一、選擇題(本大題共10小題,共40.0分)
1. 下列選項(xiàng)中,化簡正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)、乘方等知識點(diǎn),熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
根據(jù)二次根式的性質(zhì)與化簡以及乘方逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】解:A、,故此選項(xiàng)錯誤,不符合題意;
B、,故此選項(xiàng)正確,符合題意;
C、,故此選項(xiàng)錯誤,不符合題意;
D、,故此選項(xiàng)錯誤,不符合題意.
故選:B.
2. 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A. (-1,2)B. (1,2)C. (1,-2)D. (2,1)
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可解答.
【詳解】解:∵為二次函數(shù)的頂點(diǎn)式,
∴由頂點(diǎn)式可知該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,2),
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是要能根據(jù)頂點(diǎn)式直接寫出頂點(diǎn)的坐標(biāo).
3. 一元二次方程的根的情況為( )
A. 無實(shí)數(shù)根B. 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根您看到的資料都源自我們平臺,20多萬份最新小初高試卷,家威鑫 MXSJ663 性價比最高 C. 有兩個相等的實(shí)數(shù)根D. 不能判定
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式的應(yīng)用,當(dāng)時,一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)時,一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)時,一元二次方程無實(shí)數(shù)根.
先計算出該方程的根的判別式,再結(jié)合判別式的判斷一元二次方程根的情況即可.
【詳解】解:∵
∴,,,
∴,
所以該方程無實(shí)數(shù)根.
故選:.
4. 下列事件中,是隨機(jī)事件的是( )
A. 明天太陽從東方升起
B. 隨意翻到一本書的某頁,這頁的頁碼是偶數(shù)
C. 任意畫一個三角形,其內(nèi)角和是
D. 通常加熱到時,水沸騰
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念可區(qū)別各類事件.
【詳解】A、明天太陽從東方升起,是必然事件,故A錯誤;
B、隨意翻到一本書的某頁,這頁的頁碼是偶數(shù),是隨機(jī)事件,故B正確;
C、任意畫一個三角形,其內(nèi)角和是,是不可能事件,故C錯誤;
D、通常加熱到時,水沸騰,是必然事件,故D錯誤;
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)事件,解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念,必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件;不可能事件是指在一定條件下,一定不發(fā)生的事件;不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
5. 將拋物線向左平移1個單位長度,平移后的拋物線的解析式是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)“左加右減”的平移規(guī)律即可得到答案.
【詳解】解:將拋物線向左平移1個單位長度,平移后的拋物線的解析式是,
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的平移,掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
6. 如圖,在網(wǎng)格中,和位似,則位似中心為( )
A. 點(diǎn)OB. 點(diǎn)PC. 點(diǎn)QD. 點(diǎn)R
【答案】B
【解析】
【分析】利用位似圖形的性質(zhì)得出位似中心即可.
【詳解】解:如圖,和'位似,位似中心為點(diǎn)P.
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了找位似圖形位似中心,解題的關(guān)鍵是熟練掌握位似圖形的性質(zhì),對應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)為位似中心.
7. 如圖,在邊長為的方格紙中,與交于點(diǎn),其中、均為所在正方形小方格一邊的中點(diǎn),則( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn),根據(jù)題意得出,根據(jù)正切的定義即可求解.
【詳解】解:如圖所示,過點(diǎn)作于點(diǎn),

依題意,,
∴,
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了求正切,熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵.
8. 已知一元二次方程的兩根為,,則的值為( )
A. B. C. 2D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義,得,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,得+=3,進(jìn)而即可求解.
【詳解】解:∵一元二次方程的兩根為,,
∴,即:,+=3,
∴=-2(+)=-1-2×3=-7.
故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系,熟練掌握(a≠0)的兩根為,,則+=,=,是解題的關(guān)鍵.
9. 如圖,在正方形ABCD中,E為邊AD上點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,且CF=3FD,∠BEF=90°,若AB=4,延長EF交BC的延長線于點(diǎn)G,則BG的長為( )
A. 8.5B. 9C. 9.5D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】由正方形的性質(zhì)以及已知條件證明,進(jìn)而求得,再根據(jù),求得,最后根據(jù)即可求得.
【詳解】四邊形是正方形,
,,
,
,

