2023年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題（含解析）

這是一份2023年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題（含解析），共35頁(yè)。
注意事項(xiàng)：
1．答題時(shí)，務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)，準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡指定的位置并將答題卡背面座位號(hào)對(duì)應(yīng)標(biāo)號(hào)涂黑．
2．答選擇題時(shí)，務(wù)必使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．
3．答非選擇題時(shí)，務(wù)必使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．
4．所有題目必須在答題卡規(guī)定的位置上作答，在試卷上答題無(wú)效．
一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目上．
1. 2的相反數(shù)是（ ）
A. 2B. －2C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】2的相反數(shù)是-2.
故選：B.
2. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)整式的加減計(jì)算即可．
【詳解】A、，不符合題意；
B、，符合題意；
C、不是同類項(xiàng)，無(wú)法計(jì)算，不符合題意；
D、，不同類項(xiàng)，無(wú)法計(jì)算，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，熟練掌握同類項(xiàng)的判定與合并是解題的關(guān)鍵．
3. 下列圖案中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形，故A選項(xiàng)不符合題意；
B、是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)不合題意；
C、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)不合題意；
D、既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故D選項(xiàng)符合題意．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義.
4. 為積極踐行節(jié)能減排的發(fā)展理念，宜賓大力推進(jìn)“電動(dòng)宜賓”工程，2022年城區(qū)已建成充電基礎(chǔ)設(shè)施接口超過(guò)8500個(gè)．將8500用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，其中，為整數(shù)，比位數(shù)少1位，按要求表示即可．
【詳解】解：根據(jù)科學(xué)記數(shù)法要求，8500共有4位數(shù)，從而用科學(xué)記數(shù)法表示為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法，按照定義，確定與的值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
5. 如圖， ，且，，則等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可求，再由，即可求解．
【詳解】解：，
，
，
，
．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6. “今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何”是《孫子算經(jīng)》卷中著名數(shù)學(xué)問(wèn)題．意思是：雞兔同籠，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94條腿．問(wèn)雞兔各有多少只？若設(shè)雞有只，兔有只，則所列方程組正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由設(shè)雞有只，兔有只，則由等量關(guān)系有35個(gè)頭和有94條腿列出方程組即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)雞有只，兔有只，則由題意可得
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查列二元一次方程組解決古代數(shù)學(xué)問(wèn)題，讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程組是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
7. 如圖，已知點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)．若，則等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】連接，如圖所示，根據(jù)圓周角定理，找到各個(gè)角之間的關(guān)系即可得到答案．
【詳解】解：連接，如圖所示：

點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)，
，
，
，
根據(jù)圓周角定理可知，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查圓中求角度問(wèn)題，涉及圓周角定理，找準(zhǔn)各個(gè)角之間的和差倍分關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
8. 分式方程的解為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)分式方程的解法直接求解即可得到答案．
【詳解】解：，
方程兩邊同時(shí)乘以得到，
，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
是原分式方程的解，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解法，對(duì)于分式方程求解驗(yàn)根是解決問(wèn)題的關(guān)鍵步驟．
9. 《夢(mèng)溪筆談》是我國(guó)古代科技著作，其中它記錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，是以點(diǎn)O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點(diǎn)，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值計(jì)算公式：．當(dāng)，時(shí)，則的值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】連接,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)，后代入公式計(jì)算即可．
【詳解】連接，根據(jù)題意，是以點(diǎn)O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點(diǎn)，，

