1．考試時間120分鐘；
2．全卷共三道大題，總分120分；
3．所有試題請在答題卡上作答，在試卷上答題無效．
一、單項選擇題（本題12個小題，每小題3分，共36分）
1. 下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【詳解】A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故選項符合題意；
B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故選項不符合題意；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項不符合題意；
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2. 函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，被開方數(shù)大于等于0知：，可求出x的范圍．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
解得：，
故選：B．
【點睛】本題考查的是函數(shù)自變量取值范圍的求法．函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負．
3. 下列計算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，合并同類項，積的乘方，完全平方公式逐一分析判斷即可．
【詳解】解：，故A不符合題意，
，故B不符合題意；
，故C符合題意；
，故D不符合題意；
故選C
【點睛】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法，合并同類項，積的乘方運算，完全平方公式的應(yīng)用，熟記運算法則是解本題的關(guān)鍵．
4. 如圖，A，B，C為上的三個點，，若，則的度數(shù)是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，可得，結(jié)合，可得，再利用圓周角定理可得答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選C．
【點睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，熟記圓周角定理的含義是解本題的關(guān)鍵．
5. 一組數(shù)據(jù)1，x，5，7有唯一眾數(shù)，且中位數(shù)是6，則平均數(shù)是（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由一組數(shù)據(jù)1，x，5，7有唯一眾數(shù)， 可得的值只能是，，，結(jié)合中位數(shù)是6，可得，從而可得答案．
【詳解】解：∵一組數(shù)據(jù)1，x，5，7有唯一眾數(shù)，
∴的值只能是，，，
∵中位數(shù)是6，
∴，
∴平均數(shù)為，
故選B
【點睛】本題考查的是眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的含義，理解概念并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．
6. 由若干個完全相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則搭成該幾何體所用的小正方體的個數(shù)最多是（ ）

A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)主視圖和左視圖判斷該幾何體的層數(shù)及每層的最多個數(shù)，即可得到答案．
【詳解】解：根據(jù)主視圖和左視圖判斷該幾何體共有兩層，
下面一層最多有4個小正方體，上面的一層最多有3個小正方體，故該幾何體所用的小正方體的個數(shù)最多是7個，
故選:B．
【點睛】此題考查了幾何體的三視圖，由三視圖判斷小正方體的個數(shù)，正確理解三視圖是解題的關(guān)鍵．
7. 觀察下面兩行數(shù)：
取每行數(shù)的第7個數(shù)，計算這兩個數(shù)的和是（ ）
A. 92B. 87C. 83D. 78
【答案】C
【解析】
【分析】先分別找出每行數(shù)字的規(guī)律，求出每行第7個數(shù)，將這兩個數(shù)相加即可．
【詳解】解：第一行的數(shù)字規(guī)律為：，第二行的數(shù)字規(guī)律為：，
第一行的第7個數(shù)字為：，第二行的第7個數(shù)字為：，
，
故選：C．
【點睛】本題考查規(guī)律探究，發(fā)現(xiàn)每行數(shù)字的排布規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，正方形的頂點A，B在y軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C和的中點E，若，則k的值是（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的性質(zhì)得，可設(shè)，，根據(jù)可求出的值．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∵
∵點為的中點，
∴
設(shè)點C的坐標為，則,
∴，
∵點C，E在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
解得，，
故選：B．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象是雙曲線，圖象上的點的橫縱坐標的積是定值k，即．
9. 若分式方程的解為負數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A. 且B. 且
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】直接解分式方程，進而得出a的取值范圍，注意分母不能為零．
【詳解】解：去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是負數(shù)，
∴，，即，
解得：且，
故選：D．
【點睛】此題主要考查了分式方程的解，正確解分式方程是解題關(guān)鍵．
10. 用一個圓心角為，半徑為8的扇形作一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面直徑是（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先利用弧長公式求出扇形的弧長即圓錐的底面周長，再根據(jù)圓的周長公式求出直徑即可．
【詳解】解：扇形的弧長：，
則圓錐的底面直徑：．
故選：C．
【點睛】本題考查圓錐側(cè)面積公式，熟記公式的靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
11. 在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動課上，某位同學(xué)進行了如下操作：
第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；
第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點F處，得到折痕，如圖②．
根據(jù)以上的操作，若，，則線段的長是（ ）

