（考試時(shí)間120分鐘 滿分120分）
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如雷改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答在試卷上無效．
3．非選擇題作答：用0.5毫米黑色墨水簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試卷上無效．
4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的）
1. 實(shí)數(shù)﹣2023的絕對(duì)值是（ ）
A. 2023B. ﹣2023C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義即可得出答案．
【詳解】解：因?yàn)樨?fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，
所以，﹣2023的絕對(duì)值等于2023．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的代數(shù)意義，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是本題的關(guān)鍵．
2. 如圖，直線，直線l與、相交，若圖中，則為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)進(jìn)行求解，即可得到答案．
【詳解】解：直線，
，
，
，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
3. 如圖是一個(gè)放在水平桌面上的圓柱體，該幾何體的三視圖中完全相同的是（ ）

A. 主視圖和俯視圖B. 左視圖和俯視圖C. 主視圖和左視圖D. 三個(gè)視圖均相同
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三視圖的定義判斷即可．
【詳解】該幾何體的三視圖中完全相同的是主視圖和左視圖，均為矩形，俯視圖是一個(gè)圓．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的知識(shí)點(diǎn)，主要掌握主視圖、左視圖、俯視圖分別是從物體的前面、左面、上面看到的圖形是解題的關(guān)鍵．
4. 某班在開展勞動(dòng)教育課程調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，第一小組6名同學(xué)每周做家務(wù)的天數(shù)依次為3，7，5，6，5，4（單位：天），則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（ ）
A. 5和5B. 5和4C. 5和6D. 6和5
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解．
【詳解】解：將數(shù)據(jù)重新排列為3，4，5，5，6，7，
所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5，中位數(shù)，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的概念：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
5. 甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同修一條道路，其中甲工程隊(duì)需要修9千米，乙工程隊(duì)需要修12千米．已知乙工程隊(duì)每個(gè)月比甲工程隊(duì)多修1千米，最終用的時(shí)間比甲工程隊(duì)少半個(gè)月．若設(shè)甲工程隊(duì)每個(gè)月修x千米，則可列出方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)甲工程隊(duì)每個(gè)月修x千米，則乙工程隊(duì)每個(gè)月修千米，根據(jù)“最終用的時(shí)間比甲工程隊(duì)少半個(gè)月”列出分式方程即可．
【詳解】解：設(shè)甲工程隊(duì)每個(gè)月修x千米，則乙工程隊(duì)每個(gè)月修千米，
依題意得，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是分析題意，找準(zhǔn)關(guān)鍵語句，列出相等關(guān)系．
6. 甲、乙兩車沿同一路線從A城出發(fā)前往B城，在整個(gè)行程中，汽車離開A城的距離y與時(shí)刻t的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示，關(guān)于下列結(jié)論：①A，B兩城相距；②甲車的平均速度是，乙車的平均速度是；③乙車先出發(fā)，先到達(dá)B城；④甲車在追上乙車．正確的有（ ）

A. ①②B. ①③C. ②④D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圖象逐項(xiàng)分析判斷即可．
【詳解】解：由圖象知：
①A，B兩城相距，故此項(xiàng)正確；
②甲車的平均速度是，乙車的平均速度是，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；
③乙車先出發(fā)，才到達(dá)B城，甲車后出發(fā)，就到達(dá)B城，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；
④兩車在時(shí)，行駛路程一樣，即甲車在追上乙車，故此項(xiàng)正確．
綜上，①④說法正確，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖象，正確識(shí)別圖象并能提取相關(guān)信息是解答的關(guān)鍵．
7. 如圖，在中，分別以B，D為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，過M，N兩點(diǎn)作直線交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)E，F(xiàn)，下列結(jié)論不正確的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)作圖可知：垂直平分，得到，于是得到點(diǎn)O為的對(duì)稱中心，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，推出四邊形是菱形，據(jù)此判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)作圖可知：垂直平分，
∴，
∴點(diǎn)O為的對(duì)稱中心，

∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，故B正確；
∴，
∴，故A正確；
∴四邊形是菱形，
∴，故C正確；
與不一定相等，故D錯(cuò)誤，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握菱形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
8. 已知蓄電池的電壓為定值，使用某蓄電池時(shí)，電流I(單位：A)與電阻R(單位：)是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，則當(dāng)電阻為時(shí)，電流為( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)該反比函數(shù)解析式為，根據(jù)當(dāng)時(shí)，，可得該反比函數(shù)解析式為，再把代入，即可求出電流I．
【詳解】解：設(shè)該反比函數(shù)解析式為，
由題意可知，當(dāng)時(shí)，，
，
解得：，
設(shè)該反比函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
即電流為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出反比例函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
9. 設(shè)有邊長分別為a和b()的A類和B類正方形紙片、長為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個(gè)邊長為的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個(gè)長為、寬為的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為( )

