一、選擇題
1．已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為( )
A.3B.4C.7D.8
2．設(shè)虛數(shù)z和是方程的兩根，則( )
A.B.C.D.
3．已知函數(shù)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是( )
A.函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱
B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)
D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
4．如圖所示，O點(diǎn)在內(nèi)部，D，E分別是，邊的中點(diǎn)，且有，則的面積與的面積的比為( )
A.B.C.D.
5．已知數(shù)列滿足，，則( )
A.B.C.D.
6．藥物的半衰期指的是血液中藥物濃度降低一半所需要的時(shí)間，在特定劑量范圍內(nèi)，藥物的半衰期，其中K是藥物的消除速度常數(shù)，不同藥物的消除速度常數(shù)一般不同，若內(nèi)藥物在血液中濃度由降低到，則該藥物的消除速度常數(shù).已知某藥物半衰期為，首次服用后血藥濃度為，當(dāng)血藥濃度衰減到時(shí)需要再次給藥，則第二次給藥與首次給藥時(shí)間間隔約為(,)( )
A.B.C.D.
7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,的上頂點(diǎn)為M，且，雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，P為與的一個(gè)公共點(diǎn).若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的離心率( )
A.B.C.D.
8．已知體積為的正四棱錐的所有頂點(diǎn)均在球O的球面上，則球O的表面積的最小值為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．在中，，則可為( )
A.12B.16C.24D.30
10．某地環(huán)境部門(mén)對(duì)轄區(qū)內(nèi)甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)的環(huán)境治理情況進(jìn)行檢查督導(dǎo)，若一地區(qū)連續(xù)10天每天的空氣質(zhì)量指數(shù)均不大于100，則認(rèn)為該地區(qū)的環(huán)境治理達(dá)標(biāo)，否則認(rèn)為該地區(qū)的環(huán)境治理不達(dá)標(biāo).根據(jù)連續(xù)10天檢測(cè)所得數(shù)據(jù)的數(shù)字特征推斷，環(huán)境治理一定達(dá)標(biāo)的地區(qū)是( )
A.甲地區(qū)：平均數(shù)為90，方差為10B.乙地區(qū)：平均數(shù)為60，眾數(shù)為50
C.丙地區(qū)：中位數(shù)為50，極差為70D.丁地區(qū)：極差為20，80%分位數(shù)為80
11．已知橢圓的上頂點(diǎn)為B，左、右焦點(diǎn)分別為，,則下列敘述正確的是( )
A.若橢圓C的離心率為，則
B.若直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為A，且，則
C.當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B的直線被橢圓C所截得的弦長(zhǎng)的最大值為
D.當(dāng)時(shí)，橢圓C上存在異于B的兩點(diǎn)P,Q，滿足，則直線過(guò)定點(diǎn)
12．若函數(shù)有極值點(diǎn)，且，，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.，有B.，使得
C.D.
三、填空題
13．將序號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的六張參觀券全部分給甲、乙等5人，每人至少一張，如果分給甲的兩張參觀券是連號(hào)，則不同分法共有________種.
14．已知數(shù)列滿足，則的最小值為_(kāi)__________.
15．設(shè)O為正四棱臺(tái)下底面的中心，且.記四棱錐和的體積分別為，,則______.
16．設(shè)函數(shù)，若不等式有且只有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.
四、解答題
17．已知A，B，C，D四點(diǎn)逆時(shí)針排列于同一個(gè)圓O上，其中,的面積為，.
（1）求邊的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)圓心O在上時(shí)，求.
18．如圖，在四棱錐中，平面，，.，，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，且.
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值.
19．已知n把相同的椅子圍成一個(gè)圓環(huán)；兩個(gè)人分別從中隨機(jī)選擇一把椅子坐下.
（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)兩個(gè)人座位之間空了X把椅子（以相隔位子少的情況計(jì)數(shù)），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）若另有m把相同的椅子也圍成一個(gè)圓環(huán)，兩個(gè)人從上述兩個(gè)圓環(huán)中等可能選擇一個(gè)，并從中選擇一把椅子坐下，若兩人選擇相鄰座位的概率為，求整數(shù)m，的所有可能取值.
20．已知函數(shù).
（1）證明：.
（2）若關(guān)于x的不等式有解，求a的取值范圍.
21．已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)E是圓C上的任意一點(diǎn).動(dòng)圓D過(guò)點(diǎn)C，且與相切，點(diǎn)D的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）若與x軸不垂直的直線l與曲線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)N為l與x軸的交點(diǎn)，且，若在x軸上存在異于點(diǎn)N的一點(diǎn)G，使得為定值，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且曲線在P、Q兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)S，證明：S在定直線上.
22．已知數(shù)列A：，，…， 的各項(xiàng)均為正整數(shù)，設(shè)集合，記T的元素個(gè)數(shù)為.
