考生須知：
1．全卷共三大題，24小題，滿分為120分．考試時(shí)間為120分鐘，本次考試采用開(kāi)卷形式．
2．全卷分為卷Ⅰ（選擇題）和卷Ⅱ（非選擇題）兩部分，全部在答題紙上作答．卷Ⅰ的答案必須用2B鉛筆填涂；卷Ⅱ的答案必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆寫在答題紙相應(yīng)位置上．
3．請(qǐng)用黑色字跡鋼筆或簽字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)．
4．作圖時(shí)，請(qǐng)使用2B鉛筆，確定后必須使用黑色字跡的鋼筆或簽字筆描黑．
5．本次考試不得使用計(jì)算器．
卷Ⅰ
說(shuō)明：本卷共有大題，小題，共分．請(qǐng)用鉛筆在“答題紙”上將你認(rèn)為正確的選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的小方框涂黑、涂滿．
一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）
1. 某一天，哈爾濱、北京、杭州、金華四個(gè)城市的最低氣溫分別是，，，，其中最低氣溫是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)有理數(shù)的大小比較，即可作出判斷．
【詳解】解：，
故溫度最低的城市是哈爾濱，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的大小比較法則．
2. 某物體如圖所示，其俯視圖是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)俯視圖的意義判斷即可．
【詳解】 的俯視圖是
．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖，正確理解俯視圖是解題的關(guān)鍵．
3. 在2023年金華市政府工作報(bào)告中提到，2022年全市共引進(jìn)大學(xué)生約123000人，其中數(shù)123000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．
【詳解】解：，
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵是要正確確定a的值以及n的值．
4. 在下列長(zhǎng)度的四條線段中，能與長(zhǎng)的兩條線段圍成一個(gè)三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出第三邊的取值范圍，再判斷即可．
【詳解】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)度為，
則第三邊的取值范圍是，
只有選項(xiàng)C符合，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊的關(guān)系，能熟練求出求出第三邊的取值范圍是本題的關(guān)鍵．
5. 要使有意義，則的值可以是（ ）
A. 0B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的取值范圍即可得到答案．
【詳解】解：∵二次根式有意義，
∴，
∴，
∴四個(gè)選項(xiàng)中，只要D選項(xiàng)中的2符合題意，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)大于等于0是解題的關(guān)鍵．
6. 上周雙休日，某班8名同學(xué)課外閱讀的時(shí)間如下（單位：時(shí)）：1，4，2，4，3，3，4，5．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（ ）
A. 1時(shí)B. 2時(shí)C. 3時(shí)D. 4時(shí)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)眾數(shù)的含義可得答案．
【詳解】解：這組數(shù)據(jù)中出來(lái)次數(shù)最多的是：4時(shí)，
所以眾數(shù)是4時(shí)；
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查的是眾數(shù)的含義，熟記一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是解本題的關(guān)鍵．
7. 如圖，已知，則的度數(shù)是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由可得，可得，再利用鄰補(bǔ)角的含義可得答案．
【詳解】解：如圖，標(biāo)記角，

∵，
∴，而，
∴，
∴；
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的含義，熟記平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
8. 如圖，兩個(gè)燈籠的位置的坐標(biāo)分別是，將點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的位置描述正確是（ ）
A. 關(guān)于軸對(duì)稱B. 關(guān)于軸對(duì)稱
C. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D. 關(guān)于直線對(duì)稱
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)平移方式求出，再根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵將向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)，
∴，
∵，
∴點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—平移和軸對(duì)稱，正確根據(jù)平移方式求出是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，則不等式的解是（ ）

A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】先求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后直接利用圖象法求解即可．
【詳解】解：∵在反比例函數(shù)圖象上，
∴，
∴反比例函數(shù)解析式為，
∵在反比例函數(shù)圖象上，
∴，
∴，
由題意得關(guān)于x的不等式的解集即為一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)自變量的取值范圍，
∴關(guān)于x的不等式的解集為或，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是正確求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
10. 如圖，在中，，以其三邊為邊在的同側(cè)作三個(gè)正方形，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)與交于點(diǎn)．若，則的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，正方形的邊長(zhǎng)為，證明，先后求得，，，利用三角形面積公式求得，證明，求得，，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵四邊形正方形，且，
設(shè)，則，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
同理，即，
∴，
同理，
∴，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．
卷Ⅱ
說(shuō)明：本卷共有大題，小題，共分．請(qǐng)用黑色字跡鋼筆或簽字筆將答案寫在“答題紙”的相應(yīng)位置上．
二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）
11. 因式分解：x2+x=_____．
【答案】
【解析】
【分析】要將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的一般步驟是首先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有公因式，則把它提取出來(lái)，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．因此，直接提取公因式x即可．
【詳解】解：
12. 如圖，把兩根鋼條的一個(gè)端點(diǎn)連在一起，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．若，則該工件內(nèi)槽寬的長(zhǎng)為_(kāi)_________．