A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】計(jì)算出長為，寬為的大長方形的面積，再分別得出A、B、C卡片的面積，即可看出應(yīng)當(dāng)需要各類卡片多少張．
【詳解】解：長為，寬為的大長方形的面積為：
；
需要6張A卡片，2張B卡片和8張C卡片．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積，解題的關(guān)鍵是理解結(jié)果中項(xiàng)的系數(shù)即為需要C類卡片的張數(shù)．
10. 如圖，已知開口向下的拋物線與x軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．則下列結(jié)論正確的有（ ）
①；
②；
③方程的兩個(gè)根為；
④拋物線上有兩點(diǎn)和，若且，則．

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的圖象與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．
【詳解】解：由拋物線的開口可知：，由拋物線與y軸的交點(diǎn)可知：，由拋物線的對(duì)稱軸可知：，∴，
∴，故①正確；
∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，
則另一個(gè)交點(diǎn)，
∴時(shí)，，
∴，故②正確；
∵拋物線與x軸交于點(diǎn)和，
∴的兩根為6和，
∴，，則，，
如果方程的兩個(gè)根為成立，
則，
而，∴，
∴方程的兩個(gè)根為不成立，故③不正確；
∵，∴P、Q兩點(diǎn)分布在對(duì)稱軸的兩側(cè)，
∵，
即到對(duì)稱軸的距離小于到對(duì)稱軸的距離，
∴，故④不正確．
綜上，正確的有①②，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)系數(shù)符號(hào)由拋物線開口方向、對(duì)稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定．
二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分．只需要將結(jié)果直接填寫在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)處的橫線上）
11. 計(jì)算：___________．
【答案】0
【解析】
分析】先算乘方，再計(jì)算乘法，最后算加減．
【詳解】解：．
故答案為：0．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則．
12. 如圖，在中，，則的度數(shù)為___________．

【答案】##30度
【解析】
【分析】根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)圓周角定理解答即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理和圓周角定理，掌握同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．
13. 已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，則x1＋x2﹣x1x2的值等于_____．
【答案】2
【解析】
【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝3，x1x2＝1，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【詳解】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：
x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2，x1x2．熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
14. 如圖，在中，，D為上一點(diǎn)，若是的角平分線，則___________．

【答案】3
【解析】
【分析】首先證明，，設(shè)，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作的垂線，垂足為P，

在中，∵，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，，
設(shè)，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
15. 某天老師給同學(xué)們出了一道趣味數(shù)學(xué)題：
設(shè)有編號(hào)為1-100100盞燈，分別對(duì)應(yīng)著編號(hào)為1-100的100個(gè)開關(guān)，燈分為“亮”和“不亮”兩種狀態(tài)，每按一次開關(guān)改變一次相對(duì)應(yīng)編號(hào)的燈的狀態(tài)，所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”．現(xiàn)有100個(gè)人，第1個(gè)人把所有編號(hào)是1的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第2個(gè)人把所有編號(hào)是2的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第3個(gè)人把所有編號(hào)是3的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，……，第100個(gè)人把所有編號(hào)是100的整數(shù)倍的開關(guān)按一次．問最終狀態(tài)為“亮”
的燈共有多少盞？
幾位同學(xué)對(duì)該問題展開了討論：
甲：應(yīng)分析每個(gè)開關(guān)被按的次數(shù)找出規(guī)律：
乙：1號(hào)開關(guān)只被第1個(gè)人按了1次，2號(hào)開關(guān)被第1個(gè)人和第2個(gè)人共按了2次，3號(hào)開關(guān)被第1個(gè)人和第3個(gè)人共按了2次，……
丙：只有按了奇數(shù)次的開關(guān)所對(duì)應(yīng)的燈最終是“亮”的狀態(tài)．
根據(jù)以上同學(xué)的思維過程，可以得出最終狀態(tài)為“亮”的燈共有___________盞．
【答案】10
【解析】
【分析】燈的初始狀態(tài)為“不亮”，按奇數(shù)次，則狀態(tài)為“亮”，按偶數(shù)次，則狀態(tài)為“不亮”，確定1-100中，各個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，完全平方數(shù)的因數(shù)為奇數(shù)個(gè)，從而求解．
【詳解】所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”，按奇數(shù)次，則狀態(tài)為“亮”，按偶數(shù)次，則狀態(tài)為“不亮”；
因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)只有完全平方數(shù)，1-100中，完全平方數(shù)為1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10個(gè)數(shù)，故有10盞燈被按奇數(shù)次，為“亮”的狀態(tài)；
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查因數(shù)分解，完全平方數(shù)，理解因數(shù)的意義，完全平方數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，在矩形中，，M是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將沿直線對(duì)折，得到．當(dāng)射線交線段于點(diǎn)P時(shí)，連接，則的面積為___________；的最大值為___________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等底等高的三角形和矩形面積關(guān)系分析求解；
（2）結(jié)合勾股定理分析可得，當(dāng)最大時(shí)，即最大，通過分析點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合勾股定理確定的最值，從而求得的最大值．
【詳解】解：由題意可得的面積等于矩形的一半，
∴的面積為，
在中，，
∴當(dāng)最大時(shí)，即最大，
由題意可得點(diǎn)N是在以D為圓心4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)射線與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)C、N、M三點(diǎn)共線，如圖：

