2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題（含解析）

這是一份2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題（含解析），共34頁(yè)。試卷主要包含了考生必須保持答題卡的整潔等內(nèi)容，歡迎下載使用。
學(xué)校：___________ 考生姓名：___________ 準(zhǔn)考證號(hào)：___________
注意事項(xiàng)：
1．本試卷共8頁(yè)，滿(mǎn)分120分，考試時(shí)間120分鐘．
2．答題前考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
3．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．答在試卷上無(wú)效．
4．非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．答在試卷上無(wú)效．
5．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．
·祝考試順利·
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共計(jì)30分）
1. 10的相反數(shù)是（ ）
A. －10B. 10C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義直接求解．
【詳解】解：10的相反數(shù)是－10．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
2. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的加法，同底數(shù)冪的乘除法，冪的乘方這些公式進(jìn)行運(yùn)算即可．
【詳解】A選項(xiàng)，和不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故不符合題意；
B選項(xiàng)，，正確，故符合題意；
C選項(xiàng)，，不正確，故不符合題意；
D選項(xiàng)，，不正確，故不符合題意．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握同底數(shù)冪的加法，同底數(shù)冪的乘除法，冪的乘方這些運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
3. 中華鱘是地球上最古老的脊椎動(dòng)物之一，距今約有140000000年的歷史，是國(guó)家一級(jí)保護(hù)動(dòng)物和長(zhǎng)江珍稀特有魚(yú)類(lèi)保護(hù)的旗艦型物種，3月28日是中華鱘保護(hù)日，有關(guān)部門(mén)進(jìn)行放流活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)魚(yú)類(lèi)物種的延續(xù)并對(duì)野生資源形成持續(xù)補(bǔ)充．將140000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【詳解】解：
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)，掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵．
4. 下列立體圖形中，主視圖是圓的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分別得出棱柱，圓柱，圓錐，球體的主視圖，得出結(jié)論．
【詳解】解：棱柱的主視圖是矩形（中間只有一條線(xiàn)段），不符合題意；
圓柱的主視圖是矩形，不符合題意；
圓錐的主視圖是等腰三角形，不符合題意；
球體的主視圖是圓，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．
5. 如圖，直線(xiàn)，于點(diǎn)E．若，則度數(shù)是（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，求出的度數(shù)，再直角三角形的兩銳角互余即可求出．
【詳解】解：延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)，

∵，，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)和正確利用平行線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6. 已知不等式組的解集是，則（ ）
A. 0B. C. 1D. 2023
【答案】B
【解析】
【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進(jìn)行計(jì)算，可得，再結(jié)合已知可得，，然后進(jìn)行計(jì)算可求出，的值，最后代入式子中進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式組的解集為：，
∵不等式組的解集是，
∴，，
∴，，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)一元一次不等式組的解集求參數(shù)，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
7. 象棋起源于中國(guó)，中國(guó)象棋文化歷史悠久．如圖所示是某次對(duì)弈的殘圖，如果建立平面直角坐標(biāo)系，使棋子“帥”位于點(diǎn)的位置，則在同一坐標(biāo)系下，經(jīng)過(guò)棋子“帥”和“馬”所在的點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)即可得解．
【詳解】解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，可得“馬”所在的點(diǎn)，

設(shè)經(jīng)過(guò)棋子“帥”和“馬”所在的點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為，
∵過(guò)點(diǎn)和，
∴，
解得，
∴經(jīng)過(guò)棋子“帥”和“馬”所在的點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法式解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作半圓，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】連接，，作交于點(diǎn)，首先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，然后利用解直角三角形求出、的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到是等邊三角形，，然后根據(jù)角直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度，最后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖所示，連接，，作交于點(diǎn)