A. 3B. C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得：，，，設(shè)，則，利用勾股定理求出，再證明，得，求解即可．
【詳解】解：如圖，過點作，交于點，

在和中，
設(shè)，則，
，即：，
解得：，
，，
，
，
，
，
故選：C．
【點睛】本題考查折疊問題及矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)并能熟練運用勾股定理方程思想是解題的關(guān)鍵．
12. 如圖，拋物線經(jīng)過點，．下列結(jié)論：①；②；③若拋物線上有點，，，則；④方程的解為，，其中正確的個數(shù)是（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象可知：，，，得出，故①不正確；將點，代入，得出：，再求出，故②不正確；根據(jù)函數(shù)圖象可得，故③正確；根據(jù)方程，，可知方程無解，故④不正確．
【詳解】解：根據(jù)二次函數(shù)圖象可知：，，，
∴，
∴，故①不正確；
將點，代入得出：，
得出：，
∴，
再代入得出：，故②不正確；
∵，
∴，，
∵，
∴，
根據(jù)圖象可知：，故③正確；
∵方程，
∴，
∴方程無解，故④不正確；
正確的個數(shù)是1個，
故選：D．
【點睛】本題考查二次函數(shù)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題8個小題，每小題3分，共24分）
13. 目前，中國國家版本館中央總館入藏版本量共余冊．數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意用科學(xué)記數(shù)法表示即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法，掌握科學(xué)記數(shù)法的形式是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，，與交于點O，請?zhí)砑右粋€條件________，使．（只填一種情況即可）

【答案】或或
【解析】
【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法處理．
【詳解】∵
∴，
若，則；
若，則；
若，則；
故答案為：或或．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定；掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，將的按下面的方式放置在一把刻度尺上：頂點O與尺下沿的端點重合，與尺下沿重合，與尺上沿的交點B在尺上的讀數(shù)恰為，若按相同的方式將的放置在該刻度尺上，則與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)為________．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，解直角三角形求出，再推出，進而得到，再求出的長即可得到答案．
【詳解】解：由題意得，，，，
∴，
∴

∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)為，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，正確求出的長是解題的關(guān)鍵．
16. 甲，乙兩名同學(xué)玩“石頭、剪子、布”的游戲，隨機出手一次，甲獲勝的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，然后再用概率公式求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意畫出樹狀圖如圖所示：
，
共有9種等可能的結(jié)果，甲獲勝的情況有3種，
甲獲勝的概率是：，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
17. 張師傅去年開了一家超市，今年2月份開始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利達到7200元，從3月到5月，每月盈利的平均增長率都相同，則每月盈利的平均增長率是________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)該超市的月平均增長率為x，根據(jù)等量關(guān)系：三月份盈利額五月份的盈利額列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)每月盈利平均增長率為x，
根據(jù)題意得：．
解得：，（不符合題意，舍去），
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，屬于增長率的問題，一般公式為原來的量后來的量，其中增長用＋，減少用?，難度一般．
18. 將拋物線向下平移1個單位長度，再向右平移________個單位長度后，得到的新拋物線經(jīng)過原點．
【答案】2或4##4或2
【解析】
【分析】先求出拋物線向下平移1個單位長度后與交點坐標，然后再求出新拋物線經(jīng)過原點時平移的長度．
【詳解】解：拋物線向下平移1個單位長度后的解析式為，
令，則，
解得，，
∴拋物線與的交點坐標為和，
∴將拋物線向右平移2個單位或4個單位后，新拋物線經(jīng)過原點．
故答案為：2或4．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖象的平移與幾何變換，利用拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減是解題關(guān)鍵．
19. 如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點A，B在x軸上，，，，將菱形繞點A旋轉(zhuǎn)后，得到菱形，則點的坐標是________．

【答案】或
【解析】
【分析】分兩種情況：當繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后，當繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，利用菱形的性質(zhì)及直角三角形30度角的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：當繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后，如圖，

∵，
∴，
∵菱形中，，
∴，
延長交x軸于點E，
∴，，
∴，
∴，
∴；
當繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，如圖，延長交x軸于點F，

∵，，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案為：或．
【點睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確理解菱形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20. 如圖，在正方形中，E在邊上，交對角線于點F，于M，的平分線所在直線分別交，于點N，P，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④若，，則，其中正確的是________．