由題意可得：，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握矩形和折疊的性質(zhì)，分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答應(yīng)寫出必要的演算步驟、文字說明或證明過程）
17. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】先根據(jù)分式的減法法則算括號(hào)里面的，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【詳解】解：
，
當(dāng)時(shí)，原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．
18. 如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，．

（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，求四邊形的面積．
【答案】（1）見解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)求得，然后根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形分析推理；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求得的面積，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)求解．
【小問1詳解】
解：∵，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵矩形中，，
∴平行四邊形是菱形；
【小問2詳解】
解：矩形的面積為，
∴的面積為，
∴菱形的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的判定，屬于中考基礎(chǔ)題，掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定方法，正確推理論證是解題關(guān)鍵．
19. 中學(xué)生心理健康受到社會(huì)的廣泛關(guān)注，某校開展心理健康教育專題講座，就學(xué)生對(duì)心理健康知識(shí)的了解程度，采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式，根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

根據(jù)圖中信息回答下列問題：
（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有___________人，條形統(tǒng)計(jì)圖中m的值為___________，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“非常了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為___________；
（2）若該校共有學(xué)生800人，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，可以估計(jì)出該校學(xué)生中對(duì)心理健康知識(shí)“不了解”的總?cè)藬?shù)為___________人；
（3）若某班要從對(duì)心理健康知識(shí)達(dá)到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2人參加心理健康知識(shí)競(jìng)賽，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
【答案】（1）80，16，
（2）40 （3）恰好抽到2名女生的概率為．
【解析】
【分析】（1）用“基本了解”的人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)減去其他項(xiàng)的人數(shù)，求出“了解很少”的人數(shù)；用乘以扇形統(tǒng)計(jì)圖中“非常了解”部分所占的比例即可；
（2）用總?cè)藬?shù)800乘以“不了解”的人數(shù)所占的比例即可；
（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，找出恰好抽到2名女生的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式求解．
【小問1詳解】
解：接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有（人，
（人，
扇形統(tǒng)計(jì)圖中“非常了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為；
故答案為：80，16，；
【小問2詳解】
解：根據(jù)題意得：
（人，
答：估計(jì)出該校學(xué)生中對(duì)心理健康知識(shí)“不了解”的總?cè)藬?shù)為40人；
故答案為：40；
【小問3詳解】
解：由題意列樹狀圖：

由樹狀圖可知，所有等可能的結(jié)果有12種，恰好抽到2名女生的結(jié)果有2種，
∴恰好抽到2名女生的概率為．
【點(diǎn)睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
20. 某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡長米，坡角，小華在C處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為，在D處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為．（已知點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，B，C在同一水平線上）

（1）求點(diǎn)D到地面的距離；
（2）求該建筑物的高度．
【答案】（1）5米 （2）米
【解析】
【分析】（1）過點(diǎn)D作，根據(jù)坡角的概念及含直角三角形的性質(zhì)分析求解；
（2）通過證明，然后解直角三角形分析求解．
【小問1詳解】
解：過點(diǎn)D作，

由題意可得，
∴在Rt中，，
即點(diǎn)D到地面的距離為5米；
【小問2詳解】
如圖，

由題意可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴在Rt中，，即，
解得，
在Rt中，，即，
解得，
答：該建筑物的高度為15米．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角、坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
21. 如圖，是的直徑，點(diǎn)E，C在上，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，垂直于過C點(diǎn)的直線，垂足為D，的延長線交直線于點(diǎn)F．

（1）求證：是的切線；
（2）若，，①求的半徑；②求線段的長．
【答案】（1）證明見解析
（2）①3；②2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等和等邊對(duì)等角的性質(zhì)，得到，推出，進(jìn)而得到，再利用圓的切線的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）①連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角和平行線的判定，得到，進(jìn)而得到，再利用銳角三角函數(shù)，求得，即可求出的半徑；
②利用銳角三角函數(shù)，分別求出和的長，即可得到線段的長．
【小問1詳解】
證明：如圖，連接，