得，
∴點(diǎn)M，N，O三點(diǎn)共線，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴
∴．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的函數(shù)值，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形中，M為對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P．若，則的長(zhǎng)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．
【詳解】解：四邊形是邊長(zhǎng)為6的正方形，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
又，
，
設(shè)，則，，
，
解得，
，，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
11. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在y，x軸上，軸．點(diǎn)M、N分別在線段、上，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)M、N兩點(diǎn)，P為x正半軸上一點(diǎn)，且，的面積為3，則k的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，先求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)可得，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式可得，從而可得的值，由此即可得．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，
，
，
，
，解得，
，
，
，
的面積為3，
，即，
整理得：，
將點(diǎn)代入得：，
整理得：，
將代入得：，解得，
則，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
12. 如圖，和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把以為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)為射線、的交點(diǎn)．若，．以下結(jié)論：
①；②；
③當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，；
④在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)線段最短時(shí)，的面積為．
其中正確結(jié)論有（ ）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】D
【解析】
【分析】證明即可判斷①，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出②，證明得出，即可判斷③；以為圓心，為半徑畫圓，當(dāng)在的下方與相切時(shí)，的值最小，可得四邊形是正方形，在中，然后根據(jù)三角形的面積公式即可判斷④．
【詳解】解：∵和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，故①正確；
設(shè)，
∴,
∴，
∴，故②正確；
當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示
∵，，
∴
∴
∵，．
∴，
∴
∴，故③正確；
④如圖所示，以為圓心，為半徑畫圓，
∵，
∴當(dāng)在的下方與相切時(shí)，的值最小，
∴四邊形是矩形，
又，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴取得最小值時(shí)，
∴
故④正確，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)把答案直接填在答題卡對(duì)應(yīng)題中橫線上．
13. 在“慶五四·展風(fēng)采”的演講比賽中，7位同學(xué)參加決賽，演講成績(jī)依次為：77，80，79，77，80，79，80．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是___________．
【答案】79
【解析】
【分析】根據(jù)有序數(shù)組中間的一個(gè)數(shù)據(jù)或中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)計(jì)算即可．
【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：77，77，79，79，80，80，80，
中間數(shù)據(jù)是79，
故中位數(shù)是79．
故答案為：79．
【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．
14. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___．
【答案】x（x﹣3）2
【解析】
詳解】解：x3﹣6x2+9x
=x（x2﹣6x+9）
=x（x﹣3）2
故答案為：x（x﹣3）2
15. 若關(guān)于x的方程兩根的倒數(shù)和為1，則m的值為_(kāi)__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．
【詳解】解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別為a，b，
由題意得：，，
∴，
∴，解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，
檢驗(yàn)：，
∴符合題意，
∴．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
16. 若關(guān)于x的不等式組所有整數(shù)解的和為，則整數(shù)的值為_(kāi)__________．
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)題意可求不等式組的解集為，再分情況判斷出的取值范圍，即可求解．
【詳解】解：由①得：，
由②得：，
不等式組的解集為：，
所有整數(shù)解的和為，
①整數(shù)解為：、、、，
，
解得：，
為整數(shù)，
．
②整數(shù)解為：，，，、、、，
，
解得：，
為整數(shù)，
．
綜上，整數(shù)的值為或
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了含參數(shù)的一元一次不等式組的整數(shù)解問(wèn)題，掌握一元一次不等式組的解法，理解參數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．
17. 如圖，是正方形邊的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，線段以為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為_(kāi)__________．

【答案】
【解析】
【分析】連接，將以中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，由 的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，可得：的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，再根據(jù)“圓外一定點(diǎn)到圓上任一點(diǎn)的距離，在圓心、定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，三點(diǎn)共線時(shí)定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間的距離最短”，所以當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，可求，從而可求解．
【詳解】解，如圖，連接，將以中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，
的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，
的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，
如圖，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，
四邊形是正方形，
，，
是中點(diǎn)，
，
，
由旋轉(zhuǎn)得：，
，
，
值最小為．
故答案：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段最小值問(wèn)題，掌握相關(guān)的性質(zhì)，根據(jù)題意找出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．
18. 如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為，且拋物線與軸的交點(diǎn)B在和之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：

①當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，；
③當(dāng)為直角三角形時(shí)，在內(nèi)存在唯一點(diǎn)P，使得的值最小，最小值的平方為．
其中正確的結(jié)論是___________．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）
【答案】②③
【解析】
【分析】根據(jù)條件可求拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象即可判斷①；設(shè)拋物線為，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)割補(bǔ)法求面積，判斷②；分三種情況討論，然后以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，，得到，判斷③．
【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為，
∴對(duì)稱軸，
∴拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為，
由圖象可得：當(dāng)時(shí)，；
∴①錯(cuò)，不符合題意；
∵拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴設(shè)拋物線為，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作平行于y軸的直線l，過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)B作，

∴，
設(shè)直線的解析式為，
把，代入得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
當(dāng)是，，
∴，
∴，
∴，
解得：，故②正確；
∵點(diǎn)B是拋物線與y軸的交點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵為直角三角形，
當(dāng)時(shí)，
∴，
∵，，，
∴，整理得：，
解得：或（舍）
∴，
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴，整理得：
解得：或（舍）
∴，
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴，無(wú)解；
以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，，如圖所示，