【答案】8
【解析】
【分析】利用三角形中位線定理即可求解．
【詳解】解：∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握“三角形的中位線是第三邊的一半”是解題的關(guān)鍵．
13. 下表為某中學(xué)統(tǒng)計(jì)的七年級(jí)名學(xué)生體重達(dá)標(biāo)情況（單位：人），在該年級(jí)隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該生體重“標(biāo)準(zhǔn)”的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)概率公式計(jì)算即可得出結(jié)果．
【詳解】解：該生體重“標(biāo)準(zhǔn)”的概率是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式，熟練掌握概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是本題的關(guān)鍵．
14. 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．
【答案】
【解析】
【分析】把點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題，畫出圖形可解決問(wèn)題．
【詳解】解：過(guò)A點(diǎn)作軸，過(guò)B點(diǎn)作軸，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
和中，
，
∴，
∴,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是正確作出圖形解決問(wèn)題．
15. 如圖，在中，，以為直徑作半圓，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則弧的長(zhǎng)為_(kāi)_________．
【答案】##
【解析】
【分析】連接，，，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，圓周角定理，中位線定理，弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，連接，，，

∵為直徑，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴弧的長(zhǎng)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一性質(zhì)，中位線定理，弧長(zhǎng)公式，熟練掌握三線合一性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖是一塊矩形菜地，面積為．現(xiàn)將邊增加．
（1）如圖1，若，邊減少，得到的矩形面積不變，則的值是__________．
（2）如圖2，若邊增加，有且只有一個(gè)的值，使得到的矩形面積為，則的值是__________．
【答案】 ①. 6 ②. ##
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面積的不變性，列式計(jì)算即可．
（2）根據(jù)面積，建立分式方程，轉(zhuǎn)化為a一元二次方程，判別式為零計(jì)算即可．
【詳解】（1）根據(jù)題意，得，起始長(zhǎng)方形的面積為，變化后長(zhǎng)方形的面積為，
∵，邊減少，得到的矩形面積不變，
∴，
解得，
故答案為：6．
（2）根據(jù)題意，得，起始長(zhǎng)方形的面積為，變化后長(zhǎng)方形的面積為，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵有且只有一個(gè)的值，
∴，
∴，
解得（舍去），
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的面積變化，一元二次方程的應(yīng)用，正確轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題有8小題，共66分，各小題都必須寫出解答過(guò)程）
17. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪、算術(shù)平方根的定義、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的意義，計(jì)算即可．
【詳解】解：原式，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪、算術(shù)平方根的定義、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的意義．本題的關(guān)鍵是注意各部分的運(yùn)算法則，細(xì)心計(jì)算．
18. 已知，求值．
【答案】
【解析】
【分析】原式利用平方差公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把已知等式變形后代入計(jì)算即可求出值．
【詳解】解：
．
當(dāng)時(shí)，原式．
【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算－化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
19. 為激發(fā)學(xué)生參與勞動(dòng)的興趣，某校開(kāi)設(shè)了以“端午”為主題的活動(dòng)課程，要求每位學(xué)生在“折紙龍”“采艾葉”“做香囊”與“包粽子”四門課程中選且只選其中一門，隨機(jī)調(diào)查了本校部分學(xué)生的選課情況，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)圖表信息回答下列問(wèn)題：

（1）求本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．
（2）本校共有名學(xué)生，若每間教室最多可安排名學(xué)生，試估計(jì)開(kāi)設(shè)“折紙龍”課程的教室至少需要幾間．
【答案】（1）本次調(diào)查抽取的學(xué)生人數(shù)為50人，見(jiàn)解析
（2）6間
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖已知數(shù)據(jù)和扇形統(tǒng)計(jì)圖已知的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，即可求出被調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再利用總?cè)藬?shù)減去選擇“折紙龍” “做香囊”與“包粽子”的人數(shù)，即可得到選擇“采艾葉”的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；
（2）根據(jù)選擇“折紙龍”人數(shù)的占比乘以1000，可求出學(xué)校選擇“折紙龍”的總?cè)藬?shù)，設(shè)需要x間教室，根據(jù)題意列方程，取最小整數(shù)即可得到答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：由選“包粽子”人數(shù)18人，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中占比，可得，
∴本次調(diào)查抽取的學(xué)生人數(shù)為50人．
其中選“采艾葉”的人數(shù)：．
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖：
【小問(wèn)2詳解】
解：選“折紙龍”課程的比例．
選“折紙龍”課程的總?cè)藬?shù)為（人），
設(shè)需要間教室，
可得，
解得取最小整數(shù)6．
∴估計(jì)至少需要6間教室．
【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合，用樣本估計(jì)總體，用一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題，結(jié)合條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖求出相關(guān)數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵．
20. 如圖，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，與軸相切于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