【答案】①④
【解析】
【分析】如圖，記到的距離為，可得，證明，可得，，證明，可得，可得，，故①正確；證明四點共圓，可得，證明，，故③不正確；求解，可得，（負根舍去），，，證明，，，，證明，，求解，可得，故④正確；證明，可得，求解，則，故②不正確．
【詳解】解：如圖，記到的距離為，
∴，
∵，正方形，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
，故①符合題意；
∵，
∴，
∴四點共圓，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故③不正確；
∵，，則，
∵正方形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，（負根舍去），
∴，，
同理可得：，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，故④正確；
同理可得：，
∴，
∴，
∴，則，故②不正確．
綜上：正確的有①④；
故答案為：①④
【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，四點共圓，熟練的利用相似三角形的性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵，本題的難度大，是填空壓軸題．
三、解答題（共60分）
21. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先計算括號內(nèi)分式減法，再計算除法，然后代入求值，即可得到答案．
【詳解】解：

，
當時，
原式．
【點睛】本題考查了分式的混合運算，平方差公式，代數(shù)式求值，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握分式的混合運算法則是解題關(guān)鍵．
22. 如圖，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．

（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點P的坐標；
（2）求的面積．
注：拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是．
【答案】（1）拋物線對應(yīng)的解析式，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達式，再根據(jù)解析式求點P的坐標即可；
（2）求出點和拋物線頂點，，利用即可得到答案．
【小問1詳解】
拋物線經(jīng)過點，，
，
解這個方程組，得．
拋物線對應(yīng)的解析式．
點是拋物線的頂點坐標，
，即：，，
．
【小問2詳解】
如圖，連接OP．

，，，，
，
，
．
，
．
【點睛】此題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，掌握數(shù)形結(jié)合的思想和割補法求三角形面積是解題的關(guān)鍵．
23. 在中，，，，D為的中點，以為直角邊作含角的，，且點E與點A在的同側(cè)，請用尺規(guī)或三角板作出符合條件的圖形，并直接寫出線段的長．
【答案】作圖見解析，線段的長為或
【解析】
【分析】先根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等邊三角形的判定證明為等邊三角形，可得，，分和兩種情況，利用等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合銳角三角形和勾股定理求解即可．
【詳解】解：如圖，當時，

∵在中，，，
∴，又，
∴，，
∵D為的中點，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴；
如圖，當時，

∵，
∴
在中，，則，
在中，，則，
綜上，滿足條件的線段的長為或．
【點睛】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及勾股定理等知識，熟練掌握等邊三角形和直角三角形的相關(guān)性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
24. 第二十二屆中國綠色食品博覽會上，我省采用多種形式，全方位展示“寒地黑土”“綠色有機”金字招牌，大力推介以下綠色優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品：．“龍江奶”；．“龍江肉”；．“龍江米”；．“龍江雜糧”；．“龍江菜”；．“龍江山珍”等，為了更好地了解某社區(qū)對以上六類綠色優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品的關(guān)注程度，某校學(xué)生對社區(qū)居民進行了抽樣調(diào)查（每位居民只選最關(guān)注的一項），根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，繪制了如圖所示的不完整統(tǒng)計圖．請根據(jù)兩幅統(tǒng)計圖中的信息，解答下列問題：

（1）本次參與調(diào)查的居民有多少人？
（2）補全條形統(tǒng)計圖，在扇形統(tǒng)計圖中類的百分比是______；
（3）如果該社區(qū)有人，估計關(guān)注“龍江雜糧”的居民有多少人？
【答案】（1）本次參與調(diào)查的居民有人；
（2）補全條形統(tǒng)計圖見解析，；
（3）關(guān)注“龍江雜糧”的居民有人；
【解析】
【分析】（1）根據(jù)項關(guān)注的人數(shù)為人，項關(guān)注占總?cè)藬?shù)的百分數(shù)為即可解答；
（2）根據(jù)條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖可知各項的關(guān)注人數(shù)，再根據(jù)總?cè)藬?shù)為即可解答；
（3）抽樣調(diào)查中項關(guān)注人數(shù)為人，抽樣調(diào)查中的總?cè)藬?shù)為人即可解答．
【小問1詳解】
解：∵項關(guān)注的人數(shù)為人，項關(guān)注占總?cè)藬?shù)的百分數(shù)為，
∴本次參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)有（人），
【小問2詳解】
解：∵本次參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)是人，項關(guān)注人數(shù)所占百分數(shù)為，
∴項關(guān)注的人數(shù)為（人），
∴項關(guān)注的人數(shù)為（人），
∴項所占百分數(shù)為；
∴如圖所示，