則，為等邊三角形，
∴，，
∴，
∵為等邊三角形，
∴，，
∴，
當(dāng)時(shí)，
∵，
當(dāng)時(shí)，
，
∴的值最小，最小值的平方為，故③正確；
故答案為：②③．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)是關(guān)鍵．
三、解答題：本大題共7個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟
19. 計(jì)算
（1）計(jì)算：．
（2）化簡(jiǎn)：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)、零指數(shù)冪、絕對(duì)值化簡(jiǎn)計(jì)算即可；
（2）根據(jù)分式化簡(jiǎn)運(yùn)算規(guī)則計(jì)算即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：原式
；
【小問(wèn)2詳解】
解：原式
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算與分式化簡(jiǎn)以及特殊角三角函數(shù)，熟記運(yùn)算法則是關(guān)鍵．
20. 已知：如圖，，，．求證：．

【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，然后證明，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵，
∴
即
在與中
，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
21. 某校舉辦“我勞動(dòng)，我快樂(lè)，我光榮”活動(dòng)．為了解該校九年級(jí)學(xué)生周末在家的勞動(dòng)情況，隨機(jī)調(diào)查了九年級(jí)1班的所有學(xué)生在家勞動(dòng)時(shí)間（單位：小時(shí)），并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)和整理繪制如圖所示的不完整統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖表信息回答以下問(wèn)題：

（1）九年級(jí)1班學(xué)生共有___________人，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）若九年級(jí)學(xué)生共有800人，請(qǐng)估計(jì)周末在家勞動(dòng)時(shí)間在3小時(shí)及以上的學(xué)生人數(shù)；
（3）已知E類學(xué)生中恰好有2名女生3名男生，現(xiàn)從中抽取兩名學(xué)生做勞動(dòng)交流，請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法，求所抽的兩名學(xué)生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）50，條形統(tǒng)計(jì)圖見(jiàn)解析
（2）人
（3）
【解析】
【分析】（1）利用C類人數(shù)除以對(duì)應(yīng)的百分比即可得到九年級(jí)1班的總?cè)藬?shù)，再分別求出B和D的人數(shù)，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；
（2）用九年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)乘以九年級(jí)1班周末在家勞動(dòng)時(shí)間在3小時(shí)及以上的學(xué)生占的比值即可得到答案；
（3）根據(jù)題意列出表格，利用滿足要求的情況數(shù)除以總的情況數(shù)即可得到答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意得到，（人），
故答案為：50
類別B的人數(shù)為（人），類別D的人數(shù)為（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：
【小問(wèn)2詳解】
由題意得，（人），
即估計(jì)周末在家勞動(dòng)時(shí)間在3小時(shí)及以上的學(xué)生人數(shù)為人；
【小問(wèn)3詳解】
列表如下：
由表格可知，共有20種等可能的情況，其中一男一女共有12種，
∴所抽的兩名學(xué)生恰好是一男一女的概率是．
【點(diǎn)睛】此題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的信息關(guān)聯(lián)、用樹(shù)狀圖或列表法求概率、樣本估計(jì)總體等知識(shí)，熟練掌握用樹(shù)狀圖或列表法求概率、樣本估計(jì)總體是解題的關(guān)鍵．
22. 渝昆高速鐵路的建成，將會(huì)顯著提升宜賓的交通地位．渝昆高速鐵路宜賓臨港長(zhǎng)江公鐵兩用大橋（如圖），橋面采用國(guó)內(nèi)首創(chuàng)的公鐵平層設(shè)計(jì)．為測(cè)量左橋墩底到橋面的距離，如圖．在橋面上點(diǎn)處，測(cè)得到左橋墩的距離米，左橋墩所在塔頂?shù)难鼋?，左橋墩底的俯角，求的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到米．參考數(shù)據(jù)：，）

【答案】的長(zhǎng)度米
【解析】
【分析】上截取，使得，設(shè)，在中，，，則，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：如圖所示，上截取，使得，

∴，
∵
∴，
設(shè)，在中，，
∴
又
∴
∴
即米
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
23. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，頂點(diǎn)A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．