∵在中，，，，
∴，
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作半圓，
∴是半圓的直徑，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了角直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形面積，勾股定理等知識(shí)，正確添加輔助線(xiàn)，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，且過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)在第一象限，其部分圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①；②；③；④若，（其中）是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，且，則，其中正確的選項(xiàng)是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，，，可判斷結(jié)論①；由處的函數(shù)值可判斷結(jié)論②；由處函數(shù)值可判斷結(jié)論③；根據(jù)得到點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離小于點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離可判斷結(jié)論④．
【詳解】解：二次函數(shù)開(kāi)口向下，則，
二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為，則，，，
∴，故①正確；
∵過(guò)點(diǎn)，
∴由對(duì)稱(chēng)性可得二次函數(shù)與軸的另一交點(diǎn)為，
由函數(shù)圖象可得時(shí)，
，故②正確；
時(shí)，
，
代入得：，故③錯(cuò)誤；
∵對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，
∴若，即時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，
點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離小于點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離
∵二次函數(shù)開(kāi)口向下
∴，故④正確．
綜上所述，正確的選項(xiàng)是①②④．
故選： D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合，掌握二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
10. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足．當(dāng)線(xiàn)段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，連接，分別過(guò)、作，，垂足為、，先證，得，從而當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)，且點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，取得最大值，然后分別證，，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，
∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的上，
在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，連接，分別過(guò)、作，，垂足為、，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)，且點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，取得最大值，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵軸軸，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得，
同理可得，，
∴即，
解得，
∴，
∴當(dāng)線(xiàn)段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的一般概念以及坐標(biāo)與圖形，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共計(jì)18分）
11. 計(jì)算：=_______．
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念求解即可．算術(shù)平方根的定義：一個(gè)非負(fù)數(shù)的正的平方根，即為這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，由此即可求出結(jié)果．
【詳解】解：原式==4．
故答案為4．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了算術(shù)平方根的定義，算術(shù)平方根的概念易與平方根的概念混淆而導(dǎo)致錯(cuò)誤．
12. 為了加強(qiáng)中學(xué)生“五項(xiàng)管理”，葛洪學(xué)校就“作業(yè)管理”、“睡眠管理”、“手機(jī)管理”、“讀物管理”、“體質(zhì)管理”五個(gè)方面對(duì)各班進(jìn)行考核打分（各項(xiàng)滿(mǎn)分均為100），九（1）班的五項(xiàng)得分依次為95，90，85，90，92，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是___________．
【答案】90
【解析】
【分析】眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)．
【詳解】眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)中90出現(xiàn)2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90．
故答案為：90．
【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)，眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意：在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)可能不止一個(gè)．
13. 實(shí)數(shù)m，n分別滿(mǎn)足，且，則的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由題可知，m和n是的兩個(gè)根，
所以，
所以；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握“若一元二次方程的兩個(gè)根分別為和，則”．
14. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與位似，原點(diǎn)O是位似中心，且．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．

【答案】
【解析】
【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出相似比進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)．
【詳解】解∶設(shè)
∵與位似，原點(diǎn)是位似中心，且．若，
∴位似比為，
∴，
解得，，
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確得出相似比是解題關(guān)鍵．
15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)（其中）相交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作軸，交y軸于點(diǎn)P，則的面積是___________．

【答案】
【解析】
【分析】把代入到可求得的值，再把代入雙曲線(xiàn)函數(shù)的表達(dá)式中，可求得的值，進(jìn)而利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】∵直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)（其中）相交于，兩點(diǎn)，
∴
∴，
∴雙曲線(xiàn)的表達(dá)式為：，，
∵過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，
∴，
∴，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．
16. 2002年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國(guó)北京舉行，這是21世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會(huì)．這次大會(huì)的會(huì)徽選定了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖，世人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個(gè)全等的直角三角形（）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形與正方形，連接和，與、、分別相交于點(diǎn)P、O、Q，若，則的值是___________．

【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，，則，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出，可得，，利用勾股定理求出和，進(jìn)而可得的長(zhǎng)，再證明，可得，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)，，則，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
即，
∴，，
∴，，
∴，
∴
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程以及二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)，證明，求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8小題，17~21題每題8分，22~23每題10分，24題12分，共計(jì)72分）
17. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】根據(jù)題意，先進(jìn)行同分母分式加減運(yùn)算，再將代入即可得解．
【詳解】解：原式
，
當(dāng)時(shí)，原式．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的加減，約分等相關(guān)計(jì)算法則是解決本題的關(guān)鍵．
18. 如圖，點(diǎn)E是矩形的邊上的一點(diǎn)，且．