（1）求證：四邊形為矩形．
（2）已知的半徑為4，，求弦的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)及有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形判定即可．
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)、垂徑定理及圓的性質(zhì)計(jì)算即可．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵與軸相切于點(diǎn)，
∴軸．
∵，
∴，
∴四邊形是矩形．
【小問(wèn)2詳解】
如圖，連接．

四邊形是矩形，
．
在中，，
．
點(diǎn)為圓心，，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，垂徑定理，圓的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，為制作角度尺，將長(zhǎng)為10，寬為4的矩形分割成的小正方形網(wǎng)格．在該矩形邊上取點(diǎn)，來(lái)表示的度數(shù)．閱讀以下作圖過(guò)程，并回答下列問(wèn)題：
（答題卷用）
（1）分別求點(diǎn)表示的度數(shù)．
（2）用直尺和圓規(guī)在該矩形的邊上作點(diǎn)，使該點(diǎn)表示（保留作圖痕跡，不寫作法）．
【答案】（1）點(diǎn)表示；點(diǎn)表示
（2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可求出度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)度數(shù)，即可求出的度數(shù)，從而知道點(diǎn)表示度數(shù)；利用半徑相等即可求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出以及對(duì)應(yīng)的度數(shù)，從而知道點(diǎn)表示度數(shù)．
（2）利用角平分線的性質(zhì)作圖即可求出答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：①四邊形是矩形，
．
由作圖可知，是的中垂線，

．
．
．
點(diǎn)表示．
②由作圖可知，．
．
又，
．
．
∴點(diǎn)表示．
故答案：點(diǎn)表示，點(diǎn)表示．
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖所示，
作的角平分線等．如圖2，點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．

∵點(diǎn)表示，點(diǎn)表示．
．
∴表示．
【點(diǎn)睛】本題考查的是尺規(guī)作圖的應(yīng)用，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線段垂直平分線、角平分線性質(zhì)、圓的相關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵需要正確理解題意，清楚知道用到的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．
22. 兄妹倆放學(xué)后沿圖1中的馬路從學(xué)校出發(fā)，到書吧看書后回家，哥哥步行先出發(fā)，途中速度保持不變；妺妺騎車，到書吧前的速度為200米/分．圖2中的圖象分別表示兩人離學(xué)校的路程（米）與哥哥離開(kāi)學(xué)校的時(shí)間（分）的函數(shù)關(guān)系．

