一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
1. 下列二次根式，不能與合并的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了同類二次根式的定義，根據(jù)化成最簡(jiǎn)式后，且被開(kāi)方數(shù)相同，判定計(jì)算即可．
【詳解】∵，
∴被開(kāi)方數(shù)是3，
A. ，是同類二次根式，能合并，不符合題意；
B. ，不是同類二次根式，不能合并，符合題意；
C. ，是同類二次根式，能合并，不符合題意；
D. ，是同類二次根式，能合并，不符合題意；
故選：B．
2. 下列計(jì)算不正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查二次根式計(jì)算．根據(jù)題意逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可得到本題答案．
【詳解】解：，故A選項(xiàng)正確；
，故B選項(xiàng)正確；
，故C選項(xiàng)正確；您看到的資料都源自我們平臺(tái)，20多萬(wàn)份最新小初高試卷，家威鑫 MXSJ663 性價(jià)比最高 無(wú)法計(jì)算，故D選項(xiàng)不正確，
故選：D．
3. 已知，下列各式為負(fù)值的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了分母有理數(shù)、二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，掌握分母有理化的方法成為解題關(guān)鍵．
先對(duì)分母有理化，然后再分別代入各選項(xiàng)計(jì)算判斷即可．
【詳解】解：∵．
∴A.,不符合題意；
B. ，不符合題意；
C. ，符合題意；
D. ，不符合題意．
故選C．
4. 下列四個(gè)命題中假命題是（ ）
A. 頂角相等的兩個(gè)等腰三角形全等
B. 兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等
C. 等腰三角形頂角的平分線把它分成兩個(gè)全等三角形
D. 有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了三角形全等的判定、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形全等的判定、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定逐項(xiàng)判斷即可得．
【詳解】解：A、頂角相等的兩個(gè)等腰三角形不一定全等，則此項(xiàng)是假命題，符合題意；
B、兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（依據(jù)是定理），則此項(xiàng)是真命題，不符合題意；
C、等腰三角形頂角的平分線把它分成兩個(gè)全等的三角形（依據(jù)是定理），則此項(xiàng)是真命題，不符合題意；
D、有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形，則此項(xiàng)是真命題，不符合題意；
故選：A．
5. 若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，利用了二次根式的性質(zhì)．根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，二次根式的值是非負(fù)數(shù)，可得答案．
【詳解】解：∵；
∴，；
解得：；
故選：C．
6. BP和CP是△ABC兩個(gè)外角的平分線，則為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)由三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，求得∠P與∠A的關(guān)系，從而計(jì)算出∠P的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，∵BP、CP是△ABC的外角平分線，
∴∠PBC＝（∠A＋∠ACB），∠PCB＝（∠A＋∠ABC），
又∵∠PBC＋∠PCB＋∠P＝180°，
∴∠P＝180°?（∠PBC＋∠PCB）
＝180°?（∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC）
＝180°?（180＋∠A）
＝90°?∠A，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7. 計(jì)算：______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)方法和運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】解：原式=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的計(jì)算，在化簡(jiǎn)二次根式的基礎(chǔ)上再把同類二次根式合并．
8. 若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是____．
【答案】
【解析】
【分析】若使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，被開(kāi)方數(shù)必須大于等于零，由此可列出不等式，求解即可．
【詳解】解：若使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴，
解得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件：二次根式被開(kāi)方數(shù)必須大于等于零．
9. 如果最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，那么____________．
【答案】5
【解析】
【分析】此題主要考查了同類二次根式的定義，即：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式及同類二次根式的定義列方求解．
【詳解】解：最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，
，
解得：，
故答案為：5．
10. 若，化簡(jiǎn)___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，掌握成為解題的關(guān)鍵．
利用進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
故答案為：．
11. 化簡(jiǎn)：=____________．
【答案】
【解析】
【分析】將分子用平方差公式因式分解，再化簡(jiǎn)即可；
【詳解】解：原式=．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
12. 解不等式：的解集是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查解不等式，二次根式的運(yùn)算．
根據(jù)解不等式的步驟求解，最后將分母進(jìn)行有理化，即可解答．
【詳解】，
移項(xiàng)，得：，
合并同類項(xiàng)，得：，
系數(shù)化為1，得：，
即．
故答案為：
13. 命題“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題是___________．
【答案】“兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”
【解析】
【分析】逆命題就是原命題的題設(shè)和結(jié)論互換，找到原命題的題設(shè)為等腰三角形， 結(jié)論為兩個(gè)角相等，互換即可．
【詳解】解：命題“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題是“兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”，
故答案為：“兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”．
【點(diǎn)睛】本題考查逆命題的概念，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握逆命題的概念，知道題設(shè)和結(jié)論互換．
14. 平面內(nèi)，到點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)的軌跡是____．
【答案】以A為圓心，為半徑的圓
【解析】
【分析】本題考查了圓的定義，解題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A是平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合．
【詳解】解：由圓的定義可知，平面內(nèi)到點(diǎn)A的距離等于的點(diǎn)的軌跡是以A為圓心為半徑的圓，
故答案為：以A為圓心，為半徑的圓．
15. 如圖，在中，，平分，，則點(diǎn)D到的距離是___________．
【答案】3
【解析】
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先求出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可得．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
平分，，，
，
即點(diǎn)到的距離是，
故答案為：3．
16. 如圖，已知中，是邊垂直平分線，則的周長(zhǎng)是____________．
【答案】14
【解析】
【分析】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合周長(zhǎng)列式計(jì)算即可．