,

解得:
,
解得,

故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)與判定,掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.
10. 如圖,拋物線的對稱軸是.下列結(jié)論:①;②;③;④,正確的有( )
A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個
【答案】B
【解析】
【分析】由拋物線的性質(zhì)和對稱軸是,分別判斷a、b、c的符號,即可判斷①;拋物線與x軸有兩個交點(diǎn),可判斷②;由,得,令,求函數(shù)值,即可判斷③;令時,則,令時,,即可判斷④;然后得到答案.
【詳解】解:根據(jù)題意,則,,
∵,
∴,
∴,故①錯誤;
由拋物線與x軸有兩個交點(diǎn),則,故②正確;
∵,
令時,,
∴,故③正確;
在中,
令時,則,
令時,,
由兩式相加,得,故④正確;
∴正確的結(jié)論有:②③④,共3個;
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì),熟練判斷各個式子的符號.
二、填空題(本大題共6小題,共24.0分)
11. 計算:_____.
【答案】
【解析】
【分析】先化簡二次根式,再合并同類二次根式即可.
【詳解】.
故答案為:.
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡以及同類二次根式的合并,掌握二次根式的化簡以及同類二次根式的合并方法是解題關(guān)鍵.
12. 在中,,,若將三邊都擴(kuò)大3倍得到,則________
【答案】##0.6
【解析】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解即可.
【詳解】解:根據(jù)題意得,
若將三邊都擴(kuò)大3倍得到,
∴,
故答案為:.
【點(diǎn)睛】題目主要考查正弦函數(shù)的定義,理解正弦函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.
13. 如圖,在中,與相交于點(diǎn),若,則_____.
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查了三角形重心的性質(zhì),熟練掌握和運(yùn)用三角形重心的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.
根據(jù)題意可知:點(diǎn)O是的重心,然后根據(jù)重心的性質(zhì)即可解答.
【詳解】解:在中,與相交于點(diǎn),
∴分別是的中線,
∴點(diǎn)O是的重心,
∵,

故答案為:2.
14. 點(diǎn),為拋物線上兩點(diǎn),則______.(用“”或“”號連接)
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)二次函數(shù)的對稱性將點(diǎn)化在對稱軸的同一側(cè),結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)比較即可得到答案.
【詳解】解:由題意可得,
拋物線的對稱軸為:直線,
∴的對稱點(diǎn)為:,
∵,,
∴,
故答案為:.
15. 對于兩個不相等的實(shí)數(shù)、,我們規(guī)定符號表示、中的較大值,如:,按照這個規(guī)定,方程的解為___________.
【答案】或
【解析】
【分析】分類討論x的范圍,利用題中的新定義,列出方程,解方程即可.
【詳解】解:當(dāng)時,方程為:
即,
解得:(舍去),;
∴此時,
當(dāng)時,方程為:,
解得:(舍去),,
∴;
故答案為:或.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程,新定義實(shí)數(shù)運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是理解題意,列出方程求解.
16. 如圖,正方形的邊長為6,點(diǎn)E是邊上一點(diǎn),以為對角線作正方形,連接,則面積的最大值為_______.

【答案】
【解析】
【分析】過點(diǎn)G作交的延長線于點(diǎn)I,設(shè),則,證明,求出,根據(jù)三角形面積公式及二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.
【詳解】解:如圖,連接,過點(diǎn)G作交的延長線于點(diǎn)I,

設(shè),則,
∵四邊形和都是正方形,
∴,,,
∴,,
∴,
∴,,
∴,,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴的面積
,
∵,
∴的面積有最大值,最大值為,
故答案為:.
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,掌握正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識是解決問題的關(guān)鍵.
三、解答題(本大題共9小題,共86.0分)
17. 計算:.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的乘除法計算法則,特殊角三角函數(shù)值的計算法則求解即可.
【詳解】解:原式

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合計算,特殊角三角函數(shù)值,熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.
18. 解方程:.
【答案】,
【解析】
【分析】首先根據(jù)判別式判斷方程實(shí)數(shù)根的個數(shù),然后用求根公式求解即可.
【詳解】由題意得:a=1,b=6,c=4
∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
∴原方程的解為,.
【點(diǎn)睛】本題考查了公式法解一元二次方程,熟練記憶求根公式是本題的關(guān)鍵.
19. “天宮課堂”第二課于2022年3月23日下午在中國空間站開講,本次太空授課活動繼續(xù)采取天地對話方式進(jìn)行,由航天員在軌演示太空“冰雪”實(shí)驗(yàn)、液橋演示實(shí)驗(yàn)、水油分離實(shí)驗(yàn)、太空拋物實(shí)驗(yàn),介紹與展示空間科學(xué)設(shè)施,傳播普及空間科學(xué)知識,小玲對航空航天非常感興趣,她收集到了太空“冰雪”實(shí)驗(yàn)、液橋演示實(shí)驗(yàn)、水油分離實(shí)驗(yàn)、太空拋物實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)展示圖,依次制成編號為A、B、C、D的四張卡片(背面完全相同),將這四張卡片背面朝上,洗勻放好.
(1)小玲從中隨機(jī)抽取一張卡片是“水油分離實(shí)驗(yàn)”的概率為______;
(2)小玲先從四張卡片中隨機(jī)抽取一張卡片(不放回),再從余下的卡片中隨機(jī)抽取一張,請用列表或畫樹狀圖的方法求抽到的兩張卡片恰好是編號為A(太空“冰雪”實(shí)驗(yàn))和D(太空拋物實(shí)驗(yàn))的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根據(jù)概率公式即可得到答案;
(2)先畫出樹狀圖,列出所有等可能的情況,再找出符合題意的情況,然后利用概率公式即可得到答案.
【小問1詳解】
解:由題意可知,抽取卡片有4種等可能的情況,其中抽取卡片是“水油分離實(shí)驗(yàn)”的情況有1種,
小玲從中隨機(jī)抽取一張卡片是“水油分離實(shí)驗(yàn)”的概率為,
故答案為:;
【小問2詳解】
解:畫樹狀圖如下:

由樹狀圖可知,一共有12種等可能的情況,其中抽到的兩張卡片恰好是編號為A(太空“冰雪”實(shí)驗(yàn))和D(太空拋物實(shí)驗(yàn))的情況有2種,
抽到的兩張卡片恰好是編號為A(太空“冰雪”實(shí)驗(yàn))和D(太空拋物實(shí)驗(yàn))的概率為.
【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式,用列表或畫樹狀圖的方法求概率,解題關(guān)鍵是掌握概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
20. 壽寧“金絲粉扣”是地方名優(yōu)特產(chǎn),深受消費(fèi)者喜愛.某超市購進(jìn)一批“金絲粉扣”,進(jìn)價為每千克24元.調(diào)查發(fā)現(xiàn),當(dāng)銷售單價為每千克40元時,平均每天能售出20千克,而當(dāng)銷售單價每降價1元時,平均每天能多售出2千克.若超市要使這種“金絲粉扣”的銷售利潤每天達(dá)到330元,且讓顧客得到實(shí)惠,則每千克應(yīng)降價多少元?
【答案】銷售利潤每天達(dá)到330元,且讓顧客得到實(shí)惠,每千克應(yīng)降價5元
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用,根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵.
設(shè)每千克降價x元,根據(jù)“售價減去進(jìn)價乘以銷量等于銷售利潤”列出一元二次方程求解即可.
【詳解】解:設(shè)每千克應(yīng)降價元,依題意得:,
整理得:,
解得:,
讓顧客得到實(shí)惠,

答:銷售利潤每天達(dá)到330元,且讓顧客得到實(shí)惠,每千克應(yīng)降價5元.
21. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+2x+c的部分圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,-3),B(1,0) .
(1)求該拋物線的解析式;
(2)結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出y<0時,x的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】(1)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式,將坐標(biāo)代入解析式得出解方程組即可;
(2)先求拋物線與x軸的交點(diǎn),轉(zhuǎn)化求方程的解,再根據(jù)函數(shù)y<0,函數(shù)圖像位于x軸下方,在兩根之間即可.
【詳解】解:(1) 拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,-3),B(1,0) 代入坐標(biāo)得:

