列，所以，
因為，所以數(shù)列首項為1，公比為4的等比數(shù)列，
所以；
（2）因為，且是公差為2的等差數(shù)列，所以，
所以，
所以，
所以，因為，
所以.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）由銳角三角函數(shù)求出、，又，利用兩角和的余弦公式求出，最后由余弦定理計算可得；
（2）解法1：首先求出，再由，利用面積公式計算可得；解法2：首先得到，再由計算可得.
【詳解】（1）由已知，，
，
因為，
所以
，
所以在中由余弦定理可得
.
（2）解法1：因為，
又因為，
所以，
即，
解得.
解法2：因為，所以，
又，，
所以，
又因為，所以，則，
所以.
20．(1)0.5；
(2)甲公司應(yīng)該選擇方案二，理由見解析
【分析】（1）由全概率公式即可得解；
（2）方案一服從兩點分布，由此求出對應(yīng)的概率可得期望；方案二有三種情況，分別算出相應(yīng)的概率，結(jié)合期望公式算出期望，比較兩個期望的大小即可得解.
【詳解】（1）記投資期間經(jīng)濟形勢好為事件，投資期間經(jīng)濟形勢不好為事件，
投資咨詢公司預(yù)測投資期間經(jīng)濟形勢好為事件，
則，
因此；
（2）若采取方案一，則該公司獲得的利潤值萬元的分布列是
萬元；
若采取方案二：設(shè)該公司獲得的利潤值為萬元，有以下情況，
投資期間經(jīng)濟形勢好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟形勢為好，，
其發(fā)生的概率為：，
投資期間經(jīng)濟形勢好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟形勢為不好，，
其發(fā)生的概率為：，
投資期間經(jīng)濟形勢不好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟形勢為好，，
其發(fā)生的概率為：，
投資期間經(jīng)濟形勢不好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟形勢為不好，，
其發(fā)生的概率為：，
因此，隨機變量的分布列為：
因此，萬元，
因為，所以甲公司應(yīng)該選擇方案二.
21．(1)證明見解析
(2)為中點，.
【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)定理得，由平行線分線段成比例定理得，再由線面平行的判定可證；
（2）利用線面垂直可得，進而得平面，由線面垂直得，然后根據(jù)等邊三角形三線重合即得為中點，以為原點，分別以為軸，以過點且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用公式求解即可
【詳解】（1）設(shè)，因為底面是邊長為2的菱形，
所以，對角線BD平分，
又為棱的中點，所以,
在中，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理得，
又，所以，所以，
，平面，且平面平面.
（2）平面，且平面，，
因為，所以，
在中，，，所以是等邊三角形，
又為棱的中點，所以，
平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面ABCD，平面，
又平面，，
又，平面，
平面，且平面，.
因為P在底面的投影H為線段EC的中點，所以，又
所以為等邊三角形，故為中點，
所以在底面上的投影為的中點.
在中，，
，
以為原點，分別以為軸，
以過點且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標系，

所以，
，
設(shè)是平面的一個法向量，則，
令，則，即，
平面，是平面的一個法向量，
，
因為二面角是一個銳角，
所以二面角的余弦值為.
【點睛】方法點睛：向量法求二面角的方法：
首先設(shè)兩個平面的法向量坐標，利用線面垂直得到線線垂直即向量的數(shù)量積為零列出方程組求出法向量坐標，把二面角轉(zhuǎn)化為向量的夾角，利用公式，結(jié)合圖形寫出夾角或補角.
22．(1)
(2)是定值，理由見解析
【分析】（1）由題意可得，，解方程求出，再結(jié)合，即可得出答案.
（2）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率公式即可求得為定值.
【詳解】（1）依題意可知，
由于，則直線的方程為，
因為點到直線的距離為.
所以，解得，
所以，則，
所以橢圓的標準方程.
（2）設(shè)，直線的方程為.此時.
聯(lián)立直線與橢圓方程消去得，
則有
不妨設(shè)，因為三點共線，則，
所以則有，
因為三點共線，則則有，
所以
，
所以，所以，
所以，所以.
【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．
(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
50
0.4
0.6
49.5
0.18
0.5
0.32

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