【詳解】∵線段的垂直平分線交于點(diǎn)M，
∴；
∵的周長(zhǎng)是；
∵；
∴；
故答案為：14．
17. 如圖，在中，，于D，且，那么=_____°．
【答案】15
【解析】
【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，在上截取，連接構(gòu)造出全等三角形，再利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等，三角形內(nèi)角和等即可解題，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：在上截取，連接
故答案為15．
18 ，則____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式，算術(shù)平方根，不等式等知識(shí)．熟練掌握兩個(gè)式子相等，對(duì)應(yīng)部分相等，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
先去括號(hào)，根據(jù)含部分對(duì)應(yīng)相等，得到，根據(jù)剩余部分對(duì)應(yīng)相等，得到，即得．
【詳解】∵
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴符合，
∴
故答案為：．
三、解答題：
19. （1）計(jì)算：；
（2）計(jì)算：；
（3）計(jì)算：；
（4）解方程：；
（5）計(jì)算：．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
【解析】
【分析】（1）利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，合并同類二次根式，即得；
（2）利用二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘除法法則進(jìn)行計(jì)算；
（3）利用平方差公式，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的法則，分母有理化，合并同類二次根式，即得；
（4）利用解一元一次方程的一般步驟去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1，即得；
（5）利用二次根式的性質(zhì)，分母有理化，0指數(shù)冪性質(zhì)化簡(jiǎn)，合并同類二次根式，即得．
【詳解】（1）
；
（2）

；
（3）
；
（4），
去分母得，，
去括號(hào)得，，
移項(xiàng)得，，
合并同類項(xiàng)得，，
系數(shù)化成1得，；
（5）
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，解一元一次方程．熟練掌握二次根式的性質(zhì)，二次根式混合運(yùn)算的順序和各種運(yùn)算的法則，分母有理化，0指數(shù)冪性質(zhì)，負(fù)整數(shù)冪性質(zhì)，一元一次方程的解法，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
20. 先化簡(jiǎn)，再求值：
已知a＝，求的值．
【答案】，3
【解析】
【分析】先化簡(jiǎn)得，再將代入即可得．
【詳解】解：原式=
=
=
當(dāng)代入得： ．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，二次根式的混合運(yùn)算，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，已知的周長(zhǎng)是21，，分別平分，，于點(diǎn)，且，求的面積．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，求三角形的面積，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理及三角形面積的求解是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)O分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理，可證明，根據(jù)，可列出算式，并結(jié)合的周長(zhǎng)求出面積．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)O分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，
分別平分，，
，
同理，
的周長(zhǎng)是21，
，
．
22. 如圖，在中，，，．
（1）在線段上求作一點(diǎn)，使（保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，連結(jié)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）3
【解析】
【分析】本題考查了用直尺和圓規(guī)作線段的垂直平分線，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判斷與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
（1） 作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)D，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可知；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可知，故，因此，根據(jù)等腰三角形的判定，可得，從而可得答案．
【小問(wèn)1詳解】
如圖，點(diǎn)D就是所求的的點(diǎn)；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）的作法可知，是邊的垂直平分線，
，
，
，
，
，
，
．
23. 如圖，是上的一點(diǎn)，，求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
在上取點(diǎn)F，連接，使得，得到，進(jìn)而，從而根據(jù)“”證明，即可得證結(jié)論．
【詳解】如圖，在上取點(diǎn)F，連接，使得，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴．
24. 已知：如圖，，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)F為的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）連接，試判斷與的位置關(guān)系，并證明．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析
（3）平行，證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）由，F(xiàn)是的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的三線合一，可得，即可證得；
（2）易證，又由，根據(jù)等邊對(duì)等角，證得，即可根據(jù)證得；
（3）首先設(shè)交于點(diǎn)H，由，即可得，根據(jù)等腰三角形的三線合一，則可證得，則可得，又由同位角相等，兩直線平行，證得．
【小問(wèn)1詳解】
∵，F(xiàn)是的中點(diǎn)，
∴．
∴．
【小問(wèn)2詳解】
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
【小問(wèn)3詳解】
與平行．
證明：如圖，設(shè)交于點(diǎn)H，
∵，
∴．
∴．
∴
∵，
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
25. 在中，和的平分線交于點(diǎn)，連接．
（1）求證：平分；
（2）當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求證：；
（3）當(dāng)不是等邊三角形，且時(shí)，（2）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)加以證明，若不成立，說(shuō)明理由．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析
（3）成立，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查角平分線性質(zhì)及判定，內(nèi)角和定理，全等性質(zhì)及判定，等邊三角形性質(zhì)．
（1）過(guò)點(diǎn)作，，，利用角平分線性質(zhì)即可得到，，再利用角平分線判定即可得到本題答案；
（2）作于，利用等邊三角形性質(zhì)得，，即可得到本題答案；
（3）設(shè)，作于，于，于，利用三角形內(nèi)角和定理得，再利用全等三角形判定及性質(zhì)即可得到本題答案．
【小問(wèn)1詳解】
證明：過(guò)點(diǎn)作，，，垂足分別，
，
∵在平分線上，
∴，
∵在的平分線上，
∴，
∴，
∴點(diǎn)在的平分線上，
∴平分；
【小問(wèn)2詳解】
證明：∵為等邊三角形，平分，
∴，同理，
作于，
，
∵平分，，
∴，同理，
∴，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
解：成立，理由如下：
設(shè)，作于，于，于，則點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，
，
∵和的平分線，交于點(diǎn)，
∴，
∵，，
∴，
∵，分別平分，，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．

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