（1）尺規(guī)作圖（請(qǐng)用鉛筆）：作的平分線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合尺規(guī)作角平分線(xiàn)的方法作圖即可；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)得出，結(jié)合角平分線(xiàn)的定義可得，則，然后根據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理得出結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖所示：
【小問(wèn)2詳解】
四邊形是菱形；
理由：∵矩形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴平行四邊形是菱形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線(xiàn)，矩形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定以及菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
19. 為慶祝建黨100周年，讓同學(xué)們進(jìn)一步了解中國(guó)科技的快速發(fā)展，東營(yíng)市某中學(xué)九（1）班團(tuán)支部組織了一次手抄報(bào)比賽．該班每位同學(xué)從A．“北斗衛(wèi)星”；B．“5G時(shí)代”；C．“東風(fēng)快遞”；D．“智軌快運(yùn)”四個(gè)主題中任選一個(gè)自己喜歡的主題．統(tǒng)計(jì)同學(xué)們所選主題的頻數(shù)，繪制成以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問(wèn)題：

（1）九（1）班共有________名學(xué)生；
（2）補(bǔ)全折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖；
（3）D所對(duì)應(yīng)扇形圓心角的大小為_(kāi)_______；
（4）小明和小麗從A、B、C、D四個(gè)主題中任選一個(gè)主題，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出他們選擇相同主題的概率．
【答案】（1）50；（2）見(jiàn)解析；（3）108°；（4）
【解析】
【分析】（1）用B組頻數(shù)除以所占百分比即可求解；
（2）用50減去A、B、C組頻數(shù)，求出D組頻數(shù)，即可補(bǔ)全折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖；
（3）用360°乘以D組所占百分比即可求解；
（4）列表得出所有等可能結(jié)果，根據(jù)概率公式即可求解．
【詳解】（1）20÷40%=50（人），
故答案為：50；
（2）50-10-20-5=15（人），
補(bǔ)全折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖如圖：
；
（3），
故答案為：；
（4）列表如下：
由列表可知，一共有16種等可能的結(jié)果，他們選擇相同主題的結(jié)果有4種，
所以P（相同主題）．
【點(diǎn)睛】本題考查了折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖，求概率等知識(shí)，理解兩幅統(tǒng)計(jì)圖提供的公共信息是解題第（1）（2）（3）步關(guān)鍵，列表得出所有等可能的結(jié)果是解題第（4）步關(guān)鍵．
20. 鄂州市蓮花山是國(guó)家級(jí)風(fēng)景區(qū)，元明塔造型獨(dú)特，是蓮花山風(fēng)景區(qū)的核心景點(diǎn)，深受全國(guó)各地旅游愛(ài)好者的青睞．今年端午節(jié)，景區(qū)將舉行大型包粽子等節(jié)日慶?；顒?dòng)．如圖2，景區(qū)工作人員小明準(zhǔn)備從元明塔的點(diǎn)G處掛一條大型豎直條幅到點(diǎn)E處，掛好后，小明進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，從元明塔底部F點(diǎn)沿水平方向步行30米到達(dá)自動(dòng)扶梯底端A點(diǎn)，在A點(diǎn)用儀器測(cè)得條幅下端E的仰角為；接著他沿自動(dòng)扶梯到達(dá)扶梯頂端D點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)D的水平距離為15米，且；然后他從D點(diǎn)又沿水平方向行走了45米到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)測(cè)得條幅上端G的仰角為．（圖上各點(diǎn)均在同一個(gè)平面內(nèi)，且G，C，B共線(xiàn)，F(xiàn)，A，B共線(xiàn)，G、E、F共線(xiàn)，，）．

（1）求自動(dòng)扶梯的長(zhǎng)度；
（2）求大型條幅的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】（1）25米 （2）米
【解析】
【分析】（1）過(guò)D作于M，由可得，求出的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)D作于N，則四邊形是矩形，得，，由已知計(jì)算得出的長(zhǎng)度，解直角三角形得出的長(zhǎng)度，在中求得的長(zhǎng)度，利用線(xiàn)段的和差，即可解決問(wèn)題．
【小問(wèn)1詳解】
解：過(guò)D作于M，如圖：

