一、單選題
1．已知集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．C．D．
2．若，則（ ）
A．100B．110C．120D．130
3．若點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，則
A．1B．2C．3D．4
4．若，則（ ）
A．B．C．D．
5．將8個(gè)大小形狀完全相同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子中至少放2個(gè)小球，則不同放法的種數(shù)為（ ）
A．3B．6C．10D．15
6．設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若與所成的角相等，則
C．若，則
D．若，則
7．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，向量，且.若為橢圓上一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知為復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．
C．若，則
D．若，則或
10．先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點(diǎn)數(shù)分別為，設(shè)事件“為整數(shù)”，“為偶數(shù)”，“為奇數(shù)”，則（ ）
A．B．
C．事件與事件相互獨(dú)立D．
11．給定數(shù)列，定義差分運(yùn)算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，則（ ）
A．存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．對(duì)任意，總存在，使得
D．對(duì)任意，總存在，使得
三、填空題
12．若圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓恰好過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為 .
13．在三棱錐中，，且分別是的中點(diǎn)，，則三棱錐外接球的表面積為 ，該三棱錐外接球與內(nèi)切球的半徑之比為 .
14．若函數(shù)在上佮有5個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
四、解答題
15．已如曲線在處的切線與直線垂直.
(1)求的值；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
16．如圖，在三棱柱中，，為的中點(diǎn)，平面.
(1)求證：；
(2)若，求二面角的余弦值.
17．聯(lián)合國新聞部將我國農(nóng)歷二十四節(jié)氣中的“谷雨”定為聯(lián)合國中文日，以紀(jì)念“中華文字始祖”倉頡的貢獻(xiàn).某大學(xué)擬在2024年的聯(lián)合國中文日舉行中文知識(shí)競(jìng)賽決賽，決賽分為必答?搶答兩個(gè)環(huán)節(jié)依次進(jìn)行.必答環(huán)節(jié)，共2道題，答對(duì)分別記30分?40分，否則記0分；搶答環(huán)節(jié)，包括多道題，設(shè)定比賽中每道題必須進(jìn)行搶答，搶到并答對(duì)者得15分，搶到后未答對(duì)，對(duì)方得15分；兩個(gè)環(huán)節(jié)總分先達(dá)到或超過100分者獲勝，比賽結(jié)束.已知甲?乙兩人參加決賽，且在必答環(huán)節(jié)，甲答對(duì)兩道題的概率分別，乙答對(duì)兩道題的概率分別為，在搶答環(huán)節(jié)，任意一題甲?乙兩人搶到的概率都為，甲答對(duì)任意一題的概率為，乙答對(duì)任意一題的概率為，假定甲?乙兩人在各環(huán)節(jié)?各道題中答題相互獨(dú)立.
(1)在必答環(huán)節(jié)中，求甲?乙兩人得分之和大于100分的概率；
(2)在搶答環(huán)節(jié)中，求任意一題甲獲得15分的概率；
(3)若在必答環(huán)節(jié)甲得分為70分，乙得分為40分，設(shè)搶答環(huán)節(jié)經(jīng)過X道題搶答后比賽結(jié)束，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
18．已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，直線過點(diǎn)且與雙曲線交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）.
(1)求證：直線與直線的斜率之積為定值.并求出該定值；
(2)過點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為，記的面積分別為，求的最大值.
19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為1的圓沿著軸正向無滑動(dòng)地滾動(dòng)，點(diǎn)為圓上一個(gè)定點(diǎn)，其初始位置為原點(diǎn)為繞點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度（單位：弧度，）.
(1)用表示點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)；
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡在點(diǎn)處的切線存在，且傾斜角為，求證：為定值；
(3)若平面內(nèi)一條光滑曲線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)均可表示為，則該光滑曲線長度為，其中函數(shù)滿足.當(dāng)點(diǎn)自點(diǎn)滾動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，其軌跡為一條光滑曲線，求的長度.