（1）①若數(shù)列A：1，2，4，5，求集合T，并寫(xiě)出的值；
②若數(shù)列A：1，3，x，y，且，，求數(shù)列A和集合T；
（2）若A是遞增數(shù)列，求證：“”的充要條件是“A為等差數(shù)列”；
（3）請(qǐng)你判斷是否存在最大值，并說(shuō)明理由.
參考答案
1．答案：C
解析：因?yàn)椋?br>，則，
所以，的真子集個(gè)數(shù)為.
故選：C.
2．答案：D
解析：因?yàn)榉匠痰膬筛楣曹棌?fù)數(shù)，
設(shè)虛數(shù)，且，
所以.
所以，，所以，，
所以方程的兩根為，
所以，
所以，.
故選：D.
3．答案：C
解析：A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
當(dāng)，，0，π時(shí)，，
解得或或或，有4個(gè)零點(diǎn)，C正確；
D選項(xiàng)，由，，
解得，，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為，，
令，得，，得，
所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增的，D錯(cuò)誤.
故選：C.
4．答案：A
解析：由可得，
又因?yàn)镈，E分別是，邊的中點(diǎn)，
所以，，
所以，即，
所以O(shè)，D，E三點(diǎn)共線，且，
所以E到的距離與O到的距離之比也為，
又的面積與的面積都以為底，
所以的面積與的面積的比為.
故選：A.
5．答案：D
解析：若，則，則，
這與矛盾，所以，
對(duì)同時(shí)除以，
所以，則，，……，，
上面的式子相加可得：
，
所以，所以，
故選：D.
6．答案：B
解析：因?yàn)椋裕?br>由題意，得，,,
所以.
故選：B.
7．答案：C
解析：依題意，設(shè)焦距為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為，
雙曲線的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為，
因?yàn)?，則在中，，
根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)橢圓與雙曲線的交點(diǎn)P在第二象限，
因?yàn)?，所以，則，
由雙曲線的定義知：，由橢圓的定義知：，
則，則，
則，則，又，解得.
所以的離心率.
故選：C.
8．答案：B
解析：設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為h，
則體積，所以，
設(shè)球O的半徑為R，則，即，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以球O的表面積的最小值為.
故選：B.
9．答案：ABC
解析：在中，因?yàn)?，可得點(diǎn)C在以為直徑的圓上，
設(shè)點(diǎn)C到的距離為h，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得，
所以的面積，
結(jié)合選項(xiàng)，可得A、B、C符合題意.
故選：ABC.
10．答案：AD
解析：設(shè)每天的空氣質(zhì)量指數(shù)為（，2，…，10），則方差.
對(duì)于A，由，得，若這10天中有1天的空氣質(zhì)量指數(shù)大于100，則必有，矛盾，所以這10天每天的空氣質(zhì)量指數(shù)都不大于100，故A正確；
對(duì)于B，假設(shè)有8天為50，有1天為140，有1天為60，此時(shí)平均數(shù)為60，眾數(shù)為50，但該地區(qū)的環(huán)境治理不達(dá)標(biāo)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，假設(shè)第1天為120，后面9天為50，此時(shí)中位數(shù)為50，極差為70，但該地區(qū)的環(huán)境治理不達(dá)標(biāo)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，如果最大值大于100，根據(jù)極差為20，則最小值大于80，這與分位數(shù)為80矛盾，故最大值不大于100，故D正確.
故選：AD.
11．答案：ACD
解析：對(duì)于A：，，，解得，所以，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)?，，又?br>設(shè)，則，解得，，
所以，
代入橢圓方程得到，所以，所以，解得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：當(dāng)時(shí)橢圓為，設(shè)點(diǎn)在橢圓上，則，
所以，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)取得最大值，所以弦長(zhǎng)最大值為，
故C正確；
對(duì)于D：設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)?shù)男甭什粸榱銜r(shí)，設(shè)直線的方程為，
由，可得，
顯然，所以，，
因?yàn)椋傻茫?br>因?yàn)?，，代入可得?br>所以，
整理得，所以或，
當(dāng)時(shí)直線的方程為，恒過(guò)，不成立，
當(dāng)時(shí)直線的方程為，恒過(guò)，
若直線的斜率為且過(guò)點(diǎn)，不妨取、，
則，滿足，
綜上可得直線恒過(guò)點(diǎn)，故D正確；
故選：ACD.
12．答案：AD
解析：有題意可得：，
因?yàn)楹瘮?shù)有極值點(diǎn)，
則，
可得，，
令，解得或；令，解得；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
可知在取到極小值，所以符合題意，
則的極大值為，極小值為，
若，且，
則，解得，
且，，
所以，，，
對(duì)于選項(xiàng)AB：因?yàn)?
若，則，故，所以A正確；B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：，有，則，即，
因?yàn)椋?且在上單調(diào)遞減，
可得，即，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：令，
則在內(nèi)恒成立，
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，
可得，,則，
且，,在上單調(diào)遞增，
可得，即，故D正確；
故選：AD.