在中，，
∵(米)，
∴(米)，
由勾股定理得(米)
【小問(wèn)2詳解】
如圖，過(guò)點(diǎn)D作于N，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴(米)，(米)，
由題意，(米)，
∵，
∴，
∴(米)，（米），
由題意，，(米)，
∴，
∴(米)，
∴米
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問(wèn)題、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
21. 1號(hào)探測(cè)氣球從海拔處出發(fā)，以的速度豎直上升．與此同時(shí)，2號(hào)探測(cè)氣球從海拔20m處出發(fā)，以的速度豎直上升．兩個(gè)氣球都上升了．1號(hào)、2號(hào)氣球所在位置的海拔，（單位：m）與上升時(shí)間x（單位：）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：

（1）___________，___________；
（2）請(qǐng)分別求出，與x函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)上升多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，兩個(gè)氣球的海拔豎直高度差為？
【答案】（1），30
（2），；
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)1號(hào)探測(cè)氣球的出發(fā)海拔和速度即可計(jì)算b的值，根據(jù)b的值、2號(hào)探測(cè)氣球的出發(fā)海拔和運(yùn)動(dòng)時(shí)間可計(jì)算2號(hào)探測(cè)氣球的速度可計(jì)算a的值；
（2）由（1）可得與函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，分別代入計(jì)算即可；
（3）由題意可得或，分別計(jì)算即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：，，
故答案為：，30；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可得與函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)，，
將分別代入可得：，
解得：，，
∴，；
【小問(wèn)3詳解】
由題意可得或，
當(dāng)時(shí)，，
解得，
當(dāng)時(shí)，，
解得，
∴當(dāng)上升或時(shí)，兩個(gè)氣球的海拔豎直高度差為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，從圖中獲取信息是解題的關(guān)鍵．
22. 如圖，為的直徑，E為上一點(diǎn)，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．

（1）求證：是的切線(xiàn)；
（2）若，，求的半徑長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接，根據(jù)弦、弧、圓周角的關(guān)系可證，根據(jù)圓的性質(zhì)得，證明，得到，根據(jù)切線(xiàn)的判定定理證明；
（2）連接，，根據(jù)勾股定理得到長(zhǎng)，根據(jù)等弧對(duì)等弦得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得，推出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
證明：連接，

∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∵為半徑，
∴為切線(xiàn)；
【小問(wèn)2詳解】
解：連接，，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∵D是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半徑長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
23. 某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫(huà)板》軟件探究型拋物線(xiàn)圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類(lèi)型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離，始終等于它到定直線(xiàn)l：的距離（該結(jié)論不需要證明）．他們稱(chēng)：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l為圖象的準(zhǔn)線(xiàn)，叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程．準(zhǔn)線(xiàn)l與y軸的交點(diǎn)為H．其中原點(diǎn)O為的中點(diǎn)，．例如，拋物線(xiàn)，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為l：，其中，．

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
（1）請(qǐng)分別直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)l的方程：___________，___________；
【技能訓(xùn)練】
（2）如圖2，已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【能力提升】
（3）如圖3，已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)方程為l．直線(xiàn)m：交y軸于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離為，到直線(xiàn)m的距離為，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值；
【拓展延伸】
該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線(xiàn)平移至．拋物線(xiàn)內(nèi)有一定點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且與x軸平行．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在該拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離始終等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到直線(xiàn)l：的距離．
請(qǐng)閱讀上面的材料，探究下題：
（4）如圖4，點(diǎn)是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，請(qǐng)求出的面積．
【答案】（1），；
（2）；
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題中所給拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程的定義求解即可；
（2）利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合已知條件列式整理得，然后根據(jù)，求出，進(jìn)而可得，問(wèn)題得解；
（3）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可得當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的值最?。淮ㄏ禂?shù)法求直線(xiàn)的解析式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)是直線(xiàn)和直線(xiàn)m的交點(diǎn)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可求得和的值，即可求得；
（4）根據(jù)題意求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知，則，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可得當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的值最小；求得，即可求得的面積．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵拋物線(xiàn)中，
∴，，
∴拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為，
故答案為：，；
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，
∴，整理得：，
又∵，
∴
解得：或（舍去），
∴，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
【小問(wèn)3詳解】
解：過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知，，如圖：