故答案為；
【小問3詳解】
解：∵項關(guān)注人數(shù)為人，本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，
∴該社區(qū)關(guān)注關(guān)注“龍江雜糧”的居民有（人）；
【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，樣本估計整體，讀懂條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的信息是解題的關(guān)鍵．
25. 在一條高速公路上依次有A，B，C三地，甲車從A地出發(fā)勻速駛向C地，到達C地休息后調(diào)頭（調(diào)頭時間忽略不計）按原路原速駛向B地，甲車從A地出發(fā)后，乙車從C地出發(fā)勻速駛向A地，兩車同時到達目的地．兩車距A地路程與甲車行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．請結(jié)合圖象信息，解答下列問題：

（1）甲車行駛的速度是_____，乙車行駛的速度是_____．
（2）求圖中線段所表示的y與x之間的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）乙車出發(fā)多少小時，兩車距各自出發(fā)地路程的差是？請直接寫出答案．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）結(jié)合函數(shù)圖象中點的坐標的實際意義求速度；
（2）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（3）先求得點E、F坐標，然后分情況列方程求解．
【小問1詳解】
解：由圖可得，即甲出發(fā)3時后與地相距，
∴甲車行駛速度為；
由題意可得，，即乙車出發(fā)行駛，
∴乙車行駛速度為，
故答案為：，；
【小問2詳解】
解：設(shè)線段所在直線的解析式為．
將，代入，得．
解得．
線段所在直線的解析式為．
【小問3詳解】
解：在中，當時，，
∴，
由（1）可得乙車行駛速度為，甲車行駛速度為且兩車同時到達目的地，
則乙到達目的地時，甲距離A地的距離為，
∴，，
設(shè)乙車出發(fā)時，兩車距各自出發(fā)地路程的差是，
當時，此時甲在到達C地前，
由，
解得，（不合題意，舍去）；
當時，此時甲在C地休息，則，
解得，（不合題意，舍去）；
當時，此時甲在返回B地中，則
解得，（不合題意，舍去）
綜上，乙車出發(fā)或，兩車距各自出發(fā)地路程的差是．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用-行程問題、一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖象分析運動過程，理解各個節(jié)點的實際意義．
26. 中，，垂足為E，連接，將繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．

（1）當點E在線段上，時，如圖①，求證：；
（2）當點E在線段延長線上，時，如圖②：當點E在線段延長線上，時，如圖③，請猜想并直接寫出線段AE，EC，BF的數(shù)量關(guān)系；
（3）在（1）、（2）的條件下，若，，則_______．
【答案】（1）見解析 （2）圖②：，圖③：
（3）1或7
【解析】
【分析】（1）求證，，得，所以，進而，所以；
（2）如圖②，當點E在線段延長線上，時，同（1），，得，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，得，所以；如圖③，當點E在線段延長線上，時，求證，得，同（1）可證，，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，得，所以；
（3）如圖①，中，勾股定理，得 ，求得；如圖②，，則,中，，可得圖②中，不存在，的情況；如圖③，中，勾股定理，得 ，求得．
小問1詳解】
證明：，
．
，
∴
∴
．
，
．
．
，
．
．
四邊形是平行四邊形，
．
；
【小問2詳解】
如圖②，當點E在線段延長線上，時，