13．答案：120
解析：由題意得，如果分給甲的兩張參觀券是連號(hào)，則有種分法，
再將剩余的4張分給剩余4個(gè)人，有種分法，
所以一共有種分法.
故答案為：120.
14．答案：
解析：，但,沒(méi)有正整數(shù)解，
所以等號(hào)不等成立，，
，,,
所以的最小值為.
故答案為：.
15．答案：
解析：設(shè)四棱臺(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為a,，高為h，
則四棱錐的體積，
四棱臺(tái)的體積.
由對(duì)稱性可知四個(gè)側(cè)面與點(diǎn)O構(gòu)成的四個(gè)四棱錐大小和形狀完全相同，
所以四棱錐的體積.所以.
故答案為：.
16．答案：
解析：由函數(shù)，若不等式，即，
因?yàn)?，可化為，令，可得?br>令，可得，所以在R上單調(diào)遞增，
又由，,所以存在唯一的使得，
當(dāng)時(shí)，，可得，所以單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，可得，所以單調(diào)遞增，且，
又因?yàn)椋?,,
所以當(dāng)原不等式有且僅有三個(gè)整數(shù)解時(shí)，有，
解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，，的面積為，
則，解得，
而，于是，由余弦定理得.
（2）由（1）知，而線段為圓O的直徑，則，
因此，
所以.
18．答案：（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以，
因?yàn)椋?平面，
所以平面.
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，,所在直線分別為x，y軸，垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，且，
故，，，，
設(shè)，由得，
解得，，，故，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，，所以，
又平面的法向量為，
故，
故二面角的正弦值為.
19．答案：（1）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為
（2）或或
解析：（1）由題意，得隨機(jī)變量X可以取0,1,2,3,4,5，
其中，
，
所以隨機(jī)變量X的分布列為：
故.
（2）記“兩人選擇n把相同的椅子圍成的圓環(huán)”為事件A，
“兩人選擇m把相同的椅子圍成的圓環(huán)”為事件B，
“兩人選擇相鄰座位”為事件C.
因?yàn)閮蓚€(gè)人從上述兩個(gè)圓環(huán)中等可能選擇一個(gè)，
所以，,
.
因?yàn)?，所?
化簡(jiǎn)，得.
因?yàn)椋?,所以，且.
所以，7,49即，15,57,
此時(shí)或或.
所以m，n的所有可能取值為或或.
20、
（1）答案：證明見(jiàn)解析
解析：.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
故.
（2）答案：
解析：由題意可得不等式有解.
因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.
故a的取值范圍為.
21．答案：（1）
（2）
（3）證明見(jiàn)解析
解析：（1）由題意知，點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離和它到直線的距離相等，
所以，點(diǎn)D的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，所以的方程為.
（2）設(shè)、，設(shè)直線l的方程為，
聯(lián)立方程組，得，，可得，
所以①，②，
，
即，
將①②代入得，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為，
設(shè)、，則，
，
使為定值，需滿足，即，
因?yàn)?，所以，則，所以點(diǎn)G坐標(biāo)為.
（3）設(shè)直線的方程為，設(shè)、，
聯(lián)立方程組得，則，可得，
則③，④，
接下來(lái)證明出拋物線在點(diǎn)P處的切線方程為，
聯(lián)立，可得，即，
，
又因?yàn)椋袋c(diǎn)P在直線上，
所以，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為，
同理可得曲線在點(diǎn)Q處的切線方程為，
聯(lián)立，解得，
則，所以點(diǎn)S的坐標(biāo)為，
所以點(diǎn)S在定直線上.
22．答案：（1）①集合，，②數(shù)列A：1，3，5，7，
（2）證明見(jiàn)解析
（3）存在最大值，理由見(jiàn)解析
解析：（1）①因?yàn)?，，，，，?br>所以集合，.
②因?yàn)锳：1,3,x,y，且，所以，，均不相等，
所以2，，都是集合T中的元素，
因?yàn)椋?可得：，，
所以數(shù)列A：1,3,5,7，；
（2）充分性；A是遞增數(shù)列，若A為等差數(shù)列，
設(shè)A的公差為d（），當(dāng)時(shí)，
所以，所以，
則，故充分性成立.
必要性：若A是遞增數(shù)列，，則A為等差數(shù)列，
因?yàn)锳是遞增數(shù)列，所以，
所以，,,…，且互不相等，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，，…，，且互不相等，
所以，，，，
所以，所以A為等差數(shù)列，必要性成立.
所以若A是遞增數(shù)列，“”的充要條件是“A為等差數(shù)列”.
（3）存在最大值.理由如下：
由題意集合中的元素個(gè)數(shù)最多為個(gè)，
即，
取，，…，，此時(shí)，
若存在，則，其中，，
故，
若，不妨設(shè)，則，
而，，故為偶數(shù)，為奇數(shù)，矛盾，
故，故，
故由，，…，得到的彼此相異，故，
即的最大值為.
因此必有最大值.
X
0
1
2
3
4
5
P

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