若使得取最小值，即的值最小，故當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，，即此刻的值最?。?br>∵直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，故設(shè)直線(xiàn)的解析式為，
將代入解得：，
∴直線(xiàn)的解析式為，
∵點(diǎn)是直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，
令，解得：，（舍去），
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∵點(diǎn)是直線(xiàn)和直線(xiàn)m的交點(diǎn)，
令，解得：，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
．
即的最小值為．
【小問(wèn)4詳解】
解：∵拋物線(xiàn)中，
∴，，
∴拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為，
過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知，則，如圖：

若使得取最小值，即的值最小，故當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，，即此刻的值最?。蝗鐖D：

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入解得，
即，，
則的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，三角形的面積，一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，一次函數(shù)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用新知識(shí)的結(jié)論．
24. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)軸，交y軸的正半軸于點(diǎn)，且，點(diǎn)B是y軸右側(cè)直線(xiàn)l上的一動(dòng)點(diǎn)，連接．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如圖2，若動(dòng)點(diǎn)B滿(mǎn)足，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，連接．在平面內(nèi)，將沿翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P，與相交于點(diǎn)Q，當(dāng)時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；
（3）如圖3，若動(dòng)點(diǎn)B滿(mǎn)足，為的中位線(xiàn)，將繞點(diǎn)B在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)O、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，求直線(xiàn)EB與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）如圖4，平分交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，為一條中線(xiàn)．設(shè)，，的周長(zhǎng)分別為，，．試探究：在B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）
（3）或
（4）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，點(diǎn)A位于y軸的正半軸即可得出答案；
（2）根據(jù)折疊性質(zhì)和特殊角解三角形，先求出，，再過(guò)點(diǎn)D作，得出，解三角形即可求出，從而求出，
（3）將繞點(diǎn)B在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)O、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，有兩種情況，當(dāng)將繞點(diǎn)B在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得點(diǎn)、F恰好落在x軸，，從而可得直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)將繞點(diǎn)B在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到上方時(shí)，可得，從而得出，，繼而可求，再由即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)．
（4）由已知可證明，進(jìn)而可得，由此可得，延長(zhǎng)交于H點(diǎn)，可得，，然后由雙勾股求出，進(jìn)而求出點(diǎn)B坐標(biāo)．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，點(diǎn)A位于y軸的正半軸，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為，
【小問(wèn)2詳解】
∵，直線(xiàn)軸，，
∴，，
∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，
∴，
又∵，
∴，
由折疊可知：
∴，
如解（2）圖，過(guò)點(diǎn)D作，

∴，
，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
【小問(wèn)3詳解】
解：∵，，
∴，
又∵為的中位線(xiàn)，
∴，，，
∴，
I．如圖，將繞點(diǎn)B在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到如解（3）-1圖所示位置時(shí)，

∴，直線(xiàn)軸，
∴
又∵，
∴四邊形是矩形，
∴點(diǎn)、F恰好落在x軸，，
此時(shí)直線(xiàn)EB與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，
II．如圖，將繞點(diǎn)B在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)O、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，，如解（3）-2圖所示位置時(shí)，

延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)K，
∵，，，
∴
∴，，
∴，
在中，，即：，
解得：，
∴，
∴，
∵直線(xiàn)軸，
∴直線(xiàn)軸，
∴，
∴在中，，
∴，
∴此時(shí)直線(xiàn)EB與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，
綜上所述：將繞點(diǎn)B在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)O、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
【小問(wèn)4詳解】
直線(xiàn)軸，于點(diǎn)D，
∴，，
又∵平分交于點(diǎn)，即：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵為的一條中線(xiàn)．
∴，即：，
∵，，
∴，
∴設(shè)，，的周長(zhǎng)分別為，，．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
延長(zhǎng)交于H點(diǎn)，如解（4）圖，

∵，，，
∴
∴，，
∴，，
∵，，
∴
解得： （不合題意，舍去），，
故，
∴，
∴，
∴，
所以點(diǎn)B坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)、解三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)，難度較大，確定運(yùn)動(dòng)后線(xiàn)段之間的位置關(guān)系、正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．小明
小麗
A
B
C
D
A
B
C
D