同（1），，
∴
四邊形是平行四邊形，
．
∴
即；
如圖③，當點E在線段延長線上，時，

∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
同（1）可證，
∴
四邊形是平行四邊形，
．
∴
即
【小問3詳解】
如圖①，∵四邊形平行四邊形，
∴，
∴
∵
∴
中，，
由，得；
如圖②，，則,中，，
∴,與矛盾，故圖②中，不存在，的情況；
如圖③，
∵四邊形是平行四邊形
∴
∴
∵
∴
中，，
∴
由知，．
綜上，或7．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)條件選用恰當?shù)姆椒ㄗ魅鹊呐卸ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．
27. 某商場欲購進A和B兩種家電，已知B種家電的進價比A種家電的進價每件多100元，經(jīng)計算，用1萬元購進A種家電的件數(shù)與用1.2萬元購進B種家電的件數(shù)相同．請解答下列問題：
（1）這兩種家電每件進價分別是多少元？
（2）若該商場欲購進兩種家電共100件，總金額不超過53500元，且A種家電不超過67件，則該商場有哪幾種購買方案？
（3）在（2）的條件下，若A和B兩種家電的售價分別是每件600元和750元，該商場從這100件中拿出兩種家電共10件獎勵優(yōu)秀員工，其余家電全部售出后仍獲利5050元，請直接寫出這10件家電中B種家電的件數(shù)．
【答案】（1）A種家電每件的進價為500元，B種家電每件的進價為600元
（2）共有三種購買方案，方案一：購進A種家電65件，B種家電35件，方案二：購進A種家電66件，B種家電34件，方案三：購進A種家電67件，B種家電33件
（3）這10件家電中B種家電的件數(shù)4件
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)A種家電每件進價為x元，B種家電每件進價為元，建立分式方程求解即可；
（2）設(shè)購進A種家電a件，購進B種家電件，建立不等式，求解不等式，選擇符合實際的解即可；
（3）設(shè)A種家電拿出件，則B種家電拿出件，根據(jù)題意，建立一元一次方程求解即可．
【小問1詳解】
設(shè)A種家電每件進價為x元，B種家電每件進價為元．
根據(jù)題意，得
．
解得．
經(jīng)檢驗是原分式方程的解．
．
答：A種家電每件的進價為500元，B種家電每件的進價為600元；
【小問2詳解】
設(shè)購進A種家電a件，購進B種家電件．
根據(jù)題意，得．
解得．
，．
為正整數(shù)，，則，
共有三種購買方案，
方案一：購進A種家電65件，B種家電35件，
方案二：購進A種家電66件，B種家電34件，
方案三：購進A種家電67件，B種家電33件；
【小問3詳解】
解：設(shè)A種家電拿出件，則B種家電拿出件，
根據(jù)（1）和（2）及題意，當購進A種家電65件，B種家電35件時，得：
，
整理得：，
解得：，不符合實際；
當購進A種家電66件，B種家電34件時，得：
，
整理得：，
解得：，不符合實際；
當購進A種家電67件，B種家電33件時，得：
，
整理得：，
解得：，符合實際；則B種家電拿出件．
【點睛】本題考查分式方程的實際問題，一元一次方程的實際問題與一元一次不等的實際問題，正確理解題意，建立正確的等量關(guān)系與不等式是解題的關(guān)鍵，注意結(jié)果要符合實際及分式方程的檢驗．
28. 如圖，在平面直角坐標系中，的頂點B，C在x軸上，D在y軸上，，的長是方程的兩個根（）．請解答下列問題：
（1）求點B的坐標；
（2）若，直線分別交x軸、y軸、于點E，F(xiàn)，M，且M是的中點，直線交延長線于點N，求的值；
（3）在（2）的條件下，點P在y軸上，在直線EF上是否存在點Q，使是腰長為5的等腰三角形？若存在，請直接寫出等腰三角形的個數(shù)和其中兩個點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，等腰三角形的個數(shù)是8個，，， ，
【解析】
【分析】（1）解方程得到，的長，從而得到點B的坐標；
（2）由，，得．由，是中點，得到點M的坐標，代入直線中，求得b的值，從而得到直線的解析式，進而求得點E，點F的坐標，由坐標特點可得．過點C作于H，過點N作于K．從而，，進而得到，易證，可得，因此，由可得，，，從而通過解直角三角形在中，得到，在中，，因此求得，最終可得結(jié)果；
（3）分，，三大類求解，共有8種情況．
【小問1詳解】
解方程，得，．
，
，．
；
【小問2詳解】
，
．
四邊形是平行四邊形，
，．
是中點，
．
．
將代入，得．
．
，．
．
過點C作于H，過點N作于K．
，．
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴，，
∴在中，
在中，
∴
∴
【小問3詳解】
解：由（2）知：直線解析式為，，
設(shè)，，
①當時，
，，
解得或，或，
∴，，，，
如圖，、、、都是以5為腰的等腰三角形，
；
②當時，
由①知：，，
∵，
∴不可能等于5，
如圖，，都是以5為腰的等腰三角形，
；
③當時，
由①知：，，
當時，，
解得（舍去），，
∴，
如圖，
當時，，
解得（舍去），，
∴，
如圖，
綜上，等腰三角形的個數(shù)是8個，
符合題意的Q坐標為，， ，
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)與平行四邊形，等腰三角形的綜合問題，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．

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