解得,
所求拋物線的解析式是.
(2) 當(dāng)y=0時,,
因式分解得:,
∴,
∴,
當(dāng)y<0時,函數(shù)圖像在x軸下方,
∴y<0時,x的取值范圍為-3<x<1.
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式,利用圖像法解不等式,解一元二次方程,方程組,掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式,利用圖像法解不等式,解一元二次方程,方程組是解題關(guān)鍵.
22. 如圖,在中,,.
(1)尺規(guī)作圖:在上求作一點(diǎn)D,使得;(不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)作圖的基礎(chǔ)上,連接,求證:.
【答案】(1)見解析 (2)見解析
【解析】
【分析】(1)利用尺規(guī)作線段的垂直平分線,交于點(diǎn)D,
(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì),證明∽即可.
【小問1詳解】
作法1
作法2
作法3
【小問2詳解】
如圖,
∵,∴.
又,∴,即.
在與中,,,
∴∽,
∴,即.
又,∴.
【點(diǎn)睛】本題考查了作垂直平分線,相似三角形的性質(zhì)與判定,掌握垂直平分線的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.
23. 小明和他的學(xué)習(xí)小組開展“測量松樹的高度”的實(shí)踐活動,他們按擬定的測量方案進(jìn)行實(shí)地測量,完成如下的測量報告:
請你根據(jù)以上測量報告中的數(shù)據(jù),求松樹的高度.(結(jié)果精確到0.1米)
【答案】松樹的高度約為米
【解析】
【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)G,則四邊形是矩形,得,由坡度的概念和勾股定理得米,米,則米,米,再由銳角三角函數(shù)定義求出的長,即可解決問題.
【詳解】:如圖,點(diǎn)E作于點(diǎn)G,
則四邊形是矩形,
∴,
在中,斜坡的坡度,米,
設(shè)米,則米,
∴(米),
∴,
∴米,米,
∴(米),米,
∴米,
在中,,
∴(米),
∴(米),
答:松樹的高度約為米.
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題,熟練掌握銳角三角函數(shù)定義,正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.
24. 基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖1,在中,為上一點(diǎn),連接,為上一點(diǎn),連接,若,,求證:.
【嘗試應(yīng)用】
(2)如圖2,在平行四邊形中,對角線、交于點(diǎn),為上一點(diǎn),連接,,,若,,求長.
【拓展提升】
(3)如圖3,在菱形中,對角線、交于點(diǎn)為中點(diǎn),為上一點(diǎn),連接、,,若,,求______.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)
【解析】
【分析】(1)可證得 , 從而 , 證明,進(jìn)一步得出結(jié)論;
(2)可證得 ,從而得出 ,進(jìn)而得出 ,從而 , 設(shè) ,則 , 從而得出 , 從而求得 值,進(jìn)一步得出結(jié)果;
(3) 延長 ,交于點(diǎn) , 可得出 , 從而 , 進(jìn)而表示出 ,可證得 , 從而 ,進(jìn)而求得 的值,由勾股定理求得的長,進(jìn)一步得出結(jié)果.
【詳解】(1)證明:∵,
,
,

,
,
,
(2)解:∵四邊形 是平行四邊形,
,
,

,

,
,
,
設(shè),則,
,
(舍)

(3)解:如圖,

延長 ,交于點(diǎn) ,

設(shè),,
則,
∵四邊形是菱形,
,
,,
,

即,

在中,
∵ 為 的中點(diǎn),
,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
即 ,
∴ (舍去),
∴,

∴,
∴,
故答案為:.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、菱形的性質(zhì),直角三角形和等腰三角形的性質(zhì), 相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,解決問題的關(guān)鍵是作輔助線,構(gòu)造相似三角形
25. 如圖①,已知拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn),與軸交于點(diǎn),其對稱軸為直線:,過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn),的角平分線交線段于點(diǎn),點(diǎn)是拋物線上的一個動點(diǎn),設(shè)其橫坐標(biāo)為.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若動點(diǎn)在直線下方的拋物線上,連接、,當(dāng)為何值時,四邊形面積最大,并求出其最大值;
(3)如圖②,是拋物線的對稱軸上的一點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn)使成為以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)
(2)當(dāng)時,四邊形面積最大,最大值為
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為 :,,,
【解析】
【分析】(1)根據(jù)對稱軸可得,將代入,待定系數(shù)法求解析式可得拋物線的解析式;
(2)設(shè),根據(jù)的解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo),表示的長,根據(jù)面積和可得四邊形的面積,利用配方法可得其最大值;
(3)存在四種情況:如圖3,作輔助線,構(gòu)建全等三角形,證明,根據(jù)列方程可得點(diǎn)的坐標(biāo);同理可得其他圖形中點(diǎn)的坐標(biāo).
【小問1詳解】
解:依題意,,
∴,
∴拋物線解析式為,
將點(diǎn)代入得
解得:,
拋物線的解析式;;
【小問2詳解】
如圖2,設(shè)
平分,,

等腰直角三角形,
,
,,
設(shè)直線的解析式為,
,
解得:,
則直線的解析式為:,
過作軸,交于點(diǎn),

,
,
,
,

,
,
當(dāng)時,有最大值是;
【小問3詳解】
如圖3,過作軸,交軸于,交于,
是等腰直角三角形,且,
,
,
,
則,
解得:或,
∴的坐標(biāo)為或;
如圖4,過作軸于,過作于,連接PF.
同理得,
,
則,
解得:或;
的坐標(biāo)為,或,;
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)是:,,,.
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題,主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法,解第(2)問時需要運(yùn)用配方法,解第(3)問時需要運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問題.課題
測量松樹的高度
測量工具
測角儀和皮尺
測量示意圖及說明
說明:為水平地面,松樹垂直于地面.斜坡的坡度,在斜坡上的點(diǎn)E處測松樹頂端A的仰角的度數(shù).
測量數(shù)據(jù)
米,米,
參考數(shù)據(jù)

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