點(diǎn)C是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
【小問2詳解】
解：①如圖，連接，

是直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半徑為；
②由（1）可知，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題是圓和三角形綜合題，考查了圓的切線的判定定理，圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)，靈活運(yùn)用正弦值求邊長是解題關(guān)鍵．
22. 為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，增加村民收入，某村委會(huì)干部帶領(lǐng)村民在網(wǎng)上直播推銷農(nóng)產(chǎn)品，在試銷售的30天中，第x天（且x為整數(shù)）的售價(jià)p（元/千克）與x的函數(shù)關(guān)系式（且x為整數(shù)），銷量q（千克）與x的函數(shù)關(guān)系式為，已知第5天售價(jià)為50元/千克，第10天售價(jià)為40元/千克，設(shè)第x天的銷售額為W元
（1）___________， ___________；
（2）求第x天的銷售額W元與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在試銷售的30天中，銷售額超過1000元的共有多少天？
【答案】（1），
（2）時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
（3）7天
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求待定系數(shù)；
（2）根據(jù)“銷售額=售價(jià)×銷售量”列出函數(shù)關(guān)系式，
（3）利用二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)分析求解.
【小問1詳解】
解：∵第5天售價(jià)為50元/千克，第10天售價(jià)為40元/千克，
∴，解得，
故答案為：，；
【小問2詳解】
解：由題意當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
【小問3詳解】
解：由題意當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，最大為，
當(dāng)時(shí)，，
由時(shí)，解得，
又∵x為整數(shù)，且，
∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
∴第至天，銷售額超過1000元，共7天．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，分段分析函數(shù)解析式，掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
23. 1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．
（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）
當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，
如圖1，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，如圖2，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有 ③ ；
已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為 ④ 點(diǎn)．
（2）如圖4，在中，三個(gè)內(nèi)角均小于，且，已知點(diǎn)P為的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求的值；

（3）如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元．（結(jié)果用含a的式子表示）
【答案】（1）①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③；④A．
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）的方法將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，即可得出可知當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，最小值為，在根據(jù)可證明，由勾股定理求即可，
（3）由總的鋪設(shè)成本，通過將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，得到等腰直角，得到，即可得出當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，即取最小值為，然后根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出即可．
【小問1詳解】
解：∵，
∴為等邊三角形；
∴，，
又，故，
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，
最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，，
∴三個(gè)頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)A到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小．
又∵已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．
∴該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)A，
故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③；④．
【小問2詳解】
將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，
由（1）可知當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，最小值為，

∵，
∴，
又∵
∴，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，
∴，
∴最小值為，
【小問3詳解】
∵總鋪設(shè)成本
∴當(dāng)最小時(shí)，總的鋪設(shè)成本最低，
將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，，
∴，
∴，
當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，即取最小值為，

過點(diǎn)作，垂足為，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
的最小值為
總的鋪設(shè)成本（元）
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了費(fèi)馬點(diǎn)求最值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
24. 如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，和，連接，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

（1）直接寫出拋物線和直線的解析式；
（2）如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)三角形與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)），若存在，直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）拋物線：；直線：
（2）或或
（3），或，或，
【解析】
【分析】（1）由題得拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入求，進(jìn)而得拋物線的解析式；設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入求，，進(jìn)而得直線的解析式．
（2）由題得，分別求出，，，對(duì)等腰中相等的邊進(jìn)行分類討論，進(jìn)而列方程求解；
（3）對(duì)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)或右側(cè)進(jìn)行分類討論，設(shè)法表示出各線段的長度，利用相似三角形的相似比求解，進(jìn)而可得，的坐標(biāo)．
【小問1詳解】
解：拋物線過點(diǎn)，，
拋物線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)代入上式，得，
．
拋物線的表達(dá)式為，即．
設(shè)直線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)，代入上式，
得，
解得．
直線的表達(dá)式為．
【小問2詳解】
解：點(diǎn)在直線上，且，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，，．
當(dāng)為等腰三角形時(shí)，
①若，則，
即，
解得．
②若，則，
即，
解得或（舍去）．
③若，則，
即，
解得（舍去）或．
綜上，或或．
【小問3詳解】
解：點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，
或．
①若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，
則，，．
當(dāng)，即時(shí)，
直線的表達(dá)式為，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
當(dāng)，即時(shí)，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若點(diǎn)點(diǎn)右側(cè)，
則，．
當(dāng)，即時(shí)，
直線的表達(dá)式為，
，解得或（舍去），
，
，即，
解得．
，．
當(dāng)，即時(shí)，
，．
，即，
解得或（舍去）．
，．
綜上，，或，或，．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離的算法，相似三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

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