（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妺妺比哥哥遲2分鐘到書吧．
①求圖中值；
②妺妺在書吧待了10分鐘后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上時(shí)兄妺倆離家還有多遠(yuǎn)；若不能，說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）①；②能追上，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）結(jié)合圖表可得，根據(jù)速度等于路程除以時(shí)間，即可解答；
（2）①根據(jù)妺妺到書吧前的速度為200米/分，可知的解析式的k為200，設(shè)的解析式為，根據(jù)妺妺比哥哥遲2分鐘到書吧可得，將代入，即可得到一次函數(shù)解析式，把代入一次函數(shù)即可得到a的值；
②如圖，將妹妹走完全程的圖象畫出，將和的解析式求出，求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：由圖可得，
（米/分），
∴哥哥步行速度為100米/分．
【小問(wèn)2詳解】
①根據(jù)妺妺到書吧前的速度為200米/分，可知的解析式的k為200，
設(shè)所在直線為，將代入，得，
解得．
∴所在直線為，
當(dāng)時(shí)，，解得．
∴．
②能追上．
如圖，根據(jù)哥哥的速度沒(méi)變，可得的解析式的k值相同，妹妹的速度減小但仍大于哥哥的速度，將妹妹的行程圖象補(bǔ)充完整，
設(shè)所在直線為，將代入，得，
解得，
∴．
∵妺妺的速度是160米/分．
設(shè)所在直線為，將代入，得，
解得，
∴．
聯(lián)立方程，
解得，
∴米，即追上時(shí)兄妺倆離家300米遠(yuǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（行程問(wèn)題），從圖像中獲得正確的信息是解題的關(guān)鍵．
23. 問(wèn)題：如何設(shè)計(jì)“倍力橋”的結(jié)構(gòu)？
探究：圖是“橋”側(cè)面示意圖，為橫梁與地面的交點(diǎn)，為圓心，是橫梁側(cè)面兩邊的交點(diǎn)．測(cè)得，點(diǎn)到的距離為．試判斷四邊形的形狀，并求的值．
探究2：若搭成的“橋”剛好能繞成環(huán)，其側(cè)面示意圖的內(nèi)部形成一個(gè)多邊形．
①若有12根橫梁繞成環(huán)，圖4是其側(cè)面示意圖，內(nèi)部形成十二邊形，求的值；
②若有根橫梁繞成的環(huán)（為偶數(shù)，且），試用關(guān)于的代數(shù)式表示內(nèi)部形成的多邊形的周長(zhǎng)．
【答案】探究1：四邊形是菱形，；探究2：①；②
【解析】
【分析】探究1：根據(jù)圖形即可判斷出形狀；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可求出長(zhǎng)度，利用勾股定理即可求出長(zhǎng)度，從而求出值．
探究2：①根據(jù)十二邊形的特性可知，利用特殊角正切值求出長(zhǎng)度，最后利用菱形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度，從而求得值．②根據(jù)正多邊形的特性可知的度數(shù)，利用特殊角正切值求出和長(zhǎng)度，最后利用菱形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度，從而求得值．
【詳解】解：探究1：四邊形是菱形，理由如下：
由圖1可知，，，
為平行四邊形．
橋梁的規(guī)格是相同的，
∴橋梁的寬度相同，即四邊形每條邊上的高相等，
∵的面積等于邊長(zhǎng)乘這條邊上的高，
每條邊相等，
為菱形．
②如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
由題意，得，．
∴．
在中，，
∴．
∴．
故答案為：．
探究2：①如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
由題意，得，
．
．
又四邊形是菱形，
∴．
∴．
故答案為：．
②如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
由題意，形成的多邊形為正邊形，
外角．
在中，．
又，
∴．
形成的多邊形的周長(zhǎng)為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是一道生活實(shí)際應(yīng)用題，考查的是菱形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解題的關(guān)鍵在于將生活實(shí)際和有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)有效結(jié)合以及熟練掌握相關(guān)性質(zhì)．
24. 如圖，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在直線上，與軸的交點(diǎn)為，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．直線與直線相交于點(diǎn)．
（1）如圖2，若拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．
①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求的值．
（2）連接與能否相等？若能，求符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不能，試說(shuō)明理由．
【答案】（1）①；②
（2）能，或或或．
【解析】
【分析】（1）①先求頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；
②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)直線為，把代入，得，解得，直線為．同理，直線為．聯(lián)立兩直線解析式得出，根據(jù)，由平行線分線段成比例即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．①如圖2-1，當(dāng)時(shí)，存在．記，則．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，進(jìn)而得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．②如圖2-2，當(dāng)時(shí)，存在．記．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．③如圖，當(dāng)時(shí)，存在．記．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．④如圖2-4，當(dāng)時(shí)，存在．記．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
【小問(wèn)1詳解】
解：①∵，
∴頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
∴當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入，
得，
解得．
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
即．
②如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
設(shè)直線為，把代入，得，
解得，
∴直線為．
同理，直線為．
由
解得
∴．
∴．
∵，
∴．
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
①如圖，當(dāng)時(shí)，存在．
記，則．
∵為的外角，
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．
在中，，
∴，解得．
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．
②如圖2-2，當(dāng)時(shí)，存在．
記．
∵為的外角，
∴．
∴
∴．
∴．
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．
在中，，
∴，解得．
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
③如圖2-3，當(dāng)時(shí)，存在．記．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．
在中，，
∴，解得．
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
④如圖2-4，當(dāng)時(shí)，存在．記．
∵，
∴．
∴．
∴．
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．
在中，，
∴，解得．
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
綜上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，解直角三角形，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識(shí)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
“偏瘦”
“標(biāo)準(zhǔn)”
“超重”
“肥胖”
80
350
46
24
作法（如圖）
結(jié)論

①在上取點(diǎn)，使．
，點(diǎn)表示．
②以為圓心，8為半徑作弧，與交于點(diǎn)．
，點(diǎn)表示．
③分別以為圓心，大于長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)，連結(jié)與相交于點(diǎn)．
…
④以為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，與射線交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)．
…
圖1是搭成的“倍力橋”，縱梁夾住橫梁，使得橫梁不能移動(dòng)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)固．
圖是長(zhǎng)為，寬為的橫梁側(cè)面示意圖，三個(gè)凹槽都是半徑為的半圓．圓心分別為，縱梁是底面半徑為的圓柱體．用相同規(guī)格的橫梁、縱梁搭“橋”，間隙忽略不計(jì)．

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