參考答案：
1．A
【分析】解不等式化簡集合A，再結(jié)合韋恩圖，利用交集的定義求解即得.
【詳解】解不等式，得，即，
由，得，
所以圖中陰影部分表示的集合為.
故選：A
2．C
【分析】利用二項(xiàng)式定理分別求出即可計(jì)算得解.
【詳解】在中，，，
所以.
故選：C
3．B
【解析】由拋物線的定義轉(zhuǎn)化即可求值.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，即，所以，
故
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查由拋物線的定義轉(zhuǎn)化求值問題，屬于基礎(chǔ)題.
4．C
【分析】根據(jù)二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】由可得，
故，
故選：C
5．B
【分析】對(duì)每個(gè)盒子放入2個(gè)球，再看余下2個(gè)球的去向即可得解.
【詳解】依題意，每個(gè)盒子放入2個(gè)球，余下2個(gè)球可以放入一個(gè)盒子有種方法，放入兩個(gè)盒子有種方法，
所以不同放法的種數(shù)為.
故選：B
6．D
【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對(duì)于A，平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，與所成的角相等，則可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，，則可能垂直，但也可能平行或者相交或者異面，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，，則，D正確，
故選：D
7．A
【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的周期，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及指對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算即得.
【詳解】在上的奇函數(shù)滿足，則，
于是，即函數(shù)的周期為4，
而，則，，又當(dāng)時(shí)，，
所以.
故選：A
8．A
【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的軌跡，再借助三角代換及點(diǎn)到直線距離公式求出最小值.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，由及，得，
即，而，消去得：，
設(shè)橢圓上的點(diǎn)，
則點(diǎn)到直線的距離，其中銳角由確定，
當(dāng)時(shí)，，而，所以的最小值為.
故選：A
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求出橢圓上的點(diǎn)與其相離的直線上點(diǎn)的距離最小值，可轉(zhuǎn)化為求橢圓上的點(diǎn)到直線距離有最小值解決.
9．ABD
【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的意義計(jì)算判斷ABD；舉例說明判斷C.
【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，
對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，，，
，，B正確；
對(duì)于C，取，滿足，而，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，得，即，
則，即，
因此或，即或，D正確.
故選：ABD
10．BCD
【分析】列舉所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互獨(dú)立事件的定義及條件概率的概率公式計(jì)算可得.
【詳解】先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點(diǎn)數(shù)分別為，，
則基本事件總數(shù)為，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共36種情況，
滿足事件的有，，，，，，，，，
，，共種，其概率，故A錯(cuò)誤；
滿足事件的有，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共個(gè)，故；
滿足事件的有，，共個(gè)，所以，故B正確；
滿足事件的有，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共個(gè)，故，
滿足事件的有，，， ，，，
，，，共個(gè)，所以，
所以事件與事件相互獨(dú)立，故C正確；
滿足事件的有，，，，，，，共種，
所以，則，故D正確.
故選：BCD
11．BC
【分析】由已知求出及范圍判斷AB；利用累加法結(jié)合錯(cuò)位相減法求和求出及范圍判斷C；求出及的范圍判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由，得，顯然有最小值4，無最大值，
因此不存在，使得恒成立，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，則，
顯然當(dāng)時(shí)，恒成立，B正確；
對(duì)于C，由，得，
當(dāng)時(shí)，
即，
于是，
兩式相減得，
因此，顯然滿足上式，則，由，
得數(shù)列是遞增數(shù)列，有最小值1，無最大值，
從而對(duì)任意，總存在，使得，C正確；
對(duì)于D，，由選項(xiàng)C得，
顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，，因此對(duì)任意，不存在，使得成立，D錯(cuò)誤.
故選：BC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.
12．4
【分析】利用軸對(duì)稱列式求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入圓方程即得.
【詳解】依題意，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓上，
則，解得，因此點(diǎn)在圓上，
則，解得，
所以實(shí)數(shù)的值為4.
