命題單位：隨州市教學(xué)研究室 2024.3
本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘
★?？荚図樌?br>注意事項(xiàng)：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置，
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效，
3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．若，則（ ）
A．B．C．3D．5
3．設(shè)復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個根，則（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則與平面垂直的直線可以是（ ）
A．B．C．D．
5．已知今天是星期三，則天后是（ ）
A．星期一B．星期二C．星期三D．星期五
6．已知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像在點(diǎn)處的切線方程為，記的導(dǎo)函數(shù)為，則（ ）
A．B．C．D．2
7．設(shè)某直角三角形的三個內(nèi)角的余弦值成等差數(shù)列，則最小內(nèi)角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．設(shè)直線，一束光線從原點(diǎn)出發(fā)沿射線向直線射出，經(jīng)反射后與軸交于點(diǎn)，再次經(jīng)軸反射后與軸交于點(diǎn)．若，則的值為（ ）
A．B．C．D．2
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．某校為了解高一新生對數(shù)學(xué)是否感興趣，從400名女生和600名男生中通過分層抽樣的方式隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，將調(diào)查的結(jié)果得到如下等高堆積條形圖和列聯(lián)表，則（ ）
參考數(shù)據(jù)：本題中
A．表中
B．可以估計(jì)該校高一新生中對數(shù)學(xué)不感興趣的女生人數(shù)比男生多
C．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別與對數(shù)學(xué)的興趣有差異
D．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別與對數(shù)學(xué)的興趣沒有差異
10．某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，設(shè)其焦點(diǎn)為，若為其圖象上任意一點(diǎn)，則（ ）
A．是它的一條對稱軸B．它的離心率為
C．點(diǎn)是它的一個焦點(diǎn)D．
11．已知函數(shù)存在兩個極值點(diǎn)，且，．設(shè)的零點(diǎn)個數(shù)為，方程的實(shí)根個數(shù)為，則（ ）
A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，
C．一定能被3整除D．的取值集合為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．若，則______．
13．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公比的取值范圍為______．
14．記分別表示函數(shù)在上的最大值和最小值．則______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）在中，已知．
（1）求的大?。?br>（2）若，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．
16．（15分）如圖，一個質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從數(shù)軸點(diǎn)1的位置出發(fā)，每隔向左或向右移動一個單位，設(shè)每次向右移動的概率為．
（1）當(dāng)時，求后質(zhì)點(diǎn)移動到點(diǎn)0的位置的概率；
（2）記后質(zhì)點(diǎn)的位置對應(yīng)的數(shù)為，若隨機(jī)變量的期望，求的取值范圍．
17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，點(diǎn)在上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且平面．
（1）證明：平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．
18．（17分）已知雙曲線經(jīng)過橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)的離心率分別為，且．
（1）求的方程；
（2）設(shè)為上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)分別為，記直線的斜率為，當(dāng)取最小值時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
19．（17分）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時，．注：表示的2階導(dǎo)數(shù)，即為的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式．
（1）根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位；
（2）由該公式可得：．當(dāng)時，試比較與的大小，并給出證明；
（3）設(shè)，證明：．
2024年湖北省八市高三（3月）聯(lián)考
數(shù)學(xué)參考答案與評分細(xì)則
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．
1．C 2．B 3．D 4．D 5．A 6．A 7．C 8．B
第1題提示：．
第2題提示：．
第3題提示：將代入方程得：，得，即．
第4題提示：易得平面平面為正三棱錐，得平面，故平面，若其他選項(xiàng)也符合，則平行于，不成立．
第5題提示：
．
第6題提示：偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)，可以根據(jù)對等式兩邊求導(dǎo)，或通過圖象驗(yàn)證．
第7題提示：設(shè)，由可得．
第8題提示：
易知點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，求直線的方程：
與互余
故，
易得（或只求）
由得，即有，
解得，得或，
若，則第二次反射后光線不會與軸相交，故不符合條件．
其他方法：先求點(diǎn)坐標(biāo)，再求直線的方程；或者設(shè)點(diǎn)和的坐標(biāo)，通過，三點(diǎn)共線構(gòu)造方程求解．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．ACD 10．ABD 11．AB
說明：多選題有錯選得0分，第9、10題選對1個答案給2分，選對2個答案給4分，選對3個答案給6分；第11題選對1個答案給3分，選對兩個答案給6分．
第9題提示：女生不感興趣的人數(shù)約為280，男生不感興趣的人數(shù)約為300，故B不對，，故C，D正確．
第10題提示：反比例函數(shù)的圖象為等軸雙曲線，故離心率為，其中一個焦點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為．
第11題提示：由得或，依題意可得以下6種情況：
當(dāng)時
當(dāng)時
的取值集合為．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12． 13． 14．2
第12題提示：用兩角和的正切公式展開，或用整體法兩角差的正切公式．
第13題提示：用求和公式后再用立方差公式分解因式或直接用．
第14題提示：，先設(shè)為變量，可通過分類討論求出，
再求出當(dāng)時的最小值，即為2．
或者由在時的最大值只可能在當(dāng)或或處取得，結(jié)合圖象可得原式的最小值為2．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．解：
（1）在中，由正弦定理可得：
，即
解得，又，故或．
（2）由，可得，故
令
解得
由于，取，得；
取，得；取，得，
故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為．
說明：第（1）問中兩種情況少一種扣1分，第（2）問中三個區(qū)間少一個扣1分．
16．解：
（1）后質(zhì)點(diǎn)移動到點(diǎn)0的位置，則質(zhì)點(diǎn)向左移動了3次，向右移動了2次，
所求概率為：．
（2）所有可能的取值為，且
，
，
，
，
由，解得，
又因?yàn)?，故的取值范圍為?br>17．解：
（1）連接交與點(diǎn)，連接，
易知平面與平面的交線為，
平面，
又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．
取的中點(diǎn)，連接，
，
為平行四邊形，，
又平面平面平面．
（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，
，且，又，且，
，
又是平面內(nèi)兩條相交的直線，平面．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知，
由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，可得，
，
設(shè)是平面的法向量，則
即，可??；
設(shè)是平面的法向量，則
即，可取；
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
即平面與平面的夾角的余弦值為．
說明：第（1）問取的中點(diǎn)，通過面面平行來證明線面平行也可以根據(jù)步驟給分．
18．解：
（1）依題意可得，得，
由，得，解得，
故的方程為的方程為．
（2）易知，設(shè)，直線的斜率分別為，
則，
在，即有，
可得為定值．
設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立可得
恒成立，
設(shè)，則有，
可求得，
設(shè)直線的方程為：，
同理可得，
則
由可得：，
點(diǎn)在第一象限內(nèi)，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
而，故等號可以取到．
即當(dāng)取最小值時，，聯(lián)立，
可解得，
故的方程為：的方程為：，
聯(lián)立可解得，即有．
說明：第（2）問中未說明能取到最小值扣1分，
另外可以分別設(shè)直線方程和求解，
此時：
也可以直接通過的橫縱坐標(biāo)代換來求解，
此時：
都可以根據(jù)相應(yīng)步驟給分．
19．解：
（1）由該公式可得，
故
（2）結(jié)論：，
證明如下：
令，
令，
故在上單調(diào)遞增，，
故在上單調(diào)遞增，，
即證得，即．
（3）由（2）可得當(dāng)時，，且由得，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故當(dāng)時，，
，
而
，
即有
故
而，
即證得性別
數(shù)學(xué)興趣
合計(jì)
感興趣
不感興趣
女生
男生
合計(jì)
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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