（1）分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使周長(zhǎng)的值最?。舸嬖?，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1），
（2）在x軸上存在一點(diǎn)，使周長(zhǎng)的值最小,最小值是．
【解析】
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，證明，則，由得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是，由A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上得到，解得，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，進(jìn)一步用待定系數(shù)法即可得到答案；
（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接交x軸于點(diǎn)P，連接，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，，則，由知是定值，此時(shí)的周長(zhǎng)為最小，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出周長(zhǎng)最小值即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，
則，

∵點(diǎn)，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，
∵A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．
∴，
解得，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式是，
設(shè)直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為，把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得，
，解得,
∴直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為，
【小問(wèn)2詳解】
延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接交x軸于點(diǎn)P，連接，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴，，
∵，
∴的最小值是的長(zhǎng)度，
∵，即是定值，
∴此時(shí)的周長(zhǎng)為最小，
設(shè)直線的解析式是，
則，
解得，
∴直線的解析式是，
當(dāng)時(shí)，，解得，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)是，
此時(shí)，
綜上可知，在x軸上存在一點(diǎn)，使周長(zhǎng)的值最小，最小值是．
【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、用到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理求兩點(diǎn)間距離、軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，以為直徑的上有兩點(diǎn)、，，過(guò)點(diǎn)作直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)作平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（1）求證：是的切線；
（2）求證：；
（3）如果是的中點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出，根據(jù)，得出，則可得，根據(jù)已知，得出，即可得證；
（2）根據(jù)角平分線的定義得出，又，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，由是的直徑，即可得證；
（3）取的中點(diǎn)，連接，證明，由是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，得出，進(jìn)而得出，設(shè)，則，勾股定理得出，,證明得出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
證明：如圖所示，

∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴是的切線；
【小問(wèn)2詳解】
證明：如圖所示，

∵平分
∴
又∵，
則，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，

∵是的切線，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴
設(shè)，則，
∴
∵
∴
∴，,
∵，，
∴，
∴，
∵是的角平分線，
∴到的距離相等，設(shè)為，在，設(shè)點(diǎn)到的距離為，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）在x軸上方的拋物線上任取一點(diǎn)N，射線、分別與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)P、Q，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求的面積；
（3）點(diǎn)M是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，求M的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)，確定a值即可．
（2）設(shè)，直線的解析式為，直線的解析式為，表示出P，Q，的坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算即可．
（3）當(dāng)M是y軸與經(jīng)過(guò)A，C，M三點(diǎn)的圓的切點(diǎn)是最大計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
∵拋物線與x軸交于點(diǎn)、，
∴設(shè)拋物線的解析式為，
∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴，
解得，
∴，
∴．
【小問(wèn)2詳解】
如圖，當(dāng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，
∵，
∴對(duì)稱軸為直線，
設(shè)，直線的解析式為，直線的解析式為，
∴
解得，
∴直線的解析式為，直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
，
∴，，，
∴，
∴．
如圖，當(dāng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，
∵，
∴對(duì)稱軸為直線，
設(shè)，，，，
∴，
∴．
綜上所述，．
【小問(wèn)3詳解】
當(dāng)?shù)耐饨訄A與相切，切點(diǎn)為M時(shí)， 最大，
設(shè)外接圓的圓心為E，Q是異于點(diǎn)M的一點(diǎn)，連接，，交圓于點(diǎn)T，
則，根據(jù)三角形外角性質(zhì)，得，故，
∴最大，
設(shè)與圓交于點(diǎn)H，連接，，根據(jù)切線性質(zhì)，
∴，
作直徑，連接，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
過(guò)點(diǎn)E作，垂足為F，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為G，交于點(diǎn)P，
根據(jù)垂徑定理，得，四邊形是矩形，
∴，
根據(jù)，得，
∴，
∴，
在直角三角形中，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
故，
∴當(dāng)最大時(shí)，．
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，三角形的外接圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．類別
勞動(dòng)時(shí)間
A
B
C
D
E
女1
女2
男1
男2
男3
女1
女1，女2
女1，男1
女1，男2
女1，男3
女2
女2，女1
女2，男1
女2，男2
女2，男3
男1
男1，女1
男1，女2
男1，男2
男1，男3
男2
男2，女1
男2，女2
男2，男1
男2，男3
男3
男3，女1
男3，女2
男3，男1
男3，男2