故答案為：4
13．
【分析】第一空作出輔助線，證明三三垂直，將三棱錐放入長方體中求解外接球半徑即可，第二空利用體積相等求出內(nèi)切球半徑，再求比值即可.
【詳解】如圖，，且，故，
可得，則，取中點(diǎn)，連接，
則，又，面，可得面
又面，則，又分別是的中點(diǎn)，連接，則//
由題意得，故，，又，
面，故面，又，則，
可得，則兩兩垂直，
故以作長方體，如圖所示，
則該長方體外接球即為所求三棱錐的外接球，連接，
其中點(diǎn)為所求外接球的球心，設(shè)其半徑為，
可得，故，解得，而，
設(shè)該三棱錐內(nèi)切球半徑為，球心為，連接，
則，
可得，
故，
而，，，
易知是的中點(diǎn)，由，得，故得，
而由勾股定理得，則，
故可將一式化為，
解得，而半徑比為，
故答案為：；
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查內(nèi)切球和外接球的半徑問題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出長方體，將三棱錐放入其中，然后求出外接球半徑，得到面積，進(jìn)而由體積關(guān)系轉(zhuǎn)化得到所要求的內(nèi)切球半徑，再求比值即可．
14．
【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.
【詳解】依題意，函數(shù)，由，得，
則或，
由，得，由在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，
得，解得，
由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此，即，且，解得，
所以正實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，可把看成一個(gè)整體，由求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，由求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)斜率關(guān)系，即可求導(dǎo)求解，
（2）求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值求解.
【詳解】（1）由于的斜率為，所以，
又,故，解得，
（2）由（1）知，所以，
故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，取最小值，
要使恒成立，故，解得，
故的取值范圍為
16．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理證得，再利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.
（2）由（1）的信息以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即可.
【詳解】（1）在三棱柱中，，則，
由，得，在中，，
由余弦定理，得，，
于是，由平面平面，得，
而平面，因此平面，又平面，
所以，
（2）由（1）知，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由，得，則，
于是，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，取，得，顯然為平面的一個(gè)法向量，
因此，顯然二面角的大小為銳角，
所以二面角的余弦值為.
17．(1)；
(2)；
(3)分布列見解析，.
【分析】（1）把得分之和大于100分的事件分拆，再利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算即得.
（2）甲獲得15分的事件是甲搶到答正確與乙搶到答錯(cuò)的事件和，再列式求出概率.
（3）求出的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）兩人得分之和大于100分可分為甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三種情況，
所以得分大于100分的概率.
（2）搶答環(huán)節(jié)任意一題甲得15分的概率.
（3）的可能取值為2，3，4，5，
由搶答任意一題甲得15分的概率為，得搶答任意一題乙得15分的概率為，
，，
，
，
所以的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
18．(1)證明見解析，；
(2).
【分析】（1）由已知求出雙曲線，設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計(jì)算即得.
（2）設(shè)出直線的方程，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再建立面積積的函數(shù)關(guān)系，借助基本不等式求出最大值即得.
【詳解】（1）令雙曲線半焦距為c，依題意，，
由，解得，
則雙曲線的方程為，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，
由消去得，，，
設(shè)，則，
直線的斜率分別為，
所以.
（2）設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，
由，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，
用替換上式中的得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，
則
而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
因此，所以的最大值為.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動(dòng)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.
19．(1)；
(2)證明見解析；
(3)8.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合三角函數(shù)及弧長計(jì)算求解.
（2）利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，求出切線斜率，再借助三角恒等變換推理即得.
（3）由（1）及給定信息，求出并確定原函數(shù)，再求出弧長即得.
【詳解】（1）依題意，，則，
所以.
（2）由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式及（1）得，因此，
而
，
所以為定值1.
（3）依題意，.
由，得，則，于是（為常數(shù)），
則，
所以的長度為8.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為：.